O familie de mulţimi e considerată familie de mulţimi disjuncte , dacă oricare două mulţimi sunt disjuncte.
Două mulţimi şi sunt considerate disjuncte, dacă .
O familie de mulţimi e considerată familie de mulţimi disjuncte , dacă oricare două mulţimi sunt disjuncte.
O familie de mulţimi e considerată familie de mulţimi disjuncte , dacă oricare două mulţimi sunt disjuncte.
Fie o mulţime şi o familie de mulţimi indexată de , atunci intersecţia peste este .
Fie o mulţime, atunci mulţimea tuturor submulţimilor lui este .
Mulţimea vidă (uneori scrisă ) este mulţimea fără nici un element.
Fie şi doua mulţimi, atunci mulţimea de perechi de şi este definită ca , numim o pereche.
Fie şi doua mulţimi, atunci mulţimea de perechi de şi este definită ca , numim o pereche.
Fie o mulţime şi o familie de mulţimi, atunci reuniunea peste este .
O mulţime este o submulţime a unei mulţimi (scris ), dacă toate sunt elemente ale lui .
O mulţime este o submulţime proprie a unei mulţimi (scris ), dacă şi .
O mulţime este o super-mulţime a unei mulţimi (scris ), dacă .
O mulţime este o super-mulţime proprie a unei mulţimi (scris ), dacă .
The number , sometimes called Euler’s constant (also known as Napier’s constant) is an important mathematical constant.
We call times differentiable at , iff exists as a limit. Analogously, is times differentiable on , iff exists and is total on .
is called infinitely differentiable or smooth at or on , iff and exist for all respectively.
Let be a properties and a relation, then we call the smallest (in terms of the ) relation that has property the -closure of .
Let be a set, then the -dim Cartesian space over is . We call a vector.
We call a formula an alphabetic variant of (or -equal; write ), iff can be obtained from by systematically renaming bound variables.
Let be a collection of sets for , then the -fold Cartesian product is , we call an -tuple.
We call the function the ( th ) projection.
An integer whose prime factors have exponents at least is called a -powerful number, -ful number, or -full number.
An integer whose prime factors have exponents at least is called a -powerful number, -ful number, or -full number.
A number is called multiperfect or -perfect for a given natural numbers , if and only if the sum of all positive divisors of is equal to .
An integer whose prime factors have exponents at least is called a -powerful number, -ful number, or -full number.
If in a graph all the vertices have the same degree, say , then is called -regular, or simply regular.
A 3-regular graph is called cubic graph.
A -simplex is a -dimensional convex polytope which is the convex hull of affinely independent points in .
Let be a collection of sets for , then the -fold Cartesian product is , we call an -tuple.
We call the function the ( th ) projection.
The -Ulam numbers form an integer sequence. The -Ulam sequence starts with and . Then for , is defined to be the smallest integer that is the sum of two distinct earlier terms in exactly one way.
The -Ulam numbers form an integer sequence. The -Ulam sequence starts with and . Then for , is defined to be the smallest integer that is the sum of two distinct earlier terms in exactly one way.
A powerful number is a positive integer such that for every prime number dividing , also divides .
A powerful number is the product of a square and a cube. Powerful numbers are also known as squareful numbers, square-full numbers, or 2-full numbers.
A number is absolutely non-normal or absolutely abnormal if it is not simply normal in any base.
A number is absolutely non-normal or absolutely abnormal if it is not simply normal in any base.
An abstract reduction system (or abstract rewriting system, or ARS) consists of a set together with a relation . The relation is written as or simply as .
The transitive-reflexive closure of is denoted by . To distinguish the original relation it is sometimes written as .
An abstract reduction system (or abstract rewriting system, or ARS) consists of a set together with a relation . The relation is written as or simply as .
The transitive-reflexive closure of is denoted by . To distinguish the original relation it is sometimes written as .
The abundancy of a number is defined as the ratio , where is the sum-of-divisors function.
An Achilles number is a natural numbers that is powerful but not a perfect power.
Given a directed graph ,
a path is called cyclic (or a cycle) iff .
a cycle is called simple, iff for with .
is called acyclic (or a DAG (directed acyclic graph)) iff there is no cycle in .
The number of times the digits must be summed to reach the digital sum is called a number’s additive persistence.
A structure is called a ring, if is a Abelian group (called the additive structure), is a monoid (called the multiplicative structure), and is a ringoid.
We call the zero of the ring and the one of the ring.
Two distinct edges and are adjacent if they have an end in common.
Two vertices and in a graph are adjacent, or neighbours, if is an edge of .
We call a set points in affinely independent, iff the set are linearly independent.
An aliquot sequence starting with a positive integer is a recursive sequence in which each term is the sum of the proper divisors of the previous term.
A perfect number is a positive integer that is equal to the sum of its aliquot sum.
An all-Harshad number or an all-Niven number is a number which is a Harshad number in any number base.
There are only four all-Harshad numbers: 1, 2, 4, and 6.
An all-Harshad number or an all-Niven number is a number which is a Harshad number in any number base.
There are only four all-Harshad numbers: 1, 2, 4, and 6.
We call a formula an alphabetic variant of (or -equal; write ), iff can be obtained from by systematically renaming bound variables.
Amicable numbers are two different numbers so related that the sum of the divisors (without the numbers themselves) of each is equal to the other number.
The smallest pair of amicable numbers is .
A relation is called
reflexive on , iff for all , and
irreflexive (or anti-reflexive) on , iff for all .
A relation is called
symmetric on , iff for all with .
asymmetric on , iff for all with .
antisymmetric on , iff and imply .
We call two mathematical objects and approximately equal, (written ), iff they are discerned only by properties of less relevance in the current situation.
A graph is a pair such that is a set and is a subset of the set of pairs from . We call the vertices (or nodes, points,junctions) and the edges (or lines, branches, arcs) of .
An abstract reduction system (or abstract rewriting system, or ARS) consists of a set together with a relation . The relation is written as or simply as .
The transitive-reflexive closure of is denoted by . To distinguish the original relation it is sometimes written as .
A relation is called
symmetric on , iff for all with .
asymmetric on , iff for all with .
antisymmetric on , iff and imply .
A subset of positive integers has an asymptotic density (or natural density) , where , if the limit exists
is the number of elements of less than or equal to .
The Bailey-Borwein-Plouffe formula (BBP formula) is a series for the computation of :
A balanced prime is a prime number that is equal to the arithmetic mean of the nearest primes above and below.
where is the th prime number.
Let be a set, then we call a function a distance function (or metric ) on , iff for all the following three identities hold:
iff (identity of indiscernibles),
(symmetry), and
(triangle inequality).
We call a metric space with base set and metric .
A repunit is a natural number that contains only the digit .
The base-b repunits are defined as for and .
A repunit prime is a repunit that is also a prime number.
The Baxter-Hickerson function is defined for non-negative integers by
It produces numbers whose cubes are zerofree.
The Bailey-Borwein-Plouffe formula (BBP formula) is a series for the computation of :
We call a set of points a ternary relation an order geometry , iff
If , then
.
is a collinear set.
.
If and are distinct points, then there is at least one point , such that .
If , and are distinct collinear points, then , or , or .
and cannot hold at the same time.
If , we say that is between and .
The binomial coefficient (written as in French) is defined to be the number of -element subsets of an -element set.
A graph is a pair such that is a set and is a subset of the set of pairs from . We call the vertices (or nodes, points,junctions) and the edges (or lines, branches, arcs) of .
The common logarithm is the logarithm to the base 10. It is also known as the decadic logarithm and also as the decimal logarithm, named after its base, or Briggsian logarithm after Henry Briggs who introduced it.
The th cabtaxi number is defined as the smallest positive integer that can be expressed as a sum or a difference of two cubes (included ) in distinct ways.
For example:
Let be the Sylvester sequence.
Cahen’s constant is defined as an infinite series of unit fractions with alternating signs
The cake number is the maximum number of regions into which a 3-dimensional cube can be partitioned by exactly planes.
We say that a set is finite and has cardinality (or size) , iff there is a bijective function .
The cardinality of a set is also written as , , , or .
Let be a metric space, then we call a sequence a Cauchy sequence, iff for each there exists a , such that for all .
The floor
The ceiling of a real number is the smallest integer that is greater or equal to . The ceiling function is also called the least integer function.
The central Delannoy numbers are the Delannoy numbers for a square grid.
The first central Delannoy numbers are:
The central polygonal numbers or lazy caterer’s sequence describes the maximum number of pieces of a circle (or a plane) that can be made with a given number of straight cuts.
The summatory von Mangoldt function, also known as the Chebyshev function, is defined as
A tree is a directed acyclic graph such that
there is exactly one initialnode (called the root), and
all nodes but the root have indegree 1.
We call the parent of , iff ( is a child of ). We call a node a leaf of , iff it is terminal, i.e. if it does not have children.
If in a graph which contains a cycle , an edge of joins two vertices of but is not itself an edge of the cycle, then this edge is a chord of the cycle . Thus a cycle is chordless iff it is an induced cycle in .
If in a graph which contains a cycle , an edge of joins two vertices of but is not itself an edge of the cycle, then this edge is a chord of the cycle . Thus a cycle is chordless iff it is an induced cycle in .
A prime number is a circular prime if all numbers generated by cyclically permuting of its digits are prime.
For example, is a circular prime, because and also primes.
For a graph , the minimum length of a cycle contained in is the girth of . The maximum length of a cycle contained in is the circumference of . For a graph which does not contain a cycle the girth is set to , its circumference is set to zero.
A topological space is a set together with a collection , such that
.
if .
if is finite.
is called an open set topology (or just topology) on . Members of a topology are called open sets and their complements closed sets. A subset of may be neither closed nor open, either closed or open, or both. A set that is both closed and open is called a clopen set.
Let be a metric space, then we call the set the open ball and the closed ball around with radius . We also write and .
A topological space is a set together with a collection , such that
.
if .
if is finite.
is called an open set topology (or just topology) on . Members of a topology are called open sets and their complements closed sets. A subset of may be neither closed nor open, either closed or open, or both. A set that is both closed and open is called a clopen set.
Two integers are said to be coprime (also spelled co-prime), relatively prime or mutually prime if their greatest common divisor is .
A relation , is called a partial function with domain (write ) and codomain (write ), iff for all there is at most one with .
We write and instead of .
A set of points is called collinear, if there is a line with for all .
The common logarithm is the logarithm to the base 10. It is also known as the decadic logarithm and also as the decimal logarithm, named after its base, or Briggsian logarithm after Henry Briggs who introduced it.
Let be a group and . Then we define the commutator of and as . It is equal to the group’s unit if and only if and commute.
Let be a topological space and , then we call compact, iff every cover of has a finite subcover.
A metric space is called complete (or a complete space), iff every Cauchy sequence in is convergent.
If in a graph all vertices are pairwise adjacent, then we call complete. A complete graph on vertices is denoted by .
If in a graph all vertices are pairwise adjacent, then we call complete. A complete graph on vertices is denoted by .
A metric space is called complete (or a complete space), iff every Cauchy sequence in is convergent.
The set of complex numbers contains numbers of the form , where . We call the imaginary unit.
A structure combines multiple mathematical objects (the components) into a new object. Structures are usually given as finite enumerations, where the components have names by which they can be referenced.
A composite number is a positive integer that has at least one positive divisor other than 1 or itself.
A non-empty graph is said to be a connected graph if any two of its vertices are linked by a path in . If the subgraph , induced by a subset of the vertex set , is connected, we call itself connected (in ). For the negation we usually prefer ’disconnected’ over ’not connected’.
Let be a metric space and a sequence with for all , then we say that converges to (we call the limit of and write ), iff for each there exists a , such that for all .
Let be a Hausdorff space, then we say that a sequence converges to (we call the Hausdorff limit and write ), iff every neighborhood of only contains finitely many .
Two integers are said to be coprime (also spelled co-prime), relatively prime or mutually prime if their greatest common divisor is .
A cover of a set is a collection of sets, such that . A subset is called a subcover of , iff it still covers .
Given a directed graph ,
a path is called cyclic (or a cycle) iff .
a cycle is called simple, iff for with .
is called acyclic (or a DAG (directed acyclic graph)) iff there is no cycle in .
Given a directed graph ,
a path is called cyclic (or a cycle) iff .
a cycle is called simple, iff for with .
is called acyclic (or a DAG (directed acyclic graph)) iff there is no cycle in .
A cyclic number is a natural number in which cyclic permutations of the digits are successive multiples of the number.
Given a directed graph ,
a path is called cyclic (or a cycle) iff .
a cycle is called simple, iff for with .
is called acyclic (or a DAG (directed acyclic graph)) iff there is no cycle in .
The common logarithm is the logarithm to the base 10. It is also known as the decadic logarithm and also as the decimal logarithm, named after its base, or Briggsian logarithm after Henry Briggs who introduced it.
The common logarithm is the logarithm to the base 10. It is also known as the decadic logarithm and also as the decimal logarithm, named after its base, or Briggsian logarithm after Henry Briggs who introduced it.
A function is defined piecewise, we write
where are conditions involving , if for all with and otherwise.
If does not occur in , we call a pair a definitional equation with definiendum and definiens .
If does not occur in , we call a pair a definitional equation with definiendum and definiens .
Given a function and an interval , then the definite integral is defined to be the signed area of the region in the plane bounded by the graph of , the -axis, and the vertical lines and , such that area above the -axis adds to the total, and that below the -axis subtracts from the total.
If does not occur in , we call a pair a definitional equation with definiendum and definiens .
A Delannoy number describes the number of paths from the southwest corner of a rectangular grid to the northeast corner , using only single steps north, northeast, or east.
It follows that and for all
If is differentiable on , then the derivative function of (with respect to ) is defined as
The dependency of on is left implicit in this notation (Lagrange’s notation). In Leibniz’s notation we write the derivative of with respect to as and the derivative of at as or . In Euler’s notation, this is written as and in Newton’snotation as .
We call differentiable at a limit point , iff
exists; in this case we say that has derivative at . We say that is differentiable on , iff it is differentiable at every .
If is differentiable on , then the derivative function of (with respect to ) is defined as
The dependency of on is left implicit in this notation (Lagrange’s notation). In Leibniz’s notation we write the derivative of with respect to as and the derivative of at as or . In Euler’s notation, this is written as and in Newton’snotation as .
If is differentiable on , then the derivative function of (with respect to ) is defined as
The dependency of on is left implicit in this notation (Lagrange’s notation). In Leibniz’s notation we write the derivative of with respect to as and the derivative of at as or . In Euler’s notation, this is written as and in Newton’snotation as .
We call differentiable at a limit point , iff
exists; in this case we say that has derivative at . We say that is differentiable on , iff it is differentiable at every .
If is differentiable on , then the derivative function of (with respect to ) is defined as
The dependency of on is left implicit in this notation (Lagrange’s notation). In Leibniz’s notation we write the derivative of with respect to as and the derivative of at as or . In Euler’s notation, this is written as and in Newton’snotation as .
We call differentiable at a limit point , iff
exists; in this case we say that has derivative at . We say that is differentiable on , iff it is differentiable at every .
The number of times the digits must be summed to reach the digital sum is called a number’s additive persistence.
A directed graph (also called digraph or oriented graph) is a pair such that is a set and . We call the vertices (or nodes) and the edges of .
A Diophantine equation is a polynomial equation that allows the variables to take integer values only.
A directed graph (also called digraph or oriented graph) is a pair such that is a set and . We call the vertices (or nodes) and the edges of .
If is a preorder on a set , then is called a directed set, iff all have an upper bound .
A non-empty graph is said to be a connected graph if any two of its vertices are linked by a path in . If the subgraph , induced by a subset of the vertex set , is connected, we call itself connected (in ). For the negation we usually prefer ’disconnected’ over ’not connected’.
Two sets and are called disjoint, iff .
A family of sets is called pairwise disjoint or mutually disjoint, if any two of them are disjoint.
Let be a set, then we call a function a distance function (or metric ) on , iff for all the following three identities hold:
iff (identity of indiscernibles),
(symmetry), and
(triangle inequality).
We call a metric space with base set and metric .
Let be a ring and , then we say that is a left divisor of (or left divides ) and that is a left multiple of , if there is a such that .
Analogously we say that is a right divisor of (or right divides ) and that is a right multiple of , if there is a such that .
If is commxutative, then left and right divisors coincide and we simply speak of divisor and multiple and write .
, , , and are known as the trivial divisors of . A divisor of that is not a trivial divisor is known as a proper or non-trivial divisor.
A relation , is called a partial function with domain (write ) and codomain (write ), iff for all there is at most one with .
We write and instead of .
A directed graph (also called digraph or oriented graph) is a pair such that is a set and . We call the vertices (or nodes) and the edges of .
A graph is a pair such that is a set and is a subset of the set of pairs from . We call the vertices (or nodes, points,junctions) and the edges (or lines, branches, arcs) of .
The eighth smarandache constant is defind for a natural number by
where is the smarandache function.
The sum converges.
The eleventh smarandache constants are defind by
where is the smarandache function.
The sum converges for all real numbers .
An emirp (prime spelled backwards) is a prime number that results in a different prime when its digits are reversed.
An empty product, or nullary product, is the result of multiplying no factors. It is equal to the multiplicative identity .
An empty sum, or nullary sum, is a summation involving no terms at all. The value of any empty sum of numbers is conventionally taken to be zero.
For example, if then
Given a directed graph we call a vector a path in iff for all , .
is called the start of (write )
is called the end of (write )
is called the length of (write )
For distinct points and , we call the set
the ray from through . We call the end point of .
We call two mathematical objects and equal, (written ), iff there are no properties that discern them.
Let be a set and be an equivalence relation on , then for any we call we call the set the equivalence class of (under ), and the set the quotient space of (under ).
The mapping is called the projection of to .
A relation is an equivalence relation on , iff is reflexive, symmetric, and transitive.
The Erdös-Borwein constant is the sum of the reciprocals of the Mersenne numbers.
The Euler-Mascheroni constant (also called Euler’s constant) is a mathematical constant. It is defined as the limiting difference between the harmonic series and the natural logarithm:
The number , sometimes called Euler’s constant (also known as Napier’s constant) is an important mathematical constant.
The Euler-Mascheroni constant (also called Euler’s constant) is a mathematical constant. It is defined as the limiting difference between the harmonic series and the natural logarithm:
If is differentiable on , then the derivative function of (with respect to ) is defined as
The dependency of on is left implicit in this notation (Lagrange’s notation). In Leibniz’s notation we write the derivative of with respect to as and the derivative of at as or . In Euler’s notation, this is written as and in Newton’snotation as .
The factorial of a non-negative integer , denoted by , is the product of all positive integers less than or equal to .
A factorion is a natural number that equals the sum of the factorial of its decimal digits.
For example
The Farey sequence of order is the sequence of completely reduced fractions between and which, when in lowest terms, have denominators less than or equal to , arranged in order of increasing size.
Each Farey sequence starts with the value , denoted by the fraction , and ends with the value , denoted by the fraction (although some authors omit these terms).
The Farey sequences of orders to are:
The Feynman point is a sequence of six 9s that begins at the 762nd decimal place of the decimal representation of .
The Fibonacci numbers or Fibonacci series or Fibonacci sequence are the numbers in the following integer sequence:
The first two numbers in the Fibonacci sequence are and , and each subsequent number is the sum of the previous two.
The Fibonacci polynomials are defined by the recurrence relation
The first few Fibonacci polynomials are:
The Fibonacci numbers or Fibonacci series or Fibonacci sequence are the numbers in the following integer sequence:
The first two numbers in the Fibonacci sequence are and , and each subsequent number is the sum of the previous two.
The Fibonacci numbers or Fibonacci series or Fibonacci sequence are the numbers in the following integer sequence:
The first two numbers in the Fibonacci sequence are and , and each subsequent number is the sum of the previous two.
The fifteenth smarandache constant is defind by
where is the smarandache function.
The sum converges.
The fifth smarandache constant is defind by
where is the smarandache function.
The sum converges.
We say that a set is finite and has cardinality (or size) , iff there is a bijective function .
The cardinality of a set is also written as , , , or .
The first Chebyshev function or is given by
with the sum extending over all primes that are less than or equal to .
For any we define the th derivative of a function as
The first derivative of is , is the second derivative of , the third derivative of , etc. In Leibniz’ notation the th derivative function of is denoted by .
We call times differentiable at , iff exists as a limit. Analogously, is times differentiable on , iff exists and is total on .
is called infinitely differentiable or smooth at or on , iff and exist for all respectively.
The second Skewes number is the number above which must fail assuming that the Riemann hypothesis is false.
The first smarandache constant is defind by
where is the smarandache function.
The floor
A Fortunate number, named after Reo Fortune, for a given positive integer is the smallest integer such that is a prime number, where the primorial is the product of the first prime numbers.
A Fortunate prime is a Fortunate number which is also a prime number.
A Fortunate number, named after Reo Fortune, for a given positive integer is the smallest integer such that is a prime number, where the primorial is the product of the first prime numbers.
A Fortunate prime is a Fortunate number which is also a prime number.
The fourteenth smarandache constant is defind by
where is the smarandache function.
The sum converges for all real numbers .
The Franel numbers are a sequence of integers defind by the recurrence equation
where and .
If we do not want to specify whether a partial function is total, then we simply speak of a function.
Given sets and we will call the set () of all (partial) functions from to the (partial) function space from to .
The Gelfond-Schneider constant or Hilbert number is the following real number:
The general harmonic series are series of the form
where and are real numbers.
A generalized Cullen number is a number of the form
where .
If a prime can be written in this form, it is then called a generalized Cullen prime.
A generalized Cullen number is a number of the form
where .
If a prime can be written in this form, it is then called a generalized Cullen prime.
For a graph , the minimum length of a cycle contained in is the girth of . The maximum length of a cycle contained in is the circumference of . For a graph which does not contain a cycle the girth is set to , its circumference is set to zero.
Let be a set, a metric space, and a sequence of functions , then we call uniformly convergent to on , iff for every , there exists a , such that for all and all we have .
Ist eine Menge, ein metrischer Raum und eine Folge von Funktionen , dann nennen wir gleichmäïg konvergent gegen auf , falls zu jedem ein existiert, so dass für alle und alle .
A googolplexplexplex is the number
A googolplex is the number
A googolplexplex is the number
A googolplexplexplex is the number
A googolplexplex is the number
A googolplexplexplex is the number
A graph is a pair such that is a set and is a subset of the set of pairs from . We call the vertices (or nodes, points,junctions) and the edges (or lines, branches, arcs) of .
The greatest common divisor (gcd), also known as the greatest common factor (gcf), or highest common factor (hcf), of two or more integers (at least one of which is not zero), is the largest positive integer that divides the numbers without a remainder.
The greatest common divisor (gcd), also known as the greatest common factor (gcf), or highest common factor (hcf), of two or more integers (at least one of which is not zero), is the largest positive integer that divides the numbers without a remainder.
The floor
Let be an ordered set and , then we call the smallest upper bound (largest lower bound ) of the supremum or least upper bound (infimum or greatest lower bound) of (if it exists).
If is an expression and a condition (in a variable ), we write for and call it the supremum for over . Analogously, we write for and call it the infimum for over
A happy prime is a number that is both happy and prime.
The Hardy-Ramanujan number is the smallest number expressible as the sum of two cubes in two different ways.
A harmonic divisor number, or Ore number, is a positive integer whose divisors have a harmonic mean that is an integer.
The -th harmonic number is the sum of the reciprocals of the first natural numbers:
A Harshad number or Niven number in a given number base is an integer that is divisible by the sum of its digits when written in that base.
Let be a Hausdorff space, then we say that a sequence converges to (we call the Hausdorff limit and write ), iff every neighborhood of only contains finitely many .
Let be a topological space, then we call a Hausdorff topology (and a Hausdorff space), iff for all with , there are disjoint open sets with and .
Let be a topological space, then we call a Hausdorff topology (and a Hausdorff space), iff for all with , there are disjoint open sets with and .
A pronic number , oblong number, rectangular number or heteromecic number, is a number which is the product of two consecutive natural numbers.
The greatest common divisor (gcd), also known as the greatest common factor (gcf), or highest common factor (hcf), of two or more integers (at least one of which is not zero), is the largest positive integer that divides the numbers without a remainder.
A highly composite number (HCN) is a positive integer with more divisors than any smaller positive integer.
A Hilbert prime is a Hilbert number that is not divisible by a smaller Hilbert number (other than ).
Let be a set, then we call a function a distance function (or metric ) on , iff for all the following three identities hold:
iff (identity of indiscernibles),
(symmetry), and
(triangle inequality).
We call a metric space with base set and metric .
A positive integer is an idoneal number if and only if it cannot be written as for distinct positive integer , , and .
Let be a function, , and , then we call
the image of under ,
the image of , and
the pre-image of under .
Let be a function, , and , then we call
the image of under ,
the image of , and
the pre-image of under .
The set of complex numbers contains numbers of the form , where . We call the imaginary unit.
We call a triple an incidence structure (or incidence geometry), with points , lines , and incidence realation (we say is on , if ), iff
There are at least two points in .
For any two points , there is exactly one line such that and .
For every line there are at least two points on .
For every line there is at least one point with .
We call a triple an incidence structure (or incidence geometry), with points , lines , and incidence realation (we say is on , if ), iff
There are at least two points in .
For any two points , there is exactly one line such that and .
For every line there are at least two points on .
For every line there is at least one point with .
We call a triple an incidence structure (or incidence geometry), with points , lines , and incidence realation (we say is on , if ), iff
There are at least two points in .
For any two points , there is exactly one line such that and .
For every line there are at least two points on .
For every line there is at least one point with .
Let be a directed graph and a vertex in , then we define
indegree of as
outdegree of as
We define the product over a sequence by
The variable is called the index of multiplication and and the lower and upper bounds of the product respectively, together the specify the range of multiplication.
There are variant product operators and . The first one specifies the range of the product via a formula in and the second one directly by giving a set .
Summation is iterated addition, we define the sum over a sequnce by
The variable is called the index of summation and and the lower and upper bound of the sum respectively, together the specify the range of summation.
There are variant summation operators and . The first one specifies the range of the summation via a formula in and the second one directly by giving a set .
If in a graph which contains a cycle , an edge of joins two vertices of but is not itself an edge of the cycle, then this edge is a chord of the cycle . Thus a cycle is chordless iff it is an induced cycle in .
Ist ein metrischer Raum und eine Folge mit für , so ist der
Limes superior (schreibe auch ) definiert durch
Limes inferior (schreibe auch ) definiert durch
Let be a metric space and a sequence with for all , then the
limit superior (also called supremum limit, superior limit, upper limit, or outer limit) (also written as ) is defined as
limit inferior (also called infimum limit, inferior limit, lower limit, or inner limit) (also written as ) is defined as
Let be an ordered set and , then we call the smallest upper bound (largest lower bound ) of the supremum or least upper bound (infimum or greatest lower bound) of (if it exists).
If is an expression and a condition (in a variable ), we write for and call it the supremum for over . Analogously, we write for and call it the infimum for over
Ist ein metrischer Raum und eine Folge mit für , so ist der
Limes superior (schreibe auch ) definiert durch
Limes inferior (schreibe auch ) definiert durch
Let be a metric space and a sequence with for all , then the
limit superior (also called supremum limit, superior limit, upper limit, or outer limit) (also written as ) is defined as
limit inferior (also called infimum limit, inferior limit, lower limit, or inner limit) (also written as ) is defined as
Let be a sequence with or . the (formal) infinite sum is defined as the limit of the sequence of partial sums, if it exists.
We call times differentiable at , iff exists as a limit. Analogously, is times differentiable on , iff exists and is total on .
is called infinitely differentiable or smooth at or on , iff and exist for all respectively.
Infinity (written ) is an abstract concept describing something without any limit. In mathematics is is usually treated like a number.
Ist ein metrischer Raum und eine Folge mit für , so ist der
Limes superior (schreibe auch ) definiert durch
Limes inferior (schreibe auch ) definiert durch
Let be a metric space and a sequence with for all , then the
limit superior (also called supremum limit, superior limit, upper limit, or outer limit) (also written as ) is defined as
limit inferior (also called infimum limit, inferior limit, lower limit, or inner limit) (also written as ) is defined as
The set of integer numbers (or integers)is the set . Any member of is called an integer.
The set negative integers of is the set .
The integer division operator computes the integer quotient (or modulus) of two natural numbers. is defined as that , such that for some . The number is called the remainder and is written as .
We define the integer interval as a subset of consecutive integers:
The set of integer numbers (or integers)is the set . Any member of is called an integer.
The set negative integers of is the set .
The integer division operator computes the integer quotient (or modulus) of two natural numbers. is defined as that , such that for some . The number is called the remainder and is written as .
The set of integer numbers (or integers)is the set . Any member of is called an integer.
The set negative integers of is the set .
Let be a set and a family of sets indexed by , then the intersection over is .
If is injective, then the converse relation is a partial function , we call it the inverse function of . If is bijective total, then is a total function.
A relation is called
reflexive on , iff for all , and
irreflexive (or anti-reflexive) on , iff for all .
The Jacobi-Madden equation is the Diophantine equation
The Jacobsthal numbers are defined by the recurrence relation
The definition in closed form:
The Jacobsthal-Lucas numbers are defined by the recurrence relation
The definition in closed form:
A graph is a pair such that is a set and is a subset of the set of pairs from . We call the vertices (or nodes, points,junctions) and the edges (or lines, branches, arcs) of .
The Kempner series are subharmonic series formed by omitting all terms from the harmonic series whose denominator expressed in base contains a digit (or a digit-sequence like ):
For example
A Knoedel number for a given positive integer is a composite number with the property that each coprime to satisfies . The set of all Knoedel numbers for is denoted by .
The Kronecker delta is a function of two integers. The function is if the variables are equal, and otherwise:
If is differentiable on , then the derivative function of (with respect to ) is defined as
The dependency of on is left implicit in this notation (Lagrange’s notation). In Leibniz’s notation we write the derivative of with respect to as and the derivative of at as or . In Euler’s notation, this is written as and in Newton’snotation as .
The central polygonal numbers or lazy caterer’s sequence describes the maximum number of pieces of a circle (or a plane) that can be made with a given number of straight cuts.
A tree is a directed acyclic graph such that
there is exactly one initialnode (called the root), and
all nodes but the root have indegree 1.
We call the parent of , iff ( is a child of ). We call a node a leaf of , iff it is terminal, i.e. if it does not have children.
The least common multiple (lcm) (also called the lowest common multiple or smallest common multiple) of two or more integers is the smallest positive integer that is divisible by all given integers.
The floor
The ceiling of a real number is the smallest integer that is greater or equal to . The ceiling function is also called the least integer function.
A prime factor of a natural number is a least prime factor if all prime factors of are equal or greater than it.
Let be an ordered set and , then we call the smallest upper bound (largest lower bound ) of the supremum or least upper bound (infimum or greatest lower bound) of (if it exists).
If is an expression and a condition (in a variable ), we write for and call it the supremum for over . Analogously, we write for and call it the infimum for over
Given an element of the group and one of its subgroups , we define the left coset (respectively the right coset) of with as (respectively ).
Let be a ring and , then we say that is a left divisor of (or left divides ) and that is a left multiple of , if there is a such that .
Analogously we say that is a right divisor of (or right divides ) and that is a right multiple of , if there is a such that .
If is commxutative, then left and right divisors coincide and we simply speak of divisor and multiple and write .
, , , and are known as the trivial divisors of . A divisor of that is not a trivial divisor is known as a proper or non-trivial divisor.
Let be a ring and , then we say that is a left divisor of (or left divides ) and that is a left multiple of , if there is a such that .
Analogously we say that is a right divisor of (or right divides ) and that is a right multiple of , if there is a such that .
If is commxutative, then left and right divisors coincide and we simply speak of divisor and multiple and write .
, , , and are known as the trivial divisors of . A divisor of that is not a trivial divisor is known as a proper or non-trivial divisor.
Let be a ring and , then we say that is a left divisor of (or left divides ) and that is a left multiple of , if there is a such that .
Analogously we say that is a right divisor of (or right divides ) and that is a right multiple of , if there is a such that .
If is commxutative, then left and right divisors coincide and we simply speak of divisor and multiple and write .
, , , and are known as the trivial divisors of . A divisor of that is not a trivial divisor is known as a proper or non-trivial divisor.
A left-truncatable prime is a prime number which, in a given base, contains no , and if the leading (“left”) digit is successively removed, then all resulting numbers are prime.
For example:
A two-sided prime is both left-truncatable and right-truncatable.
For example:
A right-truncatable prime is a prime number which remains prime when the last (“right”) digit is successively removed.
For example:
Let with and .
Then the leftsided limit of at (also: the limit of as approaches from below) is defined to be the , sucht that for every there is a such that whenever . The leftsided limit is written as , , or .
Analogously, the rightsided limit at (also: the limit of as approaches from above) is the , such that for every there is a such that whenever . The rightsided limit is written as , , or .
If is differentiable on , then the derivative function of (with respect to ) is defined as
The dependency of on is left implicit in this notation (Lagrange’s notation). In Leibniz’s notation we write the derivative of with respect to as and the derivative of at as or . In Euler’s notation, this is written as and in Newton’snotation as .
Given a directed graph we call a vector a path in iff for all , .
is called the start of (write )
is called the end of (write )
is called the length of (write )
A Leyland number is a number of the form
where and are integers greater than .
The first Leyland numbers are
Ist ein metrischer Raum und eine Folge mit für , so ist der
Limes superior (schreibe auch ) definiert durch
Limes inferior (schreibe auch ) definiert durch
Let be a metric space and a sequence with for all , then the
limit superior (also called supremum limit, superior limit, upper limit, or outer limit) (also written as ) is defined as
limit inferior (also called infimum limit, inferior limit, lower limit, or inner limit) (also written as ) is defined as
Ist ein metrischer Raum und eine Folge mit für , so ist der
Limes superior (schreibe auch ) definiert durch
Limes inferior (schreibe auch ) definiert durch
Let be a metric space and a sequence with for all , then the
limit superior (also called supremum limit, superior limit, upper limit, or outer limit) (also written as ) is defined as
limit inferior (also called infimum limit, inferior limit, lower limit, or inner limit) (also written as ) is defined as
Let and be metric spaces with and and , then we say that is the limit of as approaches a limit point (written ), iff for every , there exists a such that whenever .
Ist ein metrischer Raum und eine Folge mit für , so ist der
Limes superior (schreibe auch ) definiert durch
Limes inferior (schreibe auch ) definiert durch
Let be a metric space and a sequence with for all , then the
limit superior (also called supremum limit, superior limit, upper limit, or outer limit) (also written as ) is defined as
limit inferior (also called infimum limit, inferior limit, lower limit, or inner limit) (also written as ) is defined as
Let be a subset of a topological space . A point is a limit point of if every neighborhood of contains at least one with .
Ist ein metrischer Raum und eine Folge mit für , so ist der
Limes superior (schreibe auch ) definiert durch
Limes inferior (schreibe auch ) definiert durch
Let be a metric space and a sequence with for all , then the
limit superior (also called supremum limit, superior limit, upper limit, or outer limit) (also written as ) is defined as
limit inferior (also called infimum limit, inferior limit, lower limit, or inner limit) (also written as ) is defined as
A graph is a pair such that is a set and is a subset of the set of pairs from . We call the vertices (or nodes, points,junctions) and the edges (or lines, branches, arcs) of .
We call a triple an incidence structure (or incidence geometry), with points , lines , and incidence realation (we say is on , if ), iff
There are at least two points in .
For any two points , there is exactly one line such that and .
For every line there are at least two points on .
For every line there is at least one point with .
For a graph we call the graph on , which has as its vertices the edges of and in which are adjacent as vertices in if and only if they are adjacent as edges in , the line graph of .
Let be a vectorspace over a field and , then we call any sum of scalar multiples of the a linear combination of these.
We call a partial ordering a total ordering (or simple order or linear order), iff or for all .
We call a structure of a set and a total ordering an totally ordered set.
Let be a vectorspace, then we call a set linearly independent (else linearly dependent), iff no is a linear combination of finitely many vectors in .
Let be a vectorspace, then we call a set linearly independent (else linearly dependent), iff no is a linear combination of finitely many vectors in .
The Lobb number counts the number of ways that open parentheses and close parentheses can be arranged to form the start of a valid sequence of balanced parentheses.
where and are two integers with .
We define the product over a sequence by
The variable is called the index of multiplication and and the lower and upper bounds of the product respectively, together the specify the range of multiplication.
There are variant product operators and . The first one specifies the range of the product via a formula in and the second one directly by giving a set .
Summation is iterated addition, we define the sum over a sequnce by
The variable is called the index of summation and and the lower and upper bound of the sum respectively, together the specify the range of summation.
There are variant summation operators and . The first one specifies the range of the summation via a formula in and the second one directly by giving a set .
Let be a proset and , then we call an upper bound of , iff for all and an lower bound, iff for all .
Ist ein metrischer Raum und eine Folge mit für , so ist der
Limes superior (schreibe auch ) definiert durch
Limes inferior (schreibe auch ) definiert durch
Let be a metric space and a sequence with for all , then the
limit superior (also called supremum limit, superior limit, upper limit, or outer limit) (also written as ) is defined as
limit inferior (also called infimum limit, inferior limit, lower limit, or inner limit) (also written as ) is defined as
The least common multiple (lcm) (also called the lowest common multiple or smallest common multiple) of two or more integers is the smallest positive integer that is divisible by all given integers.
The Lucas polynomials are defined by the recurrence relation
The first few Lucas polynomials are:
The lucky numbers of Euler are positive integers such that is a prime number for .
A Lychrel number is a natural number that cannot form a palindromic number through the iterative process of repeatedly reversing its digits and adding the resulting numbers.
In scientific notation all numbers are written in the form of , ( times 10 raised to the power of ), is called the significand or mantissa.
is called normalized, iff
Let be a vector space over a field , then a matrix is a rectangular arrangement of members of .
The minimum (maximum ) of an ordered set is that element (if it exists), such that all other membes of are smaller (larger) than .
If is an expression and a condition (in a variable ), we write for and call it the maximum for over . Analogously, we write for and call it the minimum for over
The minimum (maximum ) of an ordered set is that element (if it exists), such that all other membes of are smaller (larger) than .
If is an expression and a condition (in a variable ), we write for and call it the maximum for over . Analogously, we write for and call it the minimum for over
For a graph , the minimum length of a cycle contained in is the girth of . The maximum length of a cycle contained in is the circumference of . For a graph which does not contain a cycle the girth is set to , its circumference is set to zero.
Let be a real-or complex-valued function that is smooth at a limit point of the domain of , then we call the infinite series given by
the Taylor series for around . If , then the series is known as the Mclaurin series.
A Meertens number is an integer that is its own Gödel number. Only one Meertens number is known:
The Mercator series or Newton-Mercator series is the Taylor series for the natural logarithm:
The series converges whenever .
A Mersenne prime is a prime number of the form . Then is prime too.
Mertens function is defined for all positive integers as where is the Moebius function. The function is named in honour of Franz Mertens.
The above definition can be extended to real numbers as follows:
Let be a set, then we call a function a distance function (or metric ) on , iff for all the following three identities hold:
iff (identity of indiscernibles),
(symmetry), and
(triangle inequality).
We call a metric space with base set and metric .
Let be a set, then we call a function a distance function (or metric ) on , iff for all the following three identities hold:
iff (identity of indiscernibles),
(symmetry), and
(triangle inequality).
We call a metric space with base set and metric .
Let be a set, then we call a function a distance function (or metric ) on , iff for all the following three identities hold:
iff (identity of indiscernibles),
(symmetry), and
(triangle inequality).
We call a metric space with base set and metric .
The minimum (maximum ) of an ordered set is that element (if it exists), such that all other membes of are smaller (larger) than .
If is an expression and a condition (in a variable ), we write for and call it the maximum for over . Analogously, we write for and call it the minimum for over
The minimum (maximum ) of an ordered set is that element (if it exists), such that all other membes of are smaller (larger) than .
If is an expression and a condition (in a variable ), we write for and call it the maximum for over . Analogously, we write for and call it the minimum for over
For a graph , the minimum length of a cycle contained in is the girth of . The maximum length of a cycle contained in is the circumference of . For a graph which does not contain a cycle the girth is set to , its circumference is set to zero.
The integer division operator computes the integer quotient (or modulus) of two natural numbers. is defined as that , such that for some . The number is called the remainder and is written as .
Motzkin numbers for natural numbers can be expressed in terms of Catalan numbers :
The Motzkin number for a given number is the number of different ways of drawing non-intersecting chords on a circle between points.
The first Motzkin numbers are .
A multi-relation expression is built up from binary relations via conjunction: holds, iff holds and also .
A number is called multiperfect or -perfect for a given natural numbers , if and only if the sum of all positive divisors of is equal to .
Let be a ring and , then we say that is a left divisor of (or left divides ) and that is a left multiple of , if there is a such that .
Analogously we say that is a right divisor of (or right divides ) and that is a right multiple of , if there is a such that .
If is commxutative, then left and right divisors coincide and we simply speak of divisor and multiple and write .
, , , and are known as the trivial divisors of . A divisor of that is not a trivial divisor is known as a proper or non-trivial divisor.
A multiple Harshad number is a Harshad number that, when divided by the sum of its digits, produces another Harshad number.
The multiplicative persistence is the number of steps required to reach a single digit.
The multiplicative digital root of a positive integer is found by multiplying the digits of together, then repeating this operation until only a single digit remains. This single-digit number is called the multiplicative digital root of .
The multiplicative persistence is the number of steps required to reach a single digit.
A structure is called a ring, if is a Abelian group (called the additive structure), is a monoid (called the multiplicative structure), and is a ringoid.
We call the zero of the ring and the one of the ring.
A family of sets is called pairwise disjoint or mutually disjoint, if any two of them are disjoint.
Two integers are said to be coprime (also spelled co-prime), relatively prime or mutually prime if their greatest common divisor is .
A Münchhausen number is a number that is equal to the sum of its digits powered to itself.
If is the decimal representation of then
n-plex is defind as the integer .
The number , sometimes called Euler’s constant (also known as Napier’s constant) is an important mathematical constant.
The Narayana numbers count the number of paths from to , with steps only northeast and southeast, not straying below the -axis, with peaks(maxima).
where and are natural number with .
A subset of positive integers has an asymptotic density (or natural density) , where , if the limit exists
is the number of elements of less than or equal to .
The set of natural numbers is the set .
The set of positive natural numbers is the set .
The set of real numbers is defined as the completion of .
We use and for the sets of negative real numbers and positive real numbers.
Let be a topological space and , then we call any open set a neighborhood of , iff .
Two distinct edges and are adjacent if they have an end in common.
Two vertices and in a graph are adjacent, or neighbours, if is an edge of .
A Newman-Shanks-Williams prime, or NSW prime, is a prime number which can be written in the form
where is a natural numbers.
The Mercator series or Newton-Mercator series is the Taylor series for the natural logarithm:
The series converges whenever .
If is differentiable on , then the derivative function of (with respect to ) is defined as
The dependency of on is left implicit in this notation (Lagrange’s notation). In Leibniz’s notation we write the derivative of with respect to as and the derivative of at as or . In Euler’s notation, this is written as and in Newton’snotation as .
The ninth smarandache constant is defind by
where is the smarandache function.
The sum converges.
A Harshad number or Niven number in a given number base is an integer that is divisible by the sum of its digits when written in that base.
We define and is the largest exponent appearing in the prime factorization of a natural number .
Then Niven’s constant is given by
A directed graph (also called digraph or oriented graph) is a pair such that is a set and . We call the vertices (or nodes) and the edges of .
A graph is a pair such that is a set and is a subset of the set of pairs from . We call the vertices (or nodes, points,junctions) and the edges (or lines, branches, arcs) of .
, , , and are known as the trivial divisors of . A divisor of that is not a trivial divisor is known as a proper or non-trivial divisor.
is said to be normal in base if its digits in base follow a uniform distribution.
A real number is said to be normal if its digits in every base follow a uniform distribution: all digits are equally likely, all pairs of digits equally likely, all triplets of digits equally likely, etc.
In scientific notation all numbers are written in the form of , ( times 10 raised to the power of ), is called the significand or mantissa.
is called normalized, iff
A Newman-Shanks-Williams prime, or NSW prime, is a prime number which can be written in the form
where is a natural numbers.
An empty product, or nullary product, is the result of multiplying no factors. It is equal to the multiplicative identity .
An empty sum, or nullary sum, is a summation involving no terms at all. The value of any empty sum of numbers is conventionally taken to be zero.
For example, if then
The number of vertices of a graph , called its order, is written as .
Number theory is a branch of pure mathematics devoted primarily to the study of the integers.
A pronic number , oblong number, rectangular number or heteromecic number, is a number which is the product of two consecutive natural numbers.
We call a triple an incidence structure (or incidence geometry), with points , lines , and incidence realation (we say is on , if ), iff
There are at least two points in .
For any two points , there is exactly one line such that and .
For every line there are at least two points on .
For every line there is at least one point with .
A structure is called a ring, if is a Abelian group (called the additive structure), is a monoid (called the multiplicative structure), and is a ringoid.
We call the zero of the ring and the one of the ring.
Let be a metric space, then we call the set the open ball and the closed ball around with radius . We also write and .
A topological space is a set together with a collection , such that
.
if .
if is finite.
is called an open set topology (or just topology) on . Members of a topology are called open sets and their complements closed sets. A subset of may be neither closed nor open, either closed or open, or both. A set that is both closed and open is called a clopen set.
A topological space is a set together with a collection , such that
.
if .
if is finite.
is called an open set topology (or just topology) on . Members of a topology are called open sets and their complements closed sets. A subset of may be neither closed nor open, either closed or open, or both. A set that is both closed and open is called a clopen set.
We call a set of points a ternary relation an order geometry , iff
If , then
.
is a collinear set.
.
If and are distinct points, then there is at least one point , such that .
If , and are distinct collinear points, then , or , or .
and cannot hold at the same time.
If , we say that is between and .
We call a partial ordering a total ordering (or simple order or linear order), iff or for all .
We call a structure of a set and a total ordering an totally ordered set.
We call a structure of a set and a partial ordering an ordered set.
A harmonic divisor number, or Ore number, is a positive integer whose divisors have a harmonic mean that is an integer.
A directed graph (also called digraph or oriented graph) is a pair such that is a set and . We call the vertices (or nodes) and the edges of .
Let be a directed graph and a vertex in , then we define
indegree of as
outdegree of as
Ist ein metrischer Raum und eine Folge mit für , so ist der
Limes superior (schreibe auch ) definiert durch
Limes inferior (schreibe auch ) definiert durch
Let be a metric space and a sequence with for all , then the
limit superior (also called supremum limit, superior limit, upper limit, or outer limit) (also written as ) is defined as
limit inferior (also called infimum limit, inferior limit, lower limit, or inner limit) (also written as ) is defined as
Let and be sets, then the set of pairs of and is defined as , we call a pair.
Let and be sets, then the set of pairs of and is defined as , we call a pair.
A family of sets is called pairwise disjoint or mutually disjoint, if any two of them are disjoint.
A practical number or panarithmic number is a positive integer such that all smaller positive integers can be represented as sums of distinct divisors of .
A tree is a directed acyclic graph such that
there is exactly one initialnode (called the root), and
all nodes but the root have indegree 1.
We call the parent of , iff ( is a child of ). We call a node a leaf of , iff it is terminal, i.e. if it does not have children.
A relation , is called a partial function with domain (write ) and codomain (write ), iff for all there is at most one with .
We write and instead of .
We call a partial ordering a total ordering (or simple order or linear order), iff or for all .
We call a structure of a set and a total ordering an totally ordered set.
We call a preorder on a partial ordering (or partial order), iff it is antisymmetric. We associate with a strict ordering .
We often also use the converse relations and .
We call a structure of a set and a partial ordering an ordered set.
We call a partial ordering a total ordering (or simple order or linear order), iff or for all .
We call a structure of a set and a total ordering an totally ordered set.
We call a preorder on a partial ordering (or partial order), iff it is antisymmetric. We associate with a strict ordering .
We often also use the converse relations and .
We call a structure of a set and a partial ordering an ordered set.
For any sequence with or we define the -th partial sum .
The series induced by is the sequence of partial sums .
Given a directed graph we call a vector a path in iff for all , .
is called the start of (write )
is called the end of (write )
is called the length of (write )
A perfect number is a positive integer that is equal to the sum of its aliquot sum.
A permutable prime is a prime that is prime for all permutations of its digits.
For example:
A Pierpont prime is a prime number of the form
for some nonnegative integers and .
The plastic number (also known as the plastic constant) is a mathematical constant which is the unique real solution of the cubic equation . It has the value
The plastic number (also known as the plastic constant) is a mathematical constant which is the unique real solution of the cubic equation . It has the value
A graph is a pair such that is a set and is a subset of the set of pairs from . We call the vertices (or nodes, points,junctions) and the edges (or lines, branches, arcs) of .
We call a triple an incidence structure (or incidence geometry), with points , lines , and incidence realation (we say is on , if ), iff
There are at least two points in .
For any two points , there is exactly one line such that and .
For every line there are at least two points on .
For every line there is at least one point with .
Let be a set, a metric space, and a sequence of functions , then we call pointwise convergent to on , iff for all .
Ist eine Menge, ein metrischer Raum und eine Folge von Funktionen , dann nennen wir punktweise konvergent gegen auf , falls für alle .
A polite number is a positive integer that can be written as the sum of two or more consecutive positive integers.
The set of real numbers is defined as the completion of .
We use and for the sets of negative real numbers and positive real numbers.
A powerful number is a positive integer such that for every prime number dividing , also divides .
A powerful number is the product of a square and a cube. Powerful numbers are also known as squareful numbers, square-full numbers, or 2-full numbers.
A practical number or panarithmic number is a positive integer such that all smaller positive integers can be represented as sums of distinct divisors of .
Let be a function, , and , then we call
the image of under ,
the image of , and
the pre-image of under .
We call a structure of a set equipped with a preorder an preordered set or proset.
We call a binary relation on a preorder (or quasiorder), iff it is reflexive and transitive.
We call a structure of a set equipped with a preorder an preordered set or proset.
A prime number is called a prime factor of the natural number , if is a divisor of .
A prime gap is the difference between two successive prime numbers. The -th prime gap, denoted or is the difference between the -th and the -th prime number.
A prime quadruplet (sometimes called prime quadruple) is a set of four primes of the form .
For example:
A prime quadruplet (sometimes called prime quadruple) is a set of four primes of the form .
For example:
If is a prime quadruplet and or is also prime, then the five primes form a prime quintuplet.
For example:
If is a prime quadruplet and both and are also primes, then the six primes form a prime sextuplet.
For example:
A Pythagorean triple consists of three natural numbers , and , such that . A primitive Pythagorean triple is one in which , and are coprime.
A number is a primitive root modulo if every number coprime to is congruent modulo to a power of modulo .
The primorial of a natural numbers , denoted by , is the product of all prime numbers less than or equal to .
We define the product over a sequence by
The variable is called the index of multiplication and and the lower and upper bounds of the product respectively, together the specify the range of multiplication.
There are variant product operators and . The first one specifies the range of the product via a formula in and the second one directly by giving a set .
Let be a collection of sets for , then the -fold Cartesian product is , we call an -tuple.
We call the function the ( th ) projection.
Let be a set and be an equivalence relation on , then for any we call we call the set the equivalence class of (under ), and the set the quotient space of (under ).
The mapping is called the projection of to .
A pronic number , oblong number, rectangular number or heteromecic number, is a number which is the product of two consecutive natural numbers.
, , , and are known as the trivial divisors of . A divisor of that is not a trivial divisor is known as a proper or non-trivial divisor.
We call a structure of a set equipped with a preorder an preordered set or proset.
A Proth number is a number of the form where is an odd positive integer and is a positive integer such that .
The Cullen numbers and Fermat numbers are special cases of Proth numbers.
A Proth prime is a prime number of the form where is an odd positive integer and is a positive integer such that .
Let be a set, a metric space, and a sequence of functions , then we call pointwise convergent to on , iff for all .
Ist eine Menge, ein metrischer Raum und eine Folge von Funktionen , dann nennen wir punktweise konvergent gegen auf , falls für alle .
A Pythagorean box is a quadruple of natural numbers those define a cuboid with side lengths , , and the space diagonal length .
A Pythagorean triple consists of three natural numbers , and , such that . A primitive Pythagorean triple is one in which , and are coprime.
We call a structure of a set equipped with a preorder an preordered set or proset.
We call a binary relation on a preorder (or quasiorder), iff it is reflexive and transitive.
Let be a set and be an equivalence relation on , then for any we call we call the set the equivalence class of (under ), and the set the quotient space of (under ).
The mapping is called the projection of to .
Let for real numbers , , , and , then the Ramanujan 6-10-8 identity is given by
The Ramanujan-Soldner constant is defined as the unique positive zero of the logarithmic integral .
Ramanujan’s constant is the irrational number . It is very close to an integer: .
We define the product over a sequence by
The variable is called the index of multiplication and and the lower and upper bounds of the product respectively, together the specify the range of multiplication.
There are variant product operators and . The first one specifies the range of the product via a formula in and the second one directly by giving a set .
We define the product over a sequence by
The variable is called the index of multiplication and and the lower and upper bounds of the product respectively, together the specify the range of multiplication.
There are variant product operators and . The first one specifies the range of the product via a formula in and the second one directly by giving a set .
Summation is iterated addition, we define the sum over a sequnce by
The variable is called the index of summation and and the lower and upper bound of the sum respectively, together the specify the range of summation.
There are variant summation operators and . The first one specifies the range of the summation via a formula in and the second one directly by giving a set .
For distinct points and , we call the set
the ray from through . We call the end point of .
A real function, also real-valued function, , is a function whose values are real numbers: .
The set of real numbers is defined as the completion of .
We use and for the sets of negative real numbers and positive real numbers.
A real function, also real-valued function, , is a function whose values are real numbers: .
A pronic number , oblong number, rectangular number or heteromecic number, is a number which is the product of two consecutive natural numbers.
A relation is called
reflexive on , iff for all , and
irreflexive (or anti-reflexive) on , iff for all .
If in a graph all the vertices have the same degree, say , then is called -regular, or simply regular.
A 3-regular graph is called cubic graph.
Two integers are said to be coprime (also spelled co-prime), relatively prime or mutually prime if their greatest common divisor is .
The integer division operator computes the integer quotient (or modulus) of two natural numbers. is defined as that , such that for some . The number is called the remainder and is written as .
A repdigit is a number that contains only the same digit.
The representation of the repdigits in base is for , and .
The number of times the digits must be summed to reach the digital sum is called a number’s additive persistence.
A repunit is a natural number that contains only the digit .
The base-b repunits are defined as for and .
A repunit prime is a repunit that is also a prime number.
A repunit is a natural number that contains only the digit .
The base-b repunits are defined as for and .
A repunit prime is a repunit that is also a prime number.
Let be a function and , then we call the function the restriction of to .
The Riemann hypothesis is the conjecture that the nontrivial zeros of the Riemann zeta function all have real part .
The Riemann integral of a function over the interval is the limit of the Riemann sums.
A Riesel number is an odd natural number such that is composite, for all natural numbers .
Given an element of the group and one of its subgroups , we define the left coset (respectively the right coset) of with as (respectively ).
Let be a ring and , then we say that is a left divisor of (or left divides ) and that is a left multiple of , if there is a such that .
Analogously we say that is a right divisor of (or right divides ) and that is a right multiple of , if there is a such that .
If is commxutative, then left and right divisors coincide and we simply speak of divisor and multiple and write .
, , , and are known as the trivial divisors of . A divisor of that is not a trivial divisor is known as a proper or non-trivial divisor.
Let be a ring and , then we say that is a left divisor of (or left divides ) and that is a left multiple of , if there is a such that .
Analogously we say that is a right divisor of (or right divides ) and that is a right multiple of , if there is a such that .
If is commxutative, then left and right divisors coincide and we simply speak of divisor and multiple and write .
, , , and are known as the trivial divisors of . A divisor of that is not a trivial divisor is known as a proper or non-trivial divisor.
Let be a ring and , then we say that is a left divisor of (or left divides ) and that is a left multiple of , if there is a such that .
Analogously we say that is a right divisor of (or right divides ) and that is a right multiple of , if there is a such that .
If is commxutative, then left and right divisors coincide and we simply speak of divisor and multiple and write .
, , , and are known as the trivial divisors of . A divisor of that is not a trivial divisor is known as a proper or non-trivial divisor.
A two-sided prime is both left-truncatable and right-truncatable.
For example:
A right-truncatable prime is a prime number which remains prime when the last (“right”) digit is successively removed.
For example:
Let with and .
Then the leftsided limit of at (also: the limit of as approaches from below) is defined to be the , sucht that for every there is a such that whenever . The leftsided limit is written as , , or .
Analogously, the rightsided limit at (also: the limit of as approaches from above) is the , such that for every there is a such that whenever . The rightsided limit is written as , , or .
A structure is called a ring, if is a Abelian group (called the additive structure), is a monoid (called the multiplicative structure), and is a ringoid.
We call the zero of the ring and the one of the ring.
A tree is a directed acyclic graph such that
there is exactly one initialnode (called the root), and
all nodes but the root have indegree 1.
We call the parent of , iff ( is a child of ). We call a node a leaf of , iff it is terminal, i.e. if it does not have children.
A Schröder number is the number of paths from the southwest corner of an grid to the northeast corner , using only single steps north, northeast, or east, that do not rise above the SW-NE diagonal.
The first few Schröder numbers are
The Schröder-Hipparchus number (or super-Catalan number) is for natural numbers defind by the recurrence relation:
The Schröder-Hipparchus number (or super-Catalan number) is for natural numbers defined by
The Schröder-Hipparchus number (or super-Catalan number) is the number of plane trees with leaves.
The first Schröder-Hipparchus numbers are:
In scientific notation all numbers are written in the form of , ( times 10 raised to the power of ), is called the significand or mantissa.
is called normalized, iff
For any we define the th derivative of a function as
The first derivative of is , is the second derivative of , the third derivative of , etc. In Leibniz’ notation the th derivative function of is denoted by .
We call times differentiable at , iff exists as a limit. Analogously, is times differentiable on , iff exists and is total on .
is called infinitely differentiable or smooth at or on , iff and exist for all respectively.
The second Skewes number is the number above which must fail assuming that the Riemann hypothesis is false.
The second smarandache constant is defind by
where is the smarandache function.
For any sequence with or we define the -th partial sum .
The series induced by is the sequence of partial sums .
For any sequence with or we define the -th partial sum .
The series induced by is the sequence of partial sums .
For any sequence with or we define the -th partial sum .
The series induced by is the sequence of partial sums .
The seventh smarandache constant is defind for a natural number by
where is the smarandache function.
The sum converges.
A Sierpinski number is an odd natural numbers such that is composite, for all natural numbers .
In scientific notation all numbers are written in the form of , ( times 10 raised to the power of ), is called the significand or mantissa.
is called normalized, iff
Given a directed graph ,
a path is called cyclic (or a cycle) iff .
a cycle is called simple, iff for with .
is called acyclic (or a DAG (directed acyclic graph)) iff there is no cycle in .
We call a partial ordering a total ordering (or simple order or linear order), iff or for all .
We call a structure of a set and a total ordering an totally ordered set.
A real numbers is said to be simply normal if its digits in every base are equally likely.
A number is absolutely non-normal or absolutely abnormal if it is not simply normal in any base.
is said to be simply normal in base if its digits in base are equally likely.
A number is absolutely non-normal or absolutely abnormal if it is not simply normal in any base.
is said to be simply normal in base if its digits in base are equally likely.
The sixteenth smarandache constant is defind by
where is the smarandache function.
The sum converges for all real numbers .
The sixth smarandache constant is defind by
where is the smarandache function.
The sum converges.
.
We say that a set is finite and has cardinality (or size) , iff there is a bijective function .
The cardinality of a set is also written as , , , or .
The second Skewes number is the number above which must fail assuming that the Riemann hypothesis is false.
The least common multiple (lcm) (also called the lowest common multiple or smallest common multiple) of two or more integers is the smallest positive integer that is divisible by all given integers.
The Smarandache function is defined for a given positive integer to be the smallest number such that divides its factorial.
We call times differentiable at , iff exists as a limit. Analogously, is times differentiable on , iff exists and is total on .
is called infinitely differentiable or smooth at or on , iff and exist for all respectively.
A sphenic number is a natural number that is the product of three distinct prime numbers.
A powerful number is a positive integer such that for every prime number dividing , also divides .
A powerful number is the product of a square and a cube. Powerful numbers are also known as squareful numbers, square-full numbers, or 2-full numbers.
A powerful number is a positive integer such that for every prime number dividing , also divides .
A powerful number is the product of a square and a cube. Powerful numbers are also known as squareful numbers, square-full numbers, or 2-full numbers.
Given a directed graph we call a vector a path in iff for all , .
is called the start of (write )
is called the end of (write )
is called the length of (write )
If for a prime there is no smaller prime and nonzero integer such that
then is a Stern prime.
We call a partial ordering a total ordering (or simple order or linear order), iff or for all .
We call a structure of a set and a total ordering an totally ordered set.
We call a preorder on a partial ordering (or partial order), iff it is antisymmetric. We associate with a strict ordering .
We often also use the converse relations and .
We call a structure of a set and a partial ordering an ordered set.
A strong prime is a prime number that is greater than the arithmetic mean of the nearest primes above and below.
where is the th prime number.
A structure combines multiple mathematical objects (the components) into a new object. Structures are usually given as finite enumerations, where the components have names by which they can be referenced.
A cover of a set is a collection of sets, such that . A subset is called a subcover of , iff it still covers .
Summation is iterated addition, we define the sum over a sequnce by
The variable is called the index of summation and and the lower and upper bound of the sum respectively, together the specify the range of summation.
There are variant summation operators and . The first one specifies the range of the summation via a formula in and the second one directly by giving a set .
The sum-of-divisors function (also written as ) is defined as the sum of the positive divisors of , i.e.
The summatory von Mangoldt function, also known as the Chebyshev function, is defined as
The Schröder-Hipparchus number (or super-Catalan number) is for natural numbers defind by the recurrence relation:
The Schröder-Hipparchus number (or super-Catalan number) is for natural numbers defined by
The Schröder-Hipparchus number (or super-Catalan number) is the number of plane trees with leaves.
The first Schröder-Hipparchus numbers are:
Ist ein metrischer Raum und eine Folge mit für , so ist der
Limes superior (schreibe auch ) definiert durch
Limes inferior (schreibe auch ) definiert durch
Let be a metric space and a sequence with for all , then the
limit superior (also called supremum limit, superior limit, upper limit, or outer limit) (also written as ) is defined as
limit inferior (also called infimum limit, inferior limit, lower limit, or inner limit) (also written as ) is defined as
Let be an ordered set and , then we call the smallest upper bound (largest lower bound ) of the supremum or least upper bound (infimum or greatest lower bound) of (if it exists).
If is an expression and a condition (in a variable ), we write for and call it the supremum for over . Analogously, we write for and call it the infimum for over
Ist ein metrischer Raum und eine Folge mit für , so ist der
Limes superior (schreibe auch ) definiert durch
Limes inferior (schreibe auch ) definiert durch
Let be a metric space and a sequence with for all , then the
limit superior (also called supremum limit, superior limit, upper limit, or outer limit) (also written as ) is defined as
limit inferior (also called infimum limit, inferior limit, lower limit, or inner limit) (also written as ) is defined as
A relation is called
symmetric on , iff for all with .
asymmetric on , iff for all with .
antisymmetric on , iff and imply .
Let be a set, then we call a function a distance function (or metric ) on , iff for all the following three identities hold:
iff (identity of indiscernibles),
(symmetry), and
(triangle inequality).
We call a metric space with base set and metric .
The th taxicab number is defined as the smallest number that can be expressed as a sum of two positive cubes in distinct ways.
For example:
Let be a real-or complex-valued function that is smooth at a limit point of the domain of , then we call the infinite series given by
the Taylor series for around . If , then the series is known as the Mclaurin series.
The tenth smarandache constants are defind by
where is the smarandache function.
The sum converges for all real number .
For any we define the th derivative of a function as
The first derivative of is , is the second derivative of , the third derivative of , etc. In Leibniz’ notation the th derivative function of is denoted by .
We call times differentiable at , iff exists as a limit. Analogously, is times differentiable on , iff exists and is total on .
is called infinitely differentiable or smooth at or on , iff and exist for all respectively.
For any we define the th derivative of a function as
The first derivative of is , is the second derivative of , the third derivative of , etc. In Leibniz’ notation the th derivative function of is denoted by .
We call times differentiable at , iff exists as a limit. Analogously, is times differentiable on , iff exists and is total on .
is called infinitely differentiable or smooth at or on , iff and exist for all respectively.
The third smarandache constant is defind by
where is the smarandache function.
The thirteenth smarandache constant is defind by
where is the smarandache function.
The sum converges.
We call times differentiable at , iff exists as a limit. Analogously, is times differentiable on , iff exists and is total on .
is called infinitely differentiable or smooth at or on , iff and exist for all respectively.
A topological space is a set together with a collection , such that
.
if .
if is finite.
is called an open set topology (or just topology) on . Members of a topology are called open sets and their complements closed sets. A subset of may be neither closed nor open, either closed or open, or both. A set that is both closed and open is called a clopen set.
A topological space is a set together with a collection , such that
.
if .
if is finite.
is called an open set topology (or just topology) on . Members of a topology are called open sets and their complements closed sets. A subset of may be neither closed nor open, either closed or open, or both. A set that is both closed and open is called a clopen set.
If is a total relation (i.e. for all there is a unique with ), we call a total function and write .
We call a partial ordering a total ordering (or simple order or linear order), iff or for all .
We call a structure of a set and a total ordering an totally ordered set.
We call a partial ordering a total ordering (or simple order or linear order), iff or for all .
We call a structure of a set and a total ordering an totally ordered set.
Let be a binary relation, then we call the smallest transitive, reflexive relation that contains the transitive-reflexive closure of we denote it with .
A tree is a directed acyclic graph such that
there is exactly one initialnode (called the root), and
all nodes but the root have indegree 1.
We call the parent of , iff ( is a child of ). We call a node a leaf of , iff it is terminal, i.e. if it does not have children.
Let be a set, then we call a function a distance function (or metric ) on , iff for all the following three identities hold:
iff (identity of indiscernibles),
(symmetry), and
(triangle inequality).
We call a metric space with base set and metric .
, , , and are known as the trivial divisors of . A divisor of that is not a trivial divisor is known as a proper or non-trivial divisor.
Let be a function which satisfies the condition
for a natural numbers , the given constants , and is the number of divisors of . The twelfth Smarandache constants are defind by:
The sum converges.
A two-sided prime is both left-truncatable and right-truncatable.
For example:
Let be a set, a metric space, and a sequence of functions , then we call uniformly convergent to on , iff for every , there exists a , such that for all and all we have .
Ist eine Menge, ein metrischer Raum und eine Folge von Funktionen , dann nennen wir gleichmäïg konvergent gegen auf , falls zu jedem ein existiert, so dass für alle und alle .
Let be a proset and , then we call an upper bound of , iff for all and an lower bound, iff for all .
We define the product over a sequence by
The variable is called the index of multiplication and and the lower and upper bounds of the product respectively, together the specify the range of multiplication.
There are variant product operators and . The first one specifies the range of the product via a formula in and the second one directly by giving a set .
Summation is iterated addition, we define the sum over a sequnce by
The variable is called the index of summation and and the lower and upper bound of the sum respectively, together the specify the range of summation.
There are variant summation operators and . The first one specifies the range of the summation via a formula in and the second one directly by giving a set .
Ist ein metrischer Raum und eine Folge mit für , so ist der
Limes superior (schreibe auch ) definiert durch
Limes inferior (schreibe auch ) definiert durch
Let be a metric space and a sequence with for all , then the
limit superior (also called supremum limit, superior limit, upper limit, or outer limit) (also written as ) is defined as
limit inferior (also called infimum limit, inferior limit, lower limit, or inner limit) (also written as ) is defined as
Let be an -dimensional vector space and be a basis of , we then define the vector product of the vectors as
A pair of rays and is called an angle with vertex . We write as .
A directed graph (also called digraph or oriented graph) is a pair such that is a set and . We call the vertices (or nodes) and the edges of .
A graph is a pair such that is a set and is a subset of the set of pairs from . We call the vertices (or nodes, points,junctions) and the edges (or lines, branches, arcs) of .
The sine integral of is called the Wilbraham-Gibbs constant.
A structure is called a ring, if is a Abelian group (called the additive structure), is a monoid (called the multiplicative structure), and is a ringoid.
We call the zero of the ring and the one of the ring.
kümesi, kümesinin alt kümesidir ( olarak yazılır), eğer her bir ’nin de elemanı ise.
İki küme ve ’ye, ayrık denir, eğer ise.
Bir mümeler ailesi çift olarak ayrık ya da karşılıklı olarak ayrık dır, eğer herhangi iki tanesi ayrık ise.
bir küme ve bir kümeler ailesi olsun. Bu durumda, topluluğu üzerindeki birleşim şudur: için.
ve iki küme olsun. Bu durumda, ve ’nin birleşimi , olarak tanımlanır.
kümesi, kümesinin bir düzgün alt kümesidir ( olarak yazılır), eğer ise.
kümesi, kümesinin düzgün alt kümesidir ( olarak yazılır), eğer ise ama ise.
İki küme ve eşittir ( olarak yazılır), eğer her ikisi de aynı elemanlara sahip iseler.
Bir mümeler ailesi çift olarak ayrık ya da karşılıklı olarak ayrık dır, eğer herhangi iki tanesi ayrık ise.
bir küme ve tarafından indekslenmiş bir küme ailesi olsun. Bu durumda üzerine kesişim dir.
ve iki küme olsun. Bu durumda, ve çifti , olarak tanımlanır, ’ya bir çift denir.
ve iki küme olsun. Bu durumda, ve çifti , olarak tanımlanır, ’ya bir çift denir.
Bir mümeler ailesi çift olarak ayrık ya da karşılıklı olarak ayrık dır, eğer herhangi iki tanesi ayrık ise.
Wir nennen mal differeinzierbar in , falls als Grenzwert existiert. Analog nennen wir mal differenzierbar auf , falls existiert und auf total ist.
Wir nennen unendlich differenzierbar oder glatt auf oder , wenn beziehungsweise für alle existieren.
Wir nennen mal differeinzierbar in , falls als Grenzwert existiert. Analog nennen wir mal differenzierbar auf , falls existiert und auf total ist.
Wir nennen unendlich differenzierbar oder glatt auf oder , wenn beziehungsweise für alle existieren.
Ist eine Eigenschaft und eine Relation, dann nennen wir die kleinste (bezüglich ) Relation die Eigenschaft hat den -Abschluss von .
Eine Folge von Zahlen ist -additiv, wenn jede Zahl der Folge, nach den Anfangsgliedern, auf genau Arten als Summe zweier vorheriger Zahlen der Folge dargestellt werden kann.
Der -dimenionale Cartesische Raum über einer Menge ist definiert als . Wir nennen ein element einen Vektor.
Sei eine Familie von Mengen dann definieren wir das -fache Cartesische Product als , und nennen -Tupel.
Wir nennen die Funktion die te Projektion.
Wir nennen eine Formel eine alphabetische Variante von (oder -gleich; schreibe ), wenn aus hervorgeht durch systematische Umbenennung gebundener Variablen.
Eine -potente Zahl ist eine natürliche Zahl , so dass für jeden Primteiler von auch Teiler von ist.
Eine natürliche Zahl heißt -potenzglatt bezüglich einer Schranke , wenn in ihrer Primfaktorzerlegung nur Primpotenzen kleiner oder gleich vorkommen. Das heißt, für jeden Primfaktor , der mal vorkommt, gilt: .
Wenn in einem Graph alle Ecken denselben Grad aufweisen, sagen wir , dann nennt man -regulär, oder schlicht regulär.
Ein 3-regulärer Graph wird auch kubischer Graph genannt.
Ein -Simplex ist ein -dimensionales Polytop das als die konvexe Hülle von affin unabhängigen Punkten in gegeben ist.
Sei eine Familie von Mengen dann definieren wir das -fache Cartesische Product als , und nennen -Tupel.
Wir nennen die Funktion die te Projektion.
Die -Ulam-Zahlen bilden eine ganzzahlige Folge. Die -Ulam-Folge beginnt mit und . Für wird dann definiert als die kleinste ganze Zahl, die sich auf genau eine Weise als Summe zweier verschiedener vorhergehender Ulam-Zahlen darstellen lässt.
Die -Ulam-Zahlen bilden eine ganzzahlige Folge. Die -Ulam-Folge beginnt mit und . Für wird dann definiert als die kleinste ganze Zahl, die sich auf genau eine Weise als Summe zweier verschiedener vorhergehender Ulam-Zahlen darstellen lässt.
Ein topologischer Raum ist eine Menge zusammen mit einer Familie , so daß
.
falls .
falls endlich.
Dann heißt eine Topologie) auf . Elemente der Topologie heißen offene Mengen und ihre Komplemente abgeschlossen oder einfach geschlossen . Eine Teilmenge von kann weder gesclossen noch offen, oder gesclossen, oder offen oder beides.
Ist differenzierbar auf , so definieren wir die Ableitungsfunktion von nach als
Die Abhängigkeit von ist bleibt dieser Notation (Lagrange Notation) implizit. In Leibniz Notation schreiben wir die Ableitungsfunktion von nach als . In Eulers Notation schreiben wir und in Newtonnotation .
Wir nennen differenzierbar an einem Häufungspunkt , falls der Grenzwert
existiert. Dieser Grenzwert heißt Ableitung von nach an der Stelle . Wir nennen differenzierbar auf , falls differenzierbar an jedem ist.
Ist differenzierbar auf , so definieren wir die Ableitungsfunktion von nach als
Die Abhängigkeit von ist bleibt dieser Notation (Lagrange Notation) implizit. In Leibniz Notation schreiben wir die Ableitungsfunktion von nach als . In Eulers Notation schreiben wir und in Newtonnotation .
Die Abrundung (oder der ganze Teil)
Eine reelle Zahl ist absolut nicht-normal oder absolut unnormal, wenn sie in keiner Basis einfach normal ist.
Eine reelle Zahl ist absolut nicht-normal oder absolut unnormal, wenn sie in keiner Basis einfach normal ist.
Für eine Mente nennen wir eine Funktion eine Abstandsfunktion (or Metrik ) auf , falls die folgenden drei Eigenschaften für alle gelten:
gdw. (Definitheit),
(Symmetrie) und
(Dreiecksungleichung).
Wir nennen einen metrischen Raum mit Grundmenge und Metrik .
Die Abundancy einer ganzen Zahl ist das Verhältnis . Dabei ist die Teilersummenfunktion.
Wir nennen eine Menge abzählbar unendlich, wenn es eine bijektive Function gibt.
Die achte Smarandache-Konstante ist für eine natürliche Zahl definiert als
Dabei ist die Smarandache-Funktion.
Die Summe konvergiert.
Die arithmetischen Operationen sind Addition , Subtraktion, , Multiplikation , Division und Exponentiation.
Eine Struktur heißt Ring, wenn eine Abelsch e Gruppe ist (die additive Struktur), ein Monoid (die multiplikative Struktur) ist, sowie is a Ringoid.
Wir nennen die Null des Rings und entsprechend die Eins.
Zwei Ecken und in einem Graph sind adjazent, oder Nachbarn, wenn eine Kante von ist.
Zwei Kanten sind adjazent, wenn sie ein Ende gemeinsam haben.
Wir nennen eine Menge von Punkten in affin unabhängig, wenn die Menge linear unabhängig sind.
Eine Aliquot-Folge startet mit einer positiven ganzen Zahl . Jedes weitere Glied ist die Summe der echtenTeiler des vorhergehenden Gliedes.
Eine all-Harshad-Zahl oder eine all-Niven-Zahl ist eine ganze Zahl, die in jeder beliebigen Zahlenbasis eine Harshad-Zahl ist. Es gibt nur vier all-Harshad-Zahlen: 1, 2, 4, und 6.
Eine all-Harshad-Zahl oder eine all-Niven-Zahl ist eine ganze Zahl, die in jeder beliebigen Zahlenbasis eine Harshad-Zahl ist. Es gibt nur vier all-Harshad-Zahlen: 1, 2, 4, und 6.
Wir nennen eine Formel eine alphabetische Variante von (oder -gleich; schreibe ), wenn aus hervorgeht durch systematische Umbenennung gebundener Variablen.
Wir nennen zwei mathematische Objekte and annährend gleich, (schreibe ), wenn die einzigen Eigenschaften, die sie auseinanderhalten, weniger relevant sind in der aktuellen Situation.
Eine Relation heißt
reflexiv auf , wenn für alle , und
irreflexiv (or antireflexiv) auf , wenn für alle .
Eine Relation heißt
symmetrisch auf , falls für alle mit .
asymmetrisch auf , falls für alle mit .
antisymmetrisch auf , falls wenn und .
Eine Relation , heißt partielle Funktion mit Argumentbereich (schreibe ) und Wertebereich (schreibe ), wenn es für jedes höchstens ein gibt mit .
Wir schreiben und wenn .
Die arithmetischen Operationen sind Addition , Subtraktion, , Multiplikation , Division und Exponentiation.
Die arithmetischen Operationen sind Addition , Subtraktion, , Multiplikation , Division und Exponentiation.
Eine Relation heißt
symmetrisch auf , falls für alle mit .
asymmetrisch auf , falls für alle mit .
antisymmetrisch auf , falls wenn und .
Eine Teilmenge der positiven ganzen Zahlen hat eine asymptotische Dichte (oder natürliche Dichte) , wobei gilt, wenn der Grenzwert existiert
ist die Anzahl der Elemente von , die nicht größer als sind.
Die Abrundung (oder der ganze Teil)
Die Aufrundung einer reellen Zahl ist die kleinste ganze Zahl, die nicht kleiner ist als .
Ist ein gerichteter Graph, so nennen wir
einen Pfad in zyklisch (auch einen Zykel oder eine Schleife), falls .
einen Zykel einfach, wenn für alle mit .
azyklisch, wenn keinen Zykel enthält.
Die Bailey-Borwein-Plouffe-Formel (BBP-Formel) ist eine Reihe zur Berechnung von :
Eine Balance-Primzahl ist eine Primzahl, die gleich dem arithmetischen Mittel der nächstkleineren und der nächstgrößeren Primzahl ist.
Dabei ist die -te Primzahl.
Eine reelle Zahl wird Barriere Qeiner zahlentheoretischen Funktion genant, wenn für alle .
Die Baxter-Hickerson-Funktion ist für nicht-negative ganze Zahlen definiert als
Sie erzeugt Zahlen, deren Kuben nicht die Ziffer enthalten.
Befreundete Zahlen sind ein Paar natürlicher Zahlen, deren Summen ihrer Teiler (außer den Zahlen selbst) jeweils die andere Zahl ergibt.
Die Anzahl der notwendigen Schritte, um durch wiederholte Querprodukte zu einer einstelligen Zahl zu gelangen, nennt man Beharrlichkeit der Zahl.
Beidseitig trunkierbare Primzahlen sind sowohl links- als auch rechtstrunkierbare Primzahlen.
Zum Beispiel:
Sei eine Funktion, und , dann nennen wir
das Bild von unter ,
das Bild von , und
das Urbild von unter .
Sei eine Funktion, und , dann nennen wir
das Bild von unter ,
das Bild von , und
das Urbild von unter .
Der Binomialkoeffizient ist definiert als die Anzahl der -elementigen Teilmengen einer -elementigen Menge.
Ein gerichteter Graph (auch Digraph) ist ein Paar aus einer Menge und einer Menge geordneter Paare über . Wir nennen die Knoten und die Kanten (auch Bögen) von .
Die -te Cabtaxi-Zahl ist definiert als die kleinste positive ganze Zahl, die auf verschiedene Arten als Summe oder Differenz zweier Kubikzahlen (einschließlich ) dargestellt werden kann.
Zum Beispiel:
Sei die Sylvester-Folge.
Die Cahen-Konstante ist ein ägyptischerBruch, gebildet aus einer unendlichen Reihe von Stammbrüchen, deren Nenner die geradzahligen Elemente der Sylvester-Folge sind:
Sei die Sylvester-Folge.
Die Cahen-Konstante ist eine unendliche Reihe von Stammbrüchen mit alternierenden Vorzeichen
Eine zusammengesetzte natürliche Zahl heißt Carmichael-Zahl, falls für alle zu teilerfremden Zahlen die folgende Kongruenz erfüllt ist:
Die Cassini-Identität ist eine Identität für ganze Zahlen und die Fibonacci-Zahlen.
Die Catalan-Identität ist eine Identität für ganze Zahlen , und die Fibonacci-Zahlen.
Die Catalan-Zahlen bilden eine Folge von natürlichen Zahlen, die wie folgt definiert ist
für .
In einem metrischen Raum nennen wir eine Folge eine Cauchyfolge, falls es für jedes ein gibt, so dass für alle .
Eine Woodall-Zahl ist eine natürliche Zahl der Form
mit einer natürlichen Zahl . Woodall-Zahlen werden manchmal auch als Cullen-Zahlen der zweiten Art bezeichnet.
Woodall-Zahlen die Primzahlen sind werden als Woodall-Primzahlen bezeichnet.
Wir nennen ein Paar eine a definitionale Gleichung mit Definiendum und Definiens , wenn ein neues Symbol ist, das nicht in vorkommt.
Wir nennen ein Paar eine a definitionale Gleichung mit Definiendum und Definiens , wenn ein neues Symbol ist, das nicht in vorkommt.
Für eine Mente nennen wir eine Funktion eine Abstandsfunktion (or Metrik ) auf , falls die folgenden drei Eigenschaften für alle gelten:
gdw. (Definitheit),
(Symmetrie) und
(Dreiecksungleichung).
Wir nennen einen metrischen Raum mit Grundmenge und Metrik .
Wir nennen ein Paar eine a definitionale Gleichung mit Definiendum und Definiens , wenn ein neues Symbol ist, das nicht in vorkommt.
Der dekadische Logarithmus (oder Zehnerlogarithmus) ist der Logarithmus zur Basis 10.
Eine Delannoy-Zahl ist die Anzahl der Wege von der südwest-Ecke eines rechteckigen Gitters zur nordost-Ecke , unter Verwendung von Einzelschritten in Richtung Nord, Nordost oder Ost.
Es folgt und
für alle .
Ist differenzierbar auf , so definieren wir die Ableitungsfunktion von nach als
Die Abhängigkeit von ist bleibt dieser Notation (Lagrange Notation) implizit. In Leibniz Notation schreiben wir die Ableitungsfunktion von nach als . In Eulers Notation schreiben wir und in Newtonnotation .
Wir nennen differenzierbar an einem Häufungspunkt , falls der Grenzwert
existiert. Dieser Grenzwert heißt Ableitung von nach an der Stelle . Wir nennen differenzierbar auf , falls differenzierbar an jedem ist.
Ist differenzierbar auf , so definieren wir die Ableitungsfunktion von nach als
Die Abhängigkeit von ist bleibt dieser Notation (Lagrange Notation) implizit. In Leibniz Notation schreiben wir die Ableitungsfunktion von nach als . In Eulers Notation schreiben wir und in Newtonnotation .
Wir nennen differenzierbar an einem Häufungspunkt , falls der Grenzwert
existiert. Dieser Grenzwert heißt Ableitung von nach an der Stelle . Wir nennen differenzierbar auf , falls differenzierbar an jedem ist.
Ein gerichteter Graph (auch Digraph) ist ein Paar aus einer Menge und einer Menge geordneter Paare über . Wir nennen die Knoten und die Kanten (auch Bögen) von .
Eine Diophantische Gleichung ist eine Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten, deren Variablen nur ganzzahlige Werte annehmen dürfen.
Zwei Mengen und heißen disjunkt, falls .
Eine Familie von Mengen heißt paarweise disjunkt, wenn je zwei Mengen disjunkt sind.
Die arithmetischen Operationen sind Addition , Subtraktion, , Multiplikation , Division und Exponentiation.
Eine Doppel-Mersenne-Primzahl ist eine Doppel-Mersenne-Zahl, die auch Primzahl ist.
Eine Doppel-Mersenne-Zahl ist eine Mersenne-Zahl der Form
Dabei ist der Exponent einer Mersenne-Primzahl.
Für eine Mente nennen wir eine Funktion eine Abstandsfunktion (or Metrik ) auf , falls die folgenden drei Eigenschaften für alle gelten:
gdw. (Definitheit),
(Symmetrie) und
(Dreiecksungleichung).
Wir nennen einen metrischen Raum mit Grundmenge und Metrik .
Die dreizehnte Smarandache-Konstante ist definiert als
Dabei ist die Smarandache-Funktion.
Die Summe konvergiert.
Wir nennen mal differeinzierbar in , falls als Grenzwert existiert. Analog nennen wir mal differenzierbar auf , falls existiert und auf total ist.
Wir nennen unendlich differenzierbar oder glatt auf oder , wenn beziehungsweise für alle existieren.
Für ein definieren wir die te Ableitung einer Funktion durch
Die erste Ableitung von ist , ist die zweite Ableitung von , die dritte Ableitung von , usw. In der Leibniz Notation wird die te Ableiguntsfunktion von als geschrieben.
Die dritte Smarandache-Konstante ist definiert als
Dabei ist die Smarandache-Funktion.
Eine Menge ist eine echte Obermenge einer Menge (schreibe ), wenn .
Eine Menge heißt echte Teilmenge einer Menge (schreibe ), wenn aber .
Eine Menge ist eine echte Obermenge einer Menge (schreibe ), wenn .
Eine Menge heißt echte Teilmenge einer Menge (schreibe ), wenn aber .
Wir nennen , , und triviale divisoren von . Ein Teiler von , der nicht trivial ist, heißt echter Teiler von .
Ein Graph ist ein Paar , so dass eine Menge ist und eine Teilmenge der Menge der Paare aus . Wir nennen die Ecken (oder Punkte, Knoten) and die Kanten (oder Linien, Pfeile) von .
Die Eckenanzahl (Anzahl der Ecken eines Graphen) wird seine Ordnung genannt, man schreibt .
Ist ein gerichteter Graph, so nennen wir
einen Pfad in zyklisch (auch einen Zykel oder eine Schleife), falls .
einen Zykel einfach, wenn für alle mit .
azyklisch, wenn keinen Zykel enthält.
ist eine einfach normale Zahl zur Basis , wenn ihre Ziffern in der Darstellung zur Basis gleich häufig auftreten.
Eine reelle Zahl ist absolut nicht-normal oder absolut unnormal, wenn sie in keiner Basis einfach normal ist.
Eine partielle Ordnung heißt totale Ordnung (or einfache Ordnung oder lineare Ordnung), falls oder für alle .
Wir nennen eine Struktur aus einer Menge und einer totalen Ordnung eine total geordnete Menge.
Eine Struktur heißt Ring, wenn eine Abelsch e Gruppe ist (die additive Struktur), ein Monoid (die multiplikative Struktur) ist, sowie is a Ringoid.
Wir nennen die Null des Rings und entsprechend die Eins.
Die elften Smarandache-Konstanten sind definiert als
Dabei ist die Smarandache-Funktion.
Die Summe konvergiert für alle reellen Zahlen .
Ist gerichteter Graph, so nennen wir einen Vektor einen Pfad in wenn für alle mit .
heißt der Startknoten von (schreibe )
heißt der Endknoten von (schreibe )
heißt die Länge von (schreibe )
Wir nennen eine Menge is endlich mit Kardinalität , wenn es eine bijektive Funktion gibt.
Die Kardinalität einer Menge wird oft auch als , , oder geschrieben.
Wir definieren das Produkt über eine Folge durch
Die Variable wird der Laufindex oder Multiplikationsindex genannt, die untere (oder Startwert) und die obereGrenze (oder Endwert) des Produkts, zusammen bestimmen sie den Multiplikationsbereich.
Gebräuchlich sind auch die fogenden Varianten des Produktoperators: und . Der erste spezifiziert den Multiplikationsbereich durch eine Formel über und der zweite gibt den Multiplikationsbereich direkt als eine Menge an.
Summation ist iterierte Addition. Wir definieren die Summe über eine Folge durch
Die Variable wird der Laufindex oder Summationsindex genannt, die untere (oder Startwert) und die obereGrenze (oder Endwert) der Summe, zusammen bestimmen sie den Summationsbereich.
Gebräuchlich sind auch die fogenden Varianten des Summenoperators: und . Der erste spezifiziert den Summationsbereich durch eine Formel über und der zweite gibt den Summationsbereich als eine Menge an.
Die Erdös-Borwein-Konstante ist die Summe der Kehrwerte der Mersenne-Zahlen.
Wir nennen mal differeinzierbar in , falls als Grenzwert existiert. Analog nennen wir mal differenzierbar auf , falls existiert und auf total ist.
Wir nennen unendlich differenzierbar oder glatt auf oder , wenn beziehungsweise für alle existieren.
Für ein definieren wir die te Ableitung einer Funktion durch
Die erste Ableitung von ist , ist die zweite Ableitung von , die dritte Ableitung von , usw. In der Leibniz Notation wird die te Ableiguntsfunktion von als geschrieben.
Die zweite Skewes-Zahl ist eine Obergrenze bis zu der nicht immer gilt, vorausgesetzt, die Riemann-Hypothese ist falsch.
Die erste Tschebyschow-Funktion oder ist die Summe der Logarithmen der Primzahlen bis .
Die zweite Tschebyschow-Funktion ist die Summe der Logarithmen der Primzahlen über alle Primzahlpotenzen bis .
Dabei ist die Mangoldt-Funktion.
Euklid-Zahlen sind ganze Zahlen der Form
wobei das Produkt der ersten Primzahlen ist.
Die Euler-Mascheroni-Konstante (auch Eulersche Konstante) ist eine mathematische Konstante, die mit bezeichnet wird.
Ist differenzierbar auf , so definieren wir die Ableitungsfunktion von nach als
Die Abhängigkeit von ist bleibt dieser Notation (Lagrange Notation) implizit. In Leibniz Notation schreiben wir die Ableitungsfunktion von nach als . In Eulers Notation schreiben wir und in Newtonnotation .
Die Euler-Mascheroni-Konstante (auch Eulersche Konstante) ist eine mathematische Konstante, die mit bezeichnet wird.
Die Eulersche Zahl (benannt nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler) ist eine mathematische Konstante.
Die arithmetischen Operationen sind Addition , Subtraktion, , Multiplikation , Division und Exponentiation.
Ein Factorion ist eine natürliche Zahl, die gleich der Summe der Fakultäten ihrer Ziffern ist.
Zum Beispiel
Die Fakultät (manchmal, besonders in Österreich, auch Faktorielle genannt) ist in der Mathematik eine Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen kleiner und gleich dieser Zahl zuordnet.
Die Fakultät (manchmal, besonders in Österreich, auch Faktorielle genannt) ist in der Mathematik eine Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen kleiner und gleich dieser Zahl zuordnet.
Eine Farey-Folge ist eine geordnete Menge der gekürzten Brüche zwischen und , deren jeweiliger Nenner den Index nicht übersteigt. Jede Farey-Folge beginnt mit , dargestellt durch , und endet mit , dargestellt durch .
Die ersten Farey-Folgen sind
Eine Halbprimzahl oder auch Fastprimzahl ist eine natürliche Zahl, die das Produkt aus zwei (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primzahlen ist.
Der Feynman-Punkt ist ein Bereich von 6 aufeinanderfolgenden Neunen in der Dezimaldarstellung der Zahl , beginnend mit der 762. Dezimalstelle.
Die Fibonacci-Polynome werden rekursiv definiert
Die ersten Fibonacci-Polynome sind:
Wenn wir nicht festlegen wollen, ob eine partielle Funktion total ist, sprechen wir einfach von einer Funktion.
Die fünfte Smarandache-Konstante ist definiert als
Dabei ist die Smarandache-Funktion.
Die Summe konvergiert.
Die fünfzehnte Smarandache-Konstante ist definiert als
Dabei ist die Smarandache-Funktion.
Die Summe konvergiert.
Die Abrundung (oder der ganze Teil)
Die Menge der ganzen Zahlen ist . Ein Element von wird als ganze Zahl bezeichnet.
Die Menge der negativen ganzen Zahlen ist .
Die Menge der ganzen Zahlen ist . Ein Element von wird als ganze Zahl bezeichnet.
Die Menge der negativen ganzen Zahlen ist .
Wir definieren ein ganzzahlige Intervall als eine Menge konsekutiver ganzer Zahlen:
Die Abrundung (oder der ganze Teil)
Die Gelfond-Schneider Konstante oder Hilbert-Zahl ist die folgende reelle Zahl
Wir nennen eine Struktur aus einer Menge und einer partiellen Ordnung eine geordnete Menge.
Eine partielle Ordnung heißt totale Ordnung (or einfache Ordnung oder lineare Ordnung), falls oder für alle .
Wir nennen eine Struktur aus einer Menge und einer totalen Ordnung eine total geordnete Menge.
Ein gerichteter Graph (auch Digraph) ist ein Paar aus einer Menge und einer Menge geordneter Paare über . Wir nennen die Knoten und die Kanten (auch Bögen) von .
Ein topologischer Raum ist eine Menge zusammen mit einer Familie , so daß
.
falls .
falls endlich.
Dann heißt eine Topologie) auf . Elemente der Topologie heißen offene Mengen und ihre Komplemente abgeschlossen oder einfach geschlossen . Eine Teilmenge von kann weder gesclossen noch offen, oder gesclossen, oder offen oder beides.
In einem metrischen Raum nennen wir die Menge die offene Kugel nd die geschlossene Kugel um mit Radius . Wir schreiben auch und .
Wir nennen mal differeinzierbar in , falls als Grenzwert existiert. Analog nennen wir mal differenzierbar auf , falls existiert und auf total ist.
Wir nennen unendlich differenzierbar oder glatt auf oder , wenn beziehungsweise für alle existieren.
Zwei Mengen and sind gleich (written ), wenn sie die gleichen Elemente haben.
Wir nennen zwei mathematische Objekte and gleich, (schreibe ), wenn es keine Eigenschaften gibt, die sie auseinanderhalten.
Die glücklichen Zahlen von Euler sind positive ganze Zahlen , für die für eine Primzahl ist.
Googolplexplex ist die Zahl
Googolplexplexplex ist die Zahl
Googolplexplexplex ist die Zahl
Ein Graph ist ein Paar , so dass eine Menge ist und eine Teilmenge der Menge der Paare aus . Wir nennen die Ecken (oder Punkte, Knoten) and die Kanten (oder Linien, Pfeile) von .
Eine Gregory-Zahl ist eine reelle Zahl der Form
Dabei ist eine rationale Zahl größer oder gleich .
Seien und metrische Räume und für und , dann nennen wir en Grenzwert (oder Limes) von wenn gegen einen Häufungspunkt strebt (schreibe ), falls es für jedes ein gibt, so dass für alle mit auch gilt.
Ist ein metrischer Raum und eine Folge mit für alle , so sagen wir daß gegen konvergiert (wir nennen den Grenzwert oder limitLimes und schreiben ), falls es für jedes ein , so daß für alle .
Für eine Mente nennen wir eine Funktion eine Abstandsfunktion (or Metrik ) auf , falls die folgenden drei Eigenschaften für alle gelten:
gdw. (Definitheit),
(Symmetrie) und
(Dreiecksungleichung).
Wir nennen einen metrischen Raum mit Grundmenge und Metrik .
Der größte gemeinsame Teiler von zwei oder mehr ganzen Zahlen, von denen mindestens eine nicht Null ist, ist die größte natürliche Zahl, die alle Zahlen ohne Rest teilt.
Die -te Primzahl heißt gute Primzahl, falls für alle Paare von Primzahlen und , wobei von bis geht, gilt:
Eine Halbprimzahl oder auch Fastprimzahl ist eine natürliche Zahl, die das Produkt aus zwei (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primzahlen ist.
Die Hardy-Ramanujan-Zahl ist die kleinste natürliche Zahl, für die es genau zwei Darstellungen als Summe zweier Kubikzahlen gibt.
Eine harmonische-Teiler-Zahl, oder Ore-Zahl, ist eine positive ganze Zahl, deren Harmonisches Mittel ihrer Teiler eine ganze Zahl ist.
Eine Harshad-Zahl oder Niven-Zahl in einer gegebenen Zahlenbasis ist eine ganze Zahl die durch die Summe ihrer Ziffern in dieser Zahlenbasis teilbar ist.
Ist ein Hausdorff-Raum, so sagen wir dass eine Folge gegen konvergiert (wir nennen den Hausdorff-Grenzwert und schreiben ), falls jede Umgebung von nur endlich viele enthält.
Eine Hilbert-Primzahl ist eine Hilbert-Zahl, die nicht durch eine kleinere Hilbert-Zahl (außer der ) teilbar ist.
Eine hochzusammengesetzte Zahl ist eine positive ganze Zahl, die mehr Teiler besitzt als jede kleinere positive ganze Zahl.
Sei eine Teilmenge eines topologischen Raums . Dann nennen wir einen Häufungspunkt von , wenn jede Umgebung von mindestens einen Punkt enthält mit .
Eine höfliche Zahl ist eine positive ganze Zahl, die als Summe von zwei oder mehr aufeinanderfolgenden positiven ganzen Zahlen dargestellt werden kann.
Für eine Menge bildet die Identitätsfunktion auf jedes auf sich selbst ab.
Eine positive ganze Zahl ist eine Idoneal-Zahl genau dann, wenn sie nicht als mit verschiedenen positiven ganzen Zahlen , , und geschrieben werden kann.
Die Menge der komplexen Zahlen besteht aus Zahlen der Form , mit . Wir nennen imaginäre Einheit.
Sei eine geordnete Menge und , dann nennen wir die kleinste obere Schranke (größte untere Schranke ) von das Supremum (Infimum) von (falls dies existiert).
Ist ein Ausdruck und eine Bedingung (in einer Variablen ), so schreiben wir für und nennen es das supremum für über . Analog schreiben wir für und nennen es das infimum für über .
Sei eine geordnete Menge und , dann nennen wir die kleinste obere Schranke (größte untere Schranke ) von das Supremum (Infimum) von (falls dies existiert).
Ist ein Ausdruck und eine Bedingung (in einer Variablen ), so schreiben wir für und nennen es das supremum für über . Analog schreiben wir für und nennen es das infimum für über .
Sei ein gerichteter Graph, dann nennen wir einen Knoten
initial (oder eine Quelle) in , wenn es kein gibt, so dass .
terminal (oder Senke) in , wenn es kein gibt, so dass .
Eine Relation heißt
reflexiv auf , wenn für alle , und
irreflexiv (or antireflexiv) auf , wenn für alle .
Die Anzahl der notwendigen Schritte, um durch wiederholte Querprodukte zu einer einstelligen Zahl zu gelangen, nennt man Beharrlichkeit der Zahl.
Das iterierte Querprodukt einer Zahl erhält man, indem man von dem Querprodukt dieser Zahl so lange wieder das Querprodukt bildet, bis nur noch eine einstellige Zahl übrig bleibt.
Die iterierte Quersumme einer Zahl erhält man, indem man von der Quersumme dieser Zahl so lange wieder die Quersumme bildet, bis nur noch eine einstellige Zahl übrig bleibt.
Die Jacobi-Madden-Gleichung ist die DiophantischeGleichung
Die Jacobsthal-Lucas-Zahlen werden rekursiv definiert:
Definition in geschlossener Form:
Die Jacobsthal-Zahlen werden rekursiv definiert:
In geschlossener Form haben wir
Ein gerichteter Graph (auch Digraph) ist ein Paar aus einer Menge und einer Menge geordneter Paare über . Wir nennen die Knoten und die Kanten (auch Bögen) von .
Ein Graph ist ein Paar , so dass eine Menge ist und eine Teilmenge der Menge der Paare aus . Wir nennen die Ecken (oder Punkte, Knoten) and die Kanten (oder Linien, Pfeile) von .
Die Kantenanzahl (Anzahl der Kanten eines Graphen) bezeichnet man mit .
Für einen Graph bezeichnen wir den Graph auf , in dem genau dann als Ecken benachbart sind, wenn sie es als Kanten in sind, als den Kantengraph von .
Wir nennen eine Menge is endlich mit Kardinalität , wenn es eine bijektive Funktion gibt.
Die Kardinalität einer Menge wird oft auch als , , oder geschrieben.
Kempner-Reihen sind subharmonische Reihen, die aus der harmonischenReihe gebildet werden, indem alle Summanden weggelassen werden, deren Nenner im Zehnersystem die Ziffer (bzw. die Ziffernfolge der Zahl ) enthalten:
Zum Beispiel
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier oder mehrerer ganzer Zahlen ist die kleinste natürliche Zahl, die durch alle diese Zahlen teilbar ist.
Ein Primfaktor einer natürlichen Zahl ist ein kleinster Primfaktor , wenn alle Primfaktoren von gleich oder größer als dieser sind.
Ein gerichteter Graph (auch Digraph) ist ein Paar aus einer Menge und einer Menge geordneter Paare über . Wir nennen die Knoten und die Kanten (auch Bögen) von .
Ein Graph ist ein Paar , so dass eine Menge ist und eine Teilmenge der Menge der Paare aus . Wir nennen die Ecken (oder Punkte, Knoten) and die Kanten (oder Linien, Pfeile) von .
Eine Knödel-Zahl für eine gegebene positive ganze Zahl ist eine zusammengesetzte Zahl , für die für jedes zu teilerfremde gilt
Die Menge aller Knödel-Zahlen einer Zahl wird mit bezeichnet.
Eine Knödel-Zahl für eine gegebene positive ganze Zahl ist eine zusammengesetzte Zahl , für die für jedes zu teilerfremde gilt
Die Menge aller Knödel-Zahlen einer Zahl wird mit bezeichnet.
Ist eine Gruppe und , so definieren wir den Kommutator von und als . Er ist identisch mit der Einheit der Gruppe, genau dann wenn und kommutieren.
Die Menge der komplexen Zahlen besteht aus Zahlen der Form , mit . Wir nennen imaginäre Einheit.
Eine Struktur fasst mehrere existierende mathematische Objekte (die Komponenten) zu einem neuen Objekt zusammen. Strukturen werden normalerweise als endliche Aufzählungen ihrer Komponenten gegeben, die durch spezielle Namen referenziert werden können.
Ist ein metrischer Raum und eine Folge mit für alle , so sagen wir daß gegen konvergiert (wir nennen den Grenzwert oder limitLimes und schreiben ), falls es für jedes ein , so daß für alle .
Ist ein Hausdorff-Raum, so sagen wir dass eine Folge gegen konvergiert (wir nennen den Hausdorff-Grenzwert und schreiben ), falls jede Umgebung von nur endlich viele enthält.
Die konvexe Hülle einer Menge ist der Schnitt aller konvexen Mengen, die enthalten.
Ein konvexes Polytop ist definiert als die konvexe Hülle einer Menge von Punkten im Euklidischen Raum.
Das Kronecker-Delta ist definiert als:
Dabei können und Elemente einer beliebigen Indexmenge sein, meist jedoch einer endlichen Teilmenge der natürlichen Zahlen.
Eine kubikfreie Taxicab-Zahl ist eine Taxicab-Zahl, die durch keine Kubikzahl außer teilbar ist.
Die Kuchen-Zahl ist die grösste Zahl von Teilen, in die ein Würfel (oder ein 3-dimensionaler Raum) durch Ebenen geteilt werden kann.
Ist differenzierbar auf , so definieren wir die Ableitungsfunktion von nach als
Die Abhängigkeit von ist bleibt dieser Notation (Lagrange Notation) implizit. In Leibniz Notation schreiben wir die Ableitungsfunktion von nach als . In Eulers Notation schreiben wir und in Newtonnotation .
Wir definieren das Produkt über eine Folge durch
Die Variable wird der Laufindex oder Multiplikationsindex genannt, die untere (oder Startwert) und die obereGrenze (oder Endwert) des Produkts, zusammen bestimmen sie den Multiplikationsbereich.
Gebräuchlich sind auch die fogenden Varianten des Produktoperators: und . Der erste spezifiziert den Multiplikationsbereich durch eine Formel über und der zweite gibt den Multiplikationsbereich direkt als eine Menge an.
Summation ist iterierte Addition. Wir definieren die Summe über eine Folge durch
Die Variable wird der Laufindex oder Summationsindex genannt, die untere (oder Startwert) und die obereGrenze (oder Endwert) der Summe, zusammen bestimmen sie den Summationsbereich.
Gebräuchlich sind auch die fogenden Varianten des Summenoperators: und . Der erste spezifiziert den Summationsbereich durch eine Formel über und der zweite gibt den Summationsbereich als eine Menge an.
Das leere Produkt ist in der Mathematik der Sonderfall eines Produktes mit null Faktoren. Ihm wird der Wert zugewiesen.
Die leere Summe ist in der Mathematik der Sonderfall einer Summe mit onull Summanden. Der leeren Summe wird der Wert , das neutrale Element der Addition, zugewiesen.
Zum Beispiel gilt für
Die leere Summe ist in der Mathematik der Sonderfall einer Summe mit onull Summanden. Der leeren Summe wird der Wert , das neutrale Element der Addition, zugewiesen.
Zum Beispiel gilt für
Ist differenzierbar auf , so definieren wir die Ableitungsfunktion von nach als
Die Abhängigkeit von ist bleibt dieser Notation (Lagrange Notation) implizit. In Leibniz Notation schreiben wir die Ableitungsfunktion von nach als . In Eulers Notation schreiben wir und in Newtonnotation .
Eine Leyland-Zahl ist eine ganze Zahl der Form
Dabei sind und ganze Zahlen größer als .
Die ersten Leyland-Zahlen sind
Seien und metrische Räume und für und , dann nennen wir en Grenzwert (oder Limes) von wenn gegen einen Häufungspunkt strebt (schreibe ), falls es für jedes ein gibt, so dass für alle mit auch gilt.
Ist ein metrischer Raum und eine Folge mit für alle , so sagen wir daß gegen konvergiert (wir nennen den Grenzwert oder limitLimes und schreiben ), falls es für jedes ein , so daß für alle .
Eine partielle Ordnung heißt totale Ordnung (or einfache Ordnung oder lineare Ordnung), falls oder für alle .
Wir nennen eine Struktur aus einer Menge und einer totalen Ordnung eine total geordnete Menge.
Ein Graph ist ein Paar , so dass eine Menge ist und eine Teilmenge der Menge der Paare aus . Wir nennen die Ecken (oder Punkte, Knoten) and die Kanten (oder Linien, Pfeile) von .
Sei ein Ring und mit , dann nennen wir einen linken Teiler von (und sagen teilt links oder ist link teilbar durch ) und ein linkes Vielfaches von , wenn es ein gibt, für die ist.
Analog nennen wir einen rechten Teiler von (und sagen teilt rechts oder ist rechts teilbar durch ) und ein rechtes Vielfaches von , wenn es ein gibt, für die ist.
Ist kommutativ, so fallen rechte und linke Teiler zusammen, und wir sprechen einfach von Teiler, teilbar, und Vielfachen. Wir schreiben dann .
Wir nennen , , und triviale divisoren von . Ein Teiler von , der nicht trivial ist, heißt echter Teiler von .
Sei ein Ring und mit , dann nennen wir einen linken Teiler von (und sagen teilt links oder ist link teilbar durch ) und ein linkes Vielfaches von , wenn es ein gibt, für die ist.
Analog nennen wir einen rechten Teiler von (und sagen teilt rechts oder ist rechts teilbar durch ) und ein rechtes Vielfaches von , wenn es ein gibt, für die ist.
Ist kommutativ, so fallen rechte und linke Teiler zusammen, und wir sprechen einfach von Teiler, teilbar, und Vielfachen. Wir schreiben dann .
Wir nennen , , und triviale divisoren von . Ein Teiler von , der nicht trivial ist, heißt echter Teiler von .
Sei ein Ring und mit , dann nennen wir einen linken Teiler von (und sagen teilt links oder ist link teilbar durch ) und ein linkes Vielfaches von , wenn es ein gibt, für die ist.
Analog nennen wir einen rechten Teiler von (und sagen teilt rechts oder ist rechts teilbar durch ) und ein rechtes Vielfaches von , wenn es ein gibt, für die ist.
Ist kommutativ, so fallen rechte und linke Teiler zusammen, und wir sprechen einfach von Teiler, teilbar, und Vielfachen. Wir schreiben dann .
Wir nennen , , und triviale divisoren von . Ein Teiler von , der nicht trivial ist, heißt echter Teiler von .
Sei gegeben mit und .
Dann ist der linksseitige Grenzwert von in (auch: der Grenzwert von wenn von unten gegen strebt) definiert als diejenige Zahl , so dass für jedes ein gibt so dass für alle . Der linksseitige Grenzwert wird geschrieben als , oder .
Analog definieren wir den rechtsseitigen Grenzwert von in (auch: der Grenzwert von wenn von unten gegen strebt) definiert als diejenige Zahl , so dass für jedes ein gibt so dass für alle . Der linksseitige Grenzwert wird geschrieben als , oder .
Sei gegeben mit und .
Dann ist der linksseitige Grenzwert von in (auch: der Grenzwert von wenn von unten gegen strebt) definiert als diejenige Zahl , so dass für jedes ein gibt so dass für alle . Der linksseitige Grenzwert wird geschrieben als , oder .
Analog definieren wir den rechtsseitigen Grenzwert von in (auch: der Grenzwert von wenn von unten gegen strebt) definiert als diejenige Zahl , so dass für jedes ein gibt so dass für alle . Der linksseitige Grenzwert wird geschrieben als , oder .
Linkstrunkierbare Primzahlen sind Primzahlen, in denen an keiner Stelle die Ziffer Null steht und bei denen das Weglassen einer beliebigen Anzahl führender Stellen wieder zu einer Primzahl führt.
Zum Beispiel:
Beidseitig trunkierbare Primzahlen sind sowohl links- als auch rechtstrunkierbare Primzahlen.
Zum Beispiel:
Eine Liouvillesche Zahl ist eine reelle Zahl , welche die Bedingung erfüllt, dass für alle positiven ganzen Zahlen ganze Zahlen und mit existieren, so dass
Eine Lobb-Zahl ist die Anzahl der Möglichkeiten öffnende Klammern und schließende Klammern so anzuordnen, dass sie den Beginn einer korrekten Folge von öffnenden und schließenden Klammern bilden.
Dabei sind und zwei ganze Zahlen mit .
Die Lucas-Polynome werden rekursiv definiert
Die ersten Lucas-Polynome sind:
Eine Lychrel-Zahl ist eine natürliche Zahl, die niemals palindromisch wird, wenn man wiederholt die Zahl addiert, die durch Umkehrung der Ziffernfolge entsteht.
Ist gerichteter Graph, so nennen wir einen Vektor einen Pfad in wenn für alle mit .
heißt der Startknoten von (schreibe )
heißt der Endknoten von (schreibe )
heißt die Länge von (schreibe )
Wir nennen mal differeinzierbar in , falls als Grenzwert existiert. Analog nennen wir mal differenzierbar auf , falls existiert und auf total ist.
Wir nennen unendlich differenzierbar oder glatt auf oder , wenn beziehungsweise für alle existieren.
Wir nennen mal differeinzierbar in , falls als Grenzwert existiert. Analog nennen wir mal differenzierbar auf , falls existiert und auf total ist.
Wir nennen unendlich differenzierbar oder glatt auf oder , wenn beziehungsweise für alle existieren.
Für einen Graph ist die minimale Länge eines in enthaltenen Kreises die Taillenweite von , die maximale Läenge eines in enthaltenen Kreises ist der Umfang von . Für einen Graph, der keinen Kreis enthält, setzen wir die Taillenweite auf , sein Umfang wird auf Null gesetzt.
Das Minimum (Maximum ) einer geordneten Menge ist dasjenige Element (wenn es existiert), so dass alle anderen Elemente von größer (kleiner) sind.
Ist ein Ausdruck und eine Bedingung (in einer Variablen ), so schreiben wir für und nennen es das maximum für über . Analog schreiben wir für und nennen es das minimum für über .
Sei eine reellwertige oder komplexe Funktion die glatt ist auf einem Häufungspunkt des Definitionsbereichs von , dann nennen wir die Reihe
die Taylorreihe für am Entwicklungspunkt . Ist , so nennen wir die Reihe die Mclaurinreihe.
Eine Meertens-Zahl ist eine ganze Zahl, die gleich ihrer Gödelnummer ist. Die einzige bekannte Meertens-Zahl ist ‘
Die Mercator-Reihe oder Newton-Mercator-Reihe ist die Taylorreihe des natürlichen Logarithmus.
Die Reihe konvergiert für .
Eine Mersenne-Primzahl ist eine Primzahl der Form
Dann ist auch eine Primzahl.
Die Mertens-Function ist für alle positiven integers definiert:
wobei die Möbius-Funktion ist.
Die Funktion ist nach Franz Mertens benannt.
Die Definition kann auf die reellen Zahlen erweitert werden:
Für eine Mente nennen wir eine Funktion eine Abstandsfunktion (or Metrik ) auf , falls die folgenden drei Eigenschaften für alle gelten:
gdw. (Definitheit),
(Symmetrie) und
(Dreiecksungleichung).
Wir nennen einen metrischen Raum mit Grundmenge und Metrik .
Für eine Mente nennen wir eine Funktion eine Abstandsfunktion (or Metrik ) auf , falls die folgenden drei Eigenschaften für alle gelten:
gdw. (Definitheit),
(Symmetrie) und
(Dreiecksungleichung).
Wir nennen einen metrischen Raum mit Grundmenge und Metrik .
Für eine Mente nennen wir eine Funktion eine Abstandsfunktion (or Metrik ) auf , falls die folgenden drei Eigenschaften für alle gelten:
gdw. (Definitheit),
(Symmetrie) und
(Dreiecksungleichung).
Wir nennen einen metrischen Raum mit Grundmenge und Metrik .
Für einen Graph ist die minimale Länge eines in enthaltenen Kreises die Taillenweite von , die maximale Läenge eines in enthaltenen Kreises ist der Umfang von . Für einen Graph, der keinen Kreis enthält, setzen wir die Taillenweite auf , sein Umfang wird auf Null gesetzt.
Das Minimum (Maximum ) einer geordneten Menge ist dasjenige Element (wenn es existiert), so dass alle anderen Elemente von größer (kleiner) sind.
Ist ein Ausdruck und eine Bedingung (in einer Variablen ), so schreiben wir für und nennen es das maximum für über . Analog schreiben wir für und nennen es das minimum für über .
Mirpzahlen („prim“ rückwärts geschrieben) sind Primzahlen, die rückwärts gelesen eine andere Primzahl ergeben.
Die Motzkin-Zahl zu einer gegebenen natürlichen Zahl ist die Anzahl der unterschiedlichen Möglichkeiten in einem Kreis zwischen Punkten sich nicht schneidende Sehnen zu zeichnen.
Die ersten Motzkin-Zahlen sind
Motzkin-Zahlen für natürliche Zahl können durch Catalan-Zahlen ausgedrückt werden:
Die arithmetischen Operationen sind Addition , Subtraktion, , Multiplikation , Division und Exponentiation.
Wir definieren das Produkt über eine Folge durch
Die Variable wird der Laufindex oder Multiplikationsindex genannt, die untere (oder Startwert) und die obereGrenze (oder Endwert) des Produkts, zusammen bestimmen sie den Multiplikationsbereich.
Gebräuchlich sind auch die fogenden Varianten des Produktoperators: und . Der erste spezifiziert den Multiplikationsbereich durch eine Formel über und der zweite gibt den Multiplikationsbereich direkt als eine Menge an.
Wir definieren das Produkt über eine Folge durch
Die Variable wird der Laufindex oder Multiplikationsindex genannt, die untere (oder Startwert) und die obereGrenze (oder Endwert) des Produkts, zusammen bestimmen sie den Multiplikationsbereich.
Gebräuchlich sind auch die fogenden Varianten des Produktoperators: und . Der erste spezifiziert den Multiplikationsbereich durch eine Formel über und der zweite gibt den Multiplikationsbereich direkt als eine Menge an.
Eine Struktur heißt Ring, wenn eine Abelsch e Gruppe ist (die additive Struktur), ein Monoid (die multiplikative Struktur) ist, sowie is a Ringoid.
Wir nennen die Null des Rings und entsprechend die Eins.
Ein multirelationionaler Ausdruck steht für eine Konjunktion von relationalen Aussagen: gilt, falls gilt und ausserdem .
Zwei Ecken und in einem Graph sind adjazent, oder Nachbarn, wenn eine Kante von ist.
Zwei Kanten sind adjazent, wenn sie ein Ende gemeinsam haben.
Eine Nah-Wilson-Primzahl ist eine Primzahl , für die folgende Kongruenz gilt:
Hierbei ist eine ganze Zahl mit kleinem Absolutwert .
Die Narayana-Zahlen sind die Anzahl der Wege von nach unter Verwendung von Schritten nach Nordost und Südost ohne dabei unter die -Achse zu gelangen und mit genau Spitzen(Maxima).
Dabei sind und natürliche Zahlen mit .
Eine Teilmenge der positiven ganzen Zahlen hat eine asymptotische Dichte (oder natürliche Dichte) , wobei gilt, wenn der Grenzwert existiert
ist die Anzahl der Elemente von , die nicht größer als sind.
Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus logarithm zur Basis .
Die Menge der natürlichen Zahlen ist die Menge .
Die Menge der positiven natürlichen Zahlen ist .
Die Menge der rationalen Zahlen ist die Menge .
Wir schreiben und für die Mengen der negativen rationalen Zahlen und der positiven rationalen Zahlen.
Die Menge der rationalen Zahlen ist die Menge .
Wir schreiben und für die Mengen der negativen rationalen Zahlen und der positiven rationalen Zahlen.
Die Menge der reellen Zahlen reelleZahlen ist die Vervollständigung von .
Wir schreiben und für die Mengen der negativen reellen Zahlen und der positiven reellen Zahlen.
Die neunte Smarandache-Konstante ist definiert als
Dabei ist die Smarandache-Funktion.
Die Summe konvergiert.
Eine Newman-Shanks-Williams-Primzahl, oder NSW-Primzahl , ist eine Primzahl , die in folgender Form geschrieben werden kann
Dabei ist eine natürliche Zahl.
Ist differenzierbar auf , so definieren wir die Ableitungsfunktion von nach als
Die Abhängigkeit von ist bleibt dieser Notation (Lagrange Notation) implizit. In Leibniz Notation schreiben wir die Ableitungsfunktion von nach als . In Eulers Notation schreiben wir und in Newtonnotation .
Die Mercator-Reihe oder Newton-Mercator-Reihe ist die Taylorreihe des natürlichen Logarithmus.
Die Reihe konvergiert für .
Eine Harshad-Zahl oder Niven-Zahl in einer gegebenen Zahlenbasis ist eine ganze Zahl die durch die Summe ihrer Ziffern in dieser Zahlenbasis teilbar ist.
Man definiert und sei der größte Exponent, der bei der Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl auftritt.
Nivens Konstante ist dann gegeben durch
Wir nennen ist eine normale Zahl zur Basis , wenn ihre Ziffern, Ziffernpaare, Zifferntripel usw. in der Darstellung zur Basis gleich häufig auftreten.
Eine Newman-Shanks-Williams-Primzahl, oder NSW-Primzahl , ist eine Primzahl , die in folgender Form geschrieben werden kann
Dabei ist eine natürliche Zahl.
Eine Struktur heißt Ring, wenn eine Abelsch e Gruppe ist (die additive Struktur), ein Monoid (die multiplikative Struktur) ist, sowie is a Ringoid.
Wir nennen die Null des Rings und entsprechend die Eins.
Sei ein Ring, seine additive Einheit und für eine Menge , dann nennen wir jedes eine Nullstelle von .
Wir definieren das Produkt über eine Folge durch
Die Variable wird der Laufindex oder Multiplikationsindex genannt, die untere (oder Startwert) und die obereGrenze (oder Endwert) des Produkts, zusammen bestimmen sie den Multiplikationsbereich.
Gebräuchlich sind auch die fogenden Varianten des Produktoperators: und . Der erste spezifiziert den Multiplikationsbereich durch eine Formel über und der zweite gibt den Multiplikationsbereich direkt als eine Menge an.
Summation ist iterierte Addition. Wir definieren die Summe über eine Folge durch
Die Variable wird der Laufindex oder Summationsindex genannt, die untere (oder Startwert) und die obereGrenze (oder Endwert) der Summe, zusammen bestimmen sie den Summationsbereich.
Gebräuchlich sind auch die fogenden Varianten des Summenoperators: und . Der erste spezifiziert den Summationsbereich durch eine Formel über und der zweite gibt den Summationsbereich als eine Menge an.
In einem metrischen Raum nennen wir die Menge die offene Kugel nd die geschlossene Kugel um mit Radius . Wir schreiben auch und .
Ein topologischer Raum ist eine Menge zusammen mit einer Familie , so daß
.
falls .
falls endlich.
Dann heißt eine Topologie) auf . Elemente der Topologie heißen offene Mengen und ihre Komplemente abgeschlossen oder einfach geschlossen . Eine Teilmenge von kann weder gesclossen noch offen, oder gesclossen, oder offen oder beides.
Die Eckenanzahl (Anzahl der Ecken eines Graphen) wird seine Ordnung genannt, man schreibt .
Eine harmonische-Teiler-Zahl, oder Ore-Zahl, ist eine positive ganze Zahl, deren Harmonisches Mittel ihrer Teiler eine ganze Zahl ist.
Die Menge der Paare über den Mengen und ist definiert als . Wir nennen ein Paar.
Die Menge der Paare über den Mengen und ist definiert als . Wir nennen ein Paar.
Eine Familie von Mengen heißt paarweise disjunkt, wenn je zwei Mengen disjunkt sind.
Ist eine Folge mit oder , so definieren wir die -te Partialsumme durch .
Die durch induzierte Reihe ist die Partialsummenfolge .
Ist eine Folge mit oder , so definieren wir die -te Partialsumme durch .
Die durch induzierte Reihe ist die Partialsummenfolge .
Eine Relation , heißt partielle Funktion mit Argumentbereich (schreibe ) und Wertebereich (schreibe ), wenn es für jedes höchstens ein gibt mit .
Wir schreiben und wenn .
Eine quasiordnung auf heißt partielle Ordnung, wenn sie antisymmetrisch ist. induziert eine strikte Ordnung .
Die konversen Relationen schreiben wir oft als und .
Wir nennen eine Struktur aus einer Menge und einer partiellen Ordnung eine geordnete Menge.
Eine partielle Ordnung heißt totale Ordnung (or einfache Ordnung oder lineare Ordnung), falls oder für alle .
Wir nennen eine Struktur aus einer Menge und einer totalen Ordnung eine total geordnete Menge.
Eine natürliche Zahl wird vollkommene Zahl (auch perfekte Zahl) genannt, wenn sie gleich der Summe aller ihrer (positiven) echten Teiler ist.
Eine permutierbare Primzahl ist eine Primzahl, die bei jeder Permutation ihrer Ziffern wieder eine Primzahl ist.
Zum Beispiel:
Eine Perrin-Pseudoprimzahl ist eine zusammengesetzte Zahl , die die Perrin-Zahl teilt.
Ist gerichteter Graph, so nennen wir einen Vektor einen Pfad in wenn für alle mit .
heißt der Startknoten von (schreibe )
heißt der Endknoten von (schreibe )
heißt die Länge von (schreibe )
Ein Graph ist ein Paar , so dass eine Menge ist und eine Teilmenge der Menge der Paare aus . Wir nennen die Ecken (oder Punkte, Knoten) and die Kanten (oder Linien, Pfeile) von .
Eine Pierpont-Primzahl ist eine Primzahl der Form mit nichtnegativen ganzen Zahlen und .
Die Plastic-Zahl (auch Plastic-Konstante genannt) ist die einzige reelle Lösung der kubischen Gleichung Ihr Wert beträgt:
Die Plastic-Zahl (auch Plastic-Konstante genannt) ist die einzige reelle Lösung der kubischen Gleichung Ihr Wert beträgt:
Die Menge der rationalen Zahlen ist die Menge .
Wir schreiben und für die Mengen der negativen rationalen Zahlen und der positiven rationalen Zahlen.
Die Menge der rationalen Zahlen ist die Menge .
Wir schreiben und für die Mengen der negativen rationalen Zahlen und der positiven rationalen Zahlen.
Die Menge der reellen Zahlen reelleZahlen ist die Vervollständigung von .
Wir schreiben und für die Mengen der negativen reellen Zahlen und der positiven reellen Zahlen.
Die Menge der reellen Zahlen reelleZahlen ist die Vervollständigung von .
Wir schreiben und für die Mengen der negativen reellen Zahlen und der positiven reellen Zahlen.
Eine potente Zahl ist eine natürliche Zahl , so dass für jeden Primteiler von auch Teiler von ist.
Eine potente Zahl ist das Produkt einer Quadratzahl und einer Kubikzahl.
Eine praktische Zahl ist eine positive ganze Zahl , so dass alle kleineren positiven ganzen Zahlen als Summe verschiedener Teiler von dargestellt werden können.
Ein pythagoreisches Zahlentripel besteht aus drei positiven ganzen Zahlen , , und , für die gilt .
Ein pythagoreisches Tripel heißt primitiv wenn , und teilerfremd sind.
Eine Zahl heißt Primitivwurzel modulo , wenn jede teilerfremde Zahl kongruent modulo zu einer Potenz von ist.
Das Primorial einer natürlichen Zahl ist das Produkt aller Primzahlen kleiner oder gleich dieser Zahl.
Wenn ein Primzahlvierling ist und oder auch eine Primzahl ist, dann sind die fünf Primzahlen ein Primzahlfünfling.
Zum Beispiel:
Eine Primzahllücke ist die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Primzahlen.
Wenn ein Primzahlvierling ist und und auch Primzahlen sind, dann sind die sechs Primzahlen ein Primzahlsechsling.
Zum Beispiel:
Wir definieren das Produkt über eine Folge durch
Die Variable wird der Laufindex oder Multiplikationsindex genannt, die untere (oder Startwert) und die obereGrenze (oder Endwert) des Produkts, zusammen bestimmen sie den Multiplikationsbereich.
Gebräuchlich sind auch die fogenden Varianten des Produktoperators: und . Der erste spezifiziert den Multiplikationsbereich durch eine Formel über und der zweite gibt den Multiplikationsbereich direkt als eine Menge an.
Sei eine Familie von Mengen dann definieren wir das -fache Cartesische Product als , und nennen -Tupel.
Wir nennen die Funktion die te Projektion.
Seien eine Menge, eine Äquivalenzrelation auf und , dann nennen wir die Menge die Äquivalenzklasse von (unter ), und die Menge die Quotientenmenge von (unter ).
Wir nennen die Abbildung die Projektion von auf unter .
Eine pronische Zahl , Rechteckzahl, oder Rechteckszahl ist eine natürliche Zahl, die das Produkt zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist.
Eine Proth-Zahl ist eine natürlicheZahl der Form wobei eine ungerade und eine positive ganze Zahl mit ist.
Die Cullen-Zahlen und die Fermat-Zahlen sind Spezialfälle der Proth-Zahlen.
Eine Proth-Zahl ist eine natürlicheZahl der Form wobei eine ungerade und eine positive ganze Zahl mit ist.
Die Cullen-Zahlen und die Fermat-Zahlen sind Spezialfälle der Proth-Zahlen.
Eine Prothsche Primzahl ist eine Primzahl der Form wobei eine ungerade und eine positive ganze Zahl mit ist.
Ein Graph ist ein Paar , so dass eine Menge ist und eine Teilmenge der Menge der Paare aus . Wir nennen die Ecken (oder Punkte, Knoten) and die Kanten (oder Linien, Pfeile) von .
Eine Pythagoras-Box ist ein Quadrupel von natürlichen Zahlen, die einen Quader mit den Seitenlängen , , und einer Raumdiagonalen der Länge definieren.
Ein pythagoreisches Zahlentripel besteht aus drei positiven ganzen Zahlen , , und , für die gilt .
Ein pythagoreisches Tripel heißt primitiv wenn , und teilerfremd sind.
Ein Pythagoräisches Quadrupel ist ein Tupel von vier ganzen Zahlen , , und , für das gilt
Eine natürliche Zahl heißt quadratfrei, wenn in ihrer Primfaktorzerlegung keine Primzahl mehr als einmal auftritt.
Sei ein gerichteter Graph, dann nennen wir einen Knoten
initial (oder eine Quelle) in , wenn es kein gibt, so dass .
terminal (oder Senke) in , wenn es kein gibt, so dass .
Seien eine Menge, eine Äquivalenzrelation auf und , dann nennen wir die Menge die Äquivalenzklasse von (unter ), und die Menge die Quotientenmenge von (unter ).
Wir nennen die Abbildung die Projektion von auf unter .
Sei für reelle Zahlen , , und , dann ist die Ramanujan-6-10-8-Identität gegeben durch
Die Menge der rationalen Zahlen ist die Menge .
Wir schreiben und für die Mengen der negativen rationalen Zahlen und der positiven rationalen Zahlen.
Die Menge der rationalen Zahlen ist die Menge .
Wir schreiben und für die Mengen der negativen rationalen Zahlen und der positiven rationalen Zahlen.
Wir nennen die Menge aller Funktionen von nach den Raum der Funktionen von nach .
Analog ist der Raum der partiellen Funktionen von nach .
Wir nennen die Menge aller Funktionen von nach den Raum der Funktionen von nach .
Analog ist der Raum der partiellen Funktionen von nach .
Wir nennen die Menge aller Funktionen von nach den Raum der Funktionen von nach .
Analog ist der Raum der partiellen Funktionen von nach .
Eine pronische Zahl , Rechteckzahl, oder Rechteckszahl ist eine natürliche Zahl, die das Produkt zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist.
Eine pronische Zahl , Rechteckzahl, oder Rechteckszahl ist eine natürliche Zahl, die das Produkt zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist.
Sei ein Ring und mit , dann nennen wir einen linken Teiler von (und sagen teilt links oder ist link teilbar durch ) und ein linkes Vielfaches von , wenn es ein gibt, für die ist.
Analog nennen wir einen rechten Teiler von (und sagen teilt rechts oder ist rechts teilbar durch ) und ein rechtes Vielfaches von , wenn es ein gibt, für die ist.
Ist kommutativ, so fallen rechte und linke Teiler zusammen, und wir sprechen einfach von Teiler, teilbar, und Vielfachen. Wir schreiben dann .
Wir nennen , , und triviale divisoren von . Ein Teiler von , der nicht trivial ist, heißt echter Teiler von .
Sei ein Ring und mit , dann nennen wir einen linken Teiler von (und sagen teilt links oder ist link teilbar durch ) und ein linkes Vielfaches von , wenn es ein gibt, für die ist.
Analog nennen wir einen rechten Teiler von (und sagen teilt rechts oder ist rechts teilbar durch ) und ein rechtes Vielfaches von , wenn es ein gibt, für die ist.
Ist kommutativ, so fallen rechte und linke Teiler zusammen, und wir sprechen einfach von Teiler, teilbar, und Vielfachen. Wir schreiben dann .
Wir nennen , , und triviale divisoren von . Ein Teiler von , der nicht trivial ist, heißt echter Teiler von .
Sei ein Ring und mit , dann nennen wir einen linken Teiler von (und sagen teilt links oder ist link teilbar durch ) und ein linkes Vielfaches von , wenn es ein gibt, für die ist.
Analog nennen wir einen rechten Teiler von (und sagen teilt rechts oder ist rechts teilbar durch ) und ein rechtes Vielfaches von , wenn es ein gibt, für die ist.
Ist kommutativ, so fallen rechte und linke Teiler zusammen, und wir sprechen einfach von Teiler, teilbar, und Vielfachen. Wir schreiben dann .
Wir nennen , , und triviale divisoren von . Ein Teiler von , der nicht trivial ist, heißt echter Teiler von .
Sei gegeben mit und .
Dann ist der linksseitige Grenzwert von in (auch: der Grenzwert von wenn von unten gegen strebt) definiert als diejenige Zahl , so dass für jedes ein gibt so dass für alle . Der linksseitige Grenzwert wird geschrieben als , oder .
Analog definieren wir den rechtsseitigen Grenzwert von in (auch: der Grenzwert von wenn von unten gegen strebt) definiert als diejenige Zahl , so dass für jedes ein gibt so dass für alle . Der linksseitige Grenzwert wird geschrieben als , oder .
Sei gegeben mit und .
Dann ist der linksseitige Grenzwert von in (auch: der Grenzwert von wenn von unten gegen strebt) definiert als diejenige Zahl , so dass für jedes ein gibt so dass für alle . Der linksseitige Grenzwert wird geschrieben als , oder .
Analog definieren wir den rechtsseitigen Grenzwert von in (auch: der Grenzwert von wenn von unten gegen strebt) definiert als diejenige Zahl , so dass für jedes ein gibt so dass für alle . Der linksseitige Grenzwert wird geschrieben als , oder .
Linkstrunkierbare Primzahlen sind Primzahlen, in denen an keiner Stelle die Ziffer Null steht und bei denen das Weglassen einer beliebigen Anzahl führender Stellen wieder zu einer Primzahl führt.
Zum Beispiel:
Beidseitig trunkierbare Primzahlen sind sowohl links- als auch rechtstrunkierbare Primzahlen.
Zum Beispiel:
Rechtstrunkierbare Primzahlen sind Primzahlen, bei denen das Weglassen einer beliebigen Anzahl der letzten Stellen wieder zu einer Primzahl führt.
Zum Beispiel:
Die Menge der reellen Zahlen reelleZahlen ist die Vervollständigung von .
Wir schreiben und für die Mengen der negativen reellen Zahlen und der positiven reellen Zahlen.
Eine Relation heißt
reflexiv auf , wenn für alle , und
irreflexiv (or antireflexiv) auf , wenn für alle .
Wenn in einem Graph alle Ecken denselben Grad aufweisen, sagen wir , dann nennt man -regulär, oder schlicht regulär.
Ein 3-regulärer Graph wird auch kubischer Graph genannt.
Ist eine Folge mit oder , so definieren wir die -te Partialsumme durch .
Die durch induzierte Reihe ist die Partialsummenfolge .
Eine Menge heißt (binäre) Relation zwischen and . Ist so nennen wir eine Relation auf .
Zwei natürliche Zahlen sind genau dann teilerfremd oder relativ prim, wenn deren größter gemeinsamer Teiler ist.
Eine Repunit-Zahl besteht nur aus Einsen.
Die Repunit Zahlen zur Basis erhält man durch für und .
Eine Repunit-Primzahl ist eine Repunit-Zahl, die auch Primzahl ist.
Eine Repunit-Zahl besteht nur aus Einsen.
Die Repunit Zahlen zur Basis erhält man durch für und .
Eine Repunit-Primzahl ist eine Repunit-Zahl, die auch Primzahl ist.
Eine Repunit-Zahl besteht nur aus Einsen.
Die Repunit Zahlen zur Basis erhält man durch für und .
Eine Repunit-Primzahl ist eine Repunit-Zahl, die auch Primzahl ist.
Eine Struktur heißt Ring, wenn eine Abelsch e Gruppe ist (die additive Struktur), ein Monoid (die multiplikative Struktur) ist, sowie is a Ringoid.
Wir nennen die Null des Rings und entsprechend die Eins.
Ist ein gerichteter Graph, so nennen wir
einen Pfad in zyklisch (auch einen Zykel oder eine Schleife), falls .
einen Zykel einfach, wenn für alle mit .
azyklisch, wenn keinen Zykel enthält.
Eine Schnapszahl (repdigit) ist eine mehrstellige Zahl, die ausschließlich durch identische Ziffern dargestellt wird.
Die Darstellung der Schnapszahlen zur Basis ist für , und .
Die Schröder-Hipparchus-Zahl (oder super-Catalan-Zahl) ist für natürliche Zahl definiert als
Die Schröder-Hipparchus-Zahlen (oder super-Catalan-Zahlen ) werden für natürliche Zahl rekursiv definiert:
Eine Schröder-Zahl ist die Anzahl der Wege von der südwest-Ecke eines quadratischen Gitters zur nordost-Ecke , unter Verwendung von Einzelschritten in Richtung Nord, Nordost oder Ost ohne die SW-NO Diagonale zu überschreiten.
Die ersten Schröder-Zahlen sind .
Die sechste Smarandache-Konstante ist definiert als
Dabei ist die Smarandache-Funktion.
Die Summe konvergiert.
.
Die sechzehnte Smarandache-Konstante ist definiert als
Dabei ist die Smarandache-Funktion.
Die Summe konvergiert für alle reellen Zahlen .
Wenn in einem Graph , der einen Kreis enthält, eine Kante von zwei Ecken des Kreises verbindet, selbst aber nicht zum Kreis gehört, so ist diese Kante eine Sehne des Kreises . Ein Kreis in ist genau dann sehnenlos, wenn er als Teilgraph in induziert ist.
Wenn in einem Graph , der einen Kreis enthält, eine Kante von zwei Ecken des Kreises verbindet, selbst aber nicht zum Kreis gehört, so ist diese Kante eine Sehne des Kreises . Ein Kreis in ist genau dann sehnenlos, wenn er als Teilgraph in induziert ist.
Sei ein gerichteter Graph, dann nennen wir einen Knoten
initial (oder eine Quelle) in , wenn es kein gibt, so dass .
terminal (oder Senke) in , wenn es kein gibt, so dass .
Die siebente Smarandache-Konstante ist für eine natürliche Zahl definiert als
Dabei ist die Smarandache-Funktion.
Die Summe konvergiert.
Die zweite Skewes-Zahl ist eine Obergrenze bis zu der nicht immer gilt, vorausgesetzt, die Riemann-Hypothese ist falsch.
Ein small-set positiver ganzer Zahlen
ist eine unendliche Menge, für die die Summe
konvergiert.
Die Smarandache-Funktion oder ist für eine gegebene positive ganze Zahl die kleinste natürliche Zahl, deren Fakultät durch teilbar ist.
Eine Smarandache-Wellin-Primzahl ist eine Smarandache-Wellin-Zahl, die auch Primzahl ist.
Eine natürliche Zahl, die zu keinem freundlichem Paar gehört, wird als solitary bezeichnet.
Eine Primzahl ist eine Sophie-Germain-Primzahl wenn auch eine Primzahl ist.
Paarweise nichtadjazente Ecken oder Kanten eines Graph werden unabhängig genannt. Eine Menge von Ecken oder Kanten wird unabhängig genannt, wenn es keine zwei Elemente gibt, die adjazent sind. Unabhängige Eckenmengen werden auch stabile Mengen genannt.
Ein Stammbruch ist eine als Bruch geschriebene rationale Zahl, deren Zähler und deren Nenner eine positive ganze Zahl ist.
Eine starke Primzahl ist eine Primzahl, die größer als das arithmetischen Mittel der nächstkleineren und der nächstgrößeren Primzahl ist.
Dabei ist die -te Primzahl.
Ist gerichteter Graph, so nennen wir einen Vektor einen Pfad in wenn für alle mit .
heißt der Startknoten von (schreibe )
heißt der Endknoten von (schreibe )
heißt die Länge von (schreibe )
Wir definieren das Produkt über eine Folge durch
Die Variable wird der Laufindex oder Multiplikationsindex genannt, die untere (oder Startwert) und die obereGrenze (oder Endwert) des Produkts, zusammen bestimmen sie den Multiplikationsbereich.
Gebräuchlich sind auch die fogenden Varianten des Produktoperators: und . Der erste spezifiziert den Multiplikationsbereich durch eine Formel über und der zweite gibt den Multiplikationsbereich direkt als eine Menge an.
Summation ist iterierte Addition. Wir definieren die Summe über eine Folge durch
Die Variable wird der Laufindex oder Summationsindex genannt, die untere (oder Startwert) und die obereGrenze (oder Endwert) der Summe, zusammen bestimmen sie den Summationsbereich.
Gebräuchlich sind auch die fogenden Varianten des Summenoperators: und . Der erste spezifiziert den Summationsbereich durch eine Formel über und der zweite gibt den Summationsbereich als eine Menge an.
Wenn es für eine Primzahl keine kleinere Primzahl und eine positive ganze Zahl gibt, so dass
gilt, dann ist eine Stern-Primzahl.
Eine quasiordnung auf heißt partielle Ordnung, wenn sie antisymmetrisch ist. induziert eine strikte Ordnung .
Die konversen Relationen schreiben wir oft als und .
Wir nennen eine Struktur aus einer Menge und einer partiellen Ordnung eine geordnete Menge.
Eine partielle Ordnung heißt totale Ordnung (or einfache Ordnung oder lineare Ordnung), falls oder für alle .
Wir nennen eine Struktur aus einer Menge und einer totalen Ordnung eine total geordnete Menge.
Eine Struktur fasst mehrere existierende mathematische Objekte (die Komponenten) zu einem neuen Objekt zusammen. Strukturen werden normalerweise als endliche Aufzählungen ihrer Komponenten gegeben, die durch spezielle Namen referenziert werden können.
Eine Abbildung ist stückweise definiert, schreibe
wobei Bedingungen an sind, wenn für alle so dass und sonst.
Die arithmetischen Operationen sind Addition , Subtraktion, , Multiplikation , Division und Exponentiation.
Summation ist iterierte Addition. Wir definieren die Summe über eine Folge durch
Die Variable wird der Laufindex oder Summationsindex genannt, die untere (oder Startwert) und die obereGrenze (oder Endwert) der Summe, zusammen bestimmen sie den Summationsbereich.
Gebräuchlich sind auch die fogenden Varianten des Summenoperators: und . Der erste spezifiziert den Summationsbereich durch eine Formel über und der zweite gibt den Summationsbereich als eine Menge an.
Summation ist iterierte Addition. Wir definieren die Summe über eine Folge durch
Die Variable wird der Laufindex oder Summationsindex genannt, die untere (oder Startwert) und die obereGrenze (oder Endwert) der Summe, zusammen bestimmen sie den Summationsbereich.
Gebräuchlich sind auch die fogenden Varianten des Summenoperators: und . Der erste spezifiziert den Summationsbereich durch eine Formel über und der zweite gibt den Summationsbereich als eine Menge an.
Summation ist iterierte Addition. Wir definieren die Summe über eine Folge durch
Die Variable wird der Laufindex oder Summationsindex genannt, die untere (oder Startwert) und die obereGrenze (oder Endwert) der Summe, zusammen bestimmen sie den Summationsbereich.
Gebräuchlich sind auch die fogenden Varianten des Summenoperators: und . Der erste spezifiziert den Summationsbereich durch eine Formel über und der zweite gibt den Summationsbereich als eine Menge an.
Summation ist iterierte Addition. Wir definieren die Summe über eine Folge durch
Die Variable wird der Laufindex oder Summationsindex genannt, die untere (oder Startwert) und die obereGrenze (oder Endwert) der Summe, zusammen bestimmen sie den Summationsbereich.
Gebräuchlich sind auch die fogenden Varianten des Summenoperators: und . Der erste spezifiziert den Summationsbereich durch eine Formel über und der zweite gibt den Summationsbereich als eine Menge an.
Die summierte Mangoldt-Funktion
wird auch als Tschebyschow-Funktion bezeichnet.
Die Schröder-Hipparchus-Zahl (oder super-Catalan-Zahl) ist für natürliche Zahl definiert als
Die Schröder-Hipparchus-Zahlen (oder super-Catalan-Zahlen ) werden für natürliche Zahl rekursiv definiert:
Sei eine geordnete Menge und , dann nennen wir die kleinste obere Schranke (größte untere Schranke ) von das Supremum (Infimum) von (falls dies existiert).
Ist ein Ausdruck und eine Bedingung (in einer Variablen ), so schreiben wir für und nennen es das supremum für über . Analog schreiben wir für und nennen es das infimum für über .
Sei eine geordnete Menge und , dann nennen wir die kleinste obere Schranke (größte untere Schranke ) von das Supremum (Infimum) von (falls dies existiert).
Ist ein Ausdruck und eine Bedingung (in einer Variablen ), so schreiben wir für und nennen es das supremum für über . Analog schreiben wir für und nennen es das infimum für über .
Für eine Mente nennen wir eine Funktion eine Abstandsfunktion (or Metrik ) auf , falls die folgenden drei Eigenschaften für alle gelten:
gdw. (Definitheit),
(Symmetrie) und
(Dreiecksungleichung).
Wir nennen einen metrischen Raum mit Grundmenge und Metrik .
Eine Relation heißt
symmetrisch auf , falls für alle mit .
asymmetrisch auf , falls für alle mit .
antisymmetrisch auf , falls wenn und .
Für einen Graph ist die minimale Länge eines in enthaltenen Kreises die Taillenweite von , die maximale Läenge eines in enthaltenen Kreises ist der Umfang von . Für einen Graph, der keinen Kreis enthält, setzen wir die Taillenweite auf , sein Umfang wird auf Null gesetzt.
Die -te Taxicab-Zahl ist definiert als die kleinste natürliche Zahl, die sich auf verschiedene Arten als Summe zweier Kubikzahlen darstellen lässt.
Zum Beispiel:
Sei eine reellwertige oder komplexe Funktion die glatt ist auf einem Häufungspunkt des Definitionsbereichs von , dann nennen wir die Reihe
die Taylorreihe für am Entwicklungspunkt . Ist , so nennen wir die Reihe die Mclaurinreihe.
Wir nennen mal differeinzierbar in , falls als Grenzwert existiert. Analog nennen wir mal differenzierbar auf , falls existiert und auf total ist.
Wir nennen unendlich differenzierbar oder glatt auf oder , wenn beziehungsweise für alle existieren.
Für ein definieren wir die te Ableitung einer Funktion durch
Die erste Ableitung von ist , ist die zweite Ableitung von , die dritte Ableitung von , usw. In der Leibniz Notation wird die te Ableiguntsfunktion von als geschrieben.
Wir nennen mal differeinzierbar in , falls als Grenzwert existiert. Analog nennen wir mal differenzierbar auf , falls existiert und auf total ist.
Wir nennen unendlich differenzierbar oder glatt auf oder , wenn beziehungsweise für alle existieren.
Für ein definieren wir die te Ableitung einer Funktion durch
Die erste Ableitung von ist , ist die zweite Ableitung von , die dritte Ableitung von , usw. In der Leibniz Notation wird die te Ableiguntsfunktion von als geschrieben.
Sei ein Ring und mit , dann nennen wir einen linken Teiler von (und sagen teilt links oder ist link teilbar durch ) und ein linkes Vielfaches von , wenn es ein gibt, für die ist.
Analog nennen wir einen rechten Teiler von (und sagen teilt rechts oder ist rechts teilbar durch ) und ein rechtes Vielfaches von , wenn es ein gibt, für die ist.
Ist kommutativ, so fallen rechte und linke Teiler zusammen, und wir sprechen einfach von Teiler, teilbar, und Vielfachen. Wir schreiben dann .
Wir nennen , , und triviale divisoren von . Ein Teiler von , der nicht trivial ist, heißt echter Teiler von .
Sei ein Ring und mit , dann nennen wir einen linken Teiler von (und sagen teilt links oder ist link teilbar durch ) und ein linkes Vielfaches von , wenn es ein gibt, für die ist.
Analog nennen wir einen rechten Teiler von (und sagen teilt rechts oder ist rechts teilbar durch ) und ein rechtes Vielfaches von , wenn es ein gibt, für die ist.
Ist kommutativ, so fallen rechte und linke Teiler zusammen, und wir sprechen einfach von Teiler, teilbar, und Vielfachen. Wir schreiben dann .
Wir nennen , , und triviale divisoren von . Ein Teiler von , der nicht trivial ist, heißt echter Teiler von .
Die Teileranzahlfunktion ist die Summe der positiven Teiler von .
Andere Symbole: , ,
Zwei natürliche Zahlen sind genau dann teilerfremd oder relativ prim, wenn deren größter gemeinsamer Teiler ist.
Die Teilersummenfunktion (auch ) ist die Summe der positiven Teiler von , also .
Eine Menge ist eine Teilmenge einer Menge (schreibe ), wenn alle Elemente von sind.
Sei ein Ring und mit , dann nennen wir einen linken Teiler von (und sagen teilt links oder ist link teilbar durch ) und ein linkes Vielfaches von , wenn es ein gibt, für die ist.
Analog nennen wir einen rechten Teiler von (und sagen teilt rechts oder ist rechts teilbar durch ) und ein rechtes Vielfaches von , wenn es ein gibt, für die ist.
Ist kommutativ, so fallen rechte und linke Teiler zusammen, und wir sprechen einfach von Teiler, teilbar, und Vielfachen. Wir schreiben dann .
Wir nennen , , und triviale divisoren von . Ein Teiler von , der nicht trivial ist, heißt echter Teiler von .
Sei ein Ring und mit , dann nennen wir einen linken Teiler von (und sagen teilt links oder ist link teilbar durch ) und ein linkes Vielfaches von , wenn es ein gibt, für die ist.
Analog nennen wir einen rechten Teiler von (und sagen teilt rechts oder ist rechts teilbar durch ) und ein rechtes Vielfaches von , wenn es ein gibt, für die ist.
Ist kommutativ, so fallen rechte und linke Teiler zusammen, und wir sprechen einfach von Teiler, teilbar, und Vielfachen. Wir schreiben dann .
Wir nennen , , und triviale divisoren von . Ein Teiler von , der nicht trivial ist, heißt echter Teiler von .
Eine Überdeckung einer Menge ist eine Familie von Mengen mit . Eine Teilmenge heißt Teilüberdeckung von , wenn sie immer noch überdeckt.
Sei ein gerichteter Graph, dann nennen wir einen Knoten
initial (oder eine Quelle) in , wenn es kein gibt, so dass .
terminal (oder Senke) in , wenn es kein gibt, so dass .
Ein topologischer Raum ist eine Menge zusammen mit einer Familie , so daß
.
falls .
falls endlich.
Dann heißt eine Topologie) auf . Elemente der Topologie heißen offene Mengen und ihre Komplemente abgeschlossen oder einfach geschlossen . Eine Teilmenge von kann weder gesclossen noch offen, oder gesclossen, oder offen oder beides.
Ein topologischer Raum ist eine Menge zusammen mit einer Familie , so daß
.
falls .
falls endlich.
Dann heißt eine Topologie) auf . Elemente der Topologie heißen offene Mengen und ihre Komplemente abgeschlossen oder einfach geschlossen . Eine Teilmenge von kann weder gesclossen noch offen, oder gesclossen, oder offen oder beides.
Eine Relation heißt total wenn es für alle ein gibt, so dass .
Eine partielle Ordnung heißt totale Ordnung (or einfache Ordnung oder lineare Ordnung), falls oder für alle .
Wir nennen eine Struktur aus einer Menge und einer totalen Ordnung eine total geordnete Menge.
Ist eine totale Relation (d.h. für alle gibt es ein eindeutiges it ), dann nennen wir eine totale Funktion und schreiben .
Eine partielle Ordnung heißt totale Ordnung (or einfache Ordnung oder lineare Ordnung), falls oder für alle .
Wir nennen eine Struktur aus einer Menge und einer totalen Ordnung eine total geordnete Menge.
Ist eine binäre Relation, so nennen wir die kleinste transitive, reflexive Relation die enthält den transtiv-reflexiven Abschluss von und schreiben sie als .
Wir nennen , , und triviale divisoren von . Ein Teiler von , der nicht trivial ist, heißt echter Teiler von .
Die summierte Mangoldt-Funktion
wird auch als Tschebyschow-Funktion bezeichnet.
Für einen Graph ist die minimale Länge eines in enthaltenen Kreises die Taillenweite von , die maximale Läenge eines in enthaltenen Kreises ist der Umfang von . Für einen Graph, der keinen Kreis enthält, setzen wir die Taillenweite auf , sein Umfang wird auf Null gesetzt.
Ist ein topologischer Raum und , so nennen wir ein offene Menge eine Umgebung von , falls .
Paarweise nichtadjazente Ecken oder Kanten eines Graph werden unabhängig genannt. Eine Menge von Ecken oder Kanten wird unabhängig genannt, wenn es keine zwei Elemente gibt, die adjazent sind. Unabhängige Eckenmengen werden auch stabile Mengen genannt.
Wir nennen mal differeinzierbar in , falls als Grenzwert existiert. Analog nennen wir mal differenzierbar auf , falls existiert und auf total ist.
Wir nennen unendlich differenzierbar oder glatt auf oder , wenn beziehungsweise für alle existieren.
Ist eine Folge mit oder , so definieren wir die unendliche Summe als den Grenzwert der Partialsummenfolge, falls dieser existiert.
Die Unendlichkeit (schreibe ) ist ein abstraktes Konzept, das auf Begriffe und Objekte angewendet wird, die keine Grenze haben. In der Mathematik wird sie meist wie eine Zahl behandelt.
Wir definieren das Produkt über eine Folge durch
Die Variable wird der Laufindex oder Multiplikationsindex genannt, die untere (oder Startwert) und die obereGrenze (oder Endwert) des Produkts, zusammen bestimmen sie den Multiplikationsbereich.
Gebräuchlich sind auch die fogenden Varianten des Produktoperators: und . Der erste spezifiziert den Multiplikationsbereich durch eine Formel über und der zweite gibt den Multiplikationsbereich direkt als eine Menge an.
Summation ist iterierte Addition. Wir definieren die Summe über eine Folge durch
Die Variable wird der Laufindex oder Summationsindex genannt, die untere (oder Startwert) und die obereGrenze (oder Endwert) der Summe, zusammen bestimmen sie den Summationsbereich.
Gebräuchlich sind auch die fogenden Varianten des Summenoperators: und . Der erste spezifiziert den Summationsbereich durch eine Formel über und der zweite gibt den Summationsbereich als eine Menge an.
Sei eine Funktion, und , dann nennen wir
das Bild von unter ,
das Bild von , und
das Urbild von unter .
Der -dimenionale Cartesische Raum über einer Menge ist definiert als . Wir nennen ein element einen Vektor.
Sei ein -dimensionaler Vektorraum und eine Basis , dann definieren wir das Vektorprodukt der Vektoren durch
Eine verallgemeinerte Cullen-Zahl ist eine natürliche Zahl der Form
mit .
Wenn eine Primzahl in dieser Form dargestellt werden kann, nennt man sie eine verallgemeinerte Cullen-Primzahl.
Eine verallgemeinerte Cullen-Zahl ist eine natürliche Zahl der Form
mit .
Wenn eine Primzahl in dieser Form dargestellt werden kann, nennt man sie eine verallgemeinerte Cullen-Primzahl.
Verallgemeinerte harmonische Reihen sind Reihen der Form
mit reellen Zahlen und .
Eine verallgemeinerte Woodall-Zahl ist eine natürliche Zahl der Form
mit .
Wenn eine Primzahl in dieser Form dargestellt werden kann, nennt man sie eine verallgemeinerte Woodall-Primzahl.
Eine verallgemeinerte Woodall-Zahl ist eine natürliche Zahl der Form
mit .
Wenn eine Primzahl in dieser Form dargestellt werden kann, nennt man sie eine verallgemeinerte Woodall-Primzahl.
Ist eine Familie von Mengen, so ist die Vereinigung über gegeben als .
Eine vielfache Harshad-Zahl ist eine Harshad-Zahl die nach Division durch die Summe ihrer Ziffern wieder eine Harshad-Zahl ist.
Sei ein Ring und mit , dann nennen wir einen linken Teiler von (und sagen teilt links oder ist link teilbar durch ) und ein linkes Vielfaches von , wenn es ein gibt, für die ist.
Analog nennen wir einen rechten Teiler von (und sagen teilt rechts oder ist rechts teilbar durch ) und ein rechtes Vielfaches von , wenn es ein gibt, für die ist.
Ist kommutativ, so fallen rechte und linke Teiler zusammen, und wir sprechen einfach von Teiler, teilbar, und Vielfachen. Wir schreiben dann .
Wir nennen , , und triviale divisoren von . Ein Teiler von , der nicht trivial ist, heißt echter Teiler von .
Die vierzehnte Smarandache-Konstante ist definiert als
Dabei ist die Smarandache-Funktion.
Die Summe konvergiert für alle reellen Zahlen .
Eine natürliche Zahl wird vollkommene Zahl (auch perfekte Zahl) genannt, wenn sie gleich der Summe aller ihrer (positiven) echten Teiler ist.
Ein metrischer Raum heißt vollständig (oder vollständiger Raum), wenn in ihm jede Cauchyfolge konvergent ist.
Wenn in einem Graph alle Ecken paarweise adjazent sind, dann nennen wir vollständig. A vollständiger Graph auf Ecken wird mit bezeichnet.
Wenn in einem Graph alle Ecken paarweise adjazent sind, dann nennen wir vollständig. A vollständiger Graph auf Ecken wird mit bezeichnet.
Ein metrischer Raum heißt vollständig (oder vollständiger Raum), wenn in ihm jede Cauchyfolge konvergent ist.
Eine Wagstaff-Primzahl ist eine Primzahl der Form
wobei auch eine Primzahl ist.
Eine Relation , heißt partielle Funktion mit Argumentbereich (schreibe ) und Wertebereich (schreibe ), wenn es für jedes höchstens ein gibt mit .
Wir schreiben und wenn .
Eine Wieferich-Primzahl ist eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass durch teilbar ist, also
Eine Woodall-Zahl ist eine natürliche Zahl der Form
mit einer natürlichen Zahl . Woodall-Zahlen werden manchmal auch als Cullen-Zahlen der zweiten Art bezeichnet.
Woodall-Zahlen die Primzahlen sind werden als Woodall-Primzahlen bezeichnet.
Eine Woodall-Zahl ist eine natürliche Zahl der Form
mit einer natürlichen Zahl . Woodall-Zahlen werden manchmal auch als Cullen-Zahlen der zweiten Art bezeichnet.
Woodall-Zahlen die Primzahlen sind werden als Woodall-Primzahlen bezeichnet.
Eine Woodall-Zahl ist eine natürliche Zahl der Form
mit einer natürlichen Zahl . Woodall-Zahlen werden manchmal auch als Cullen-Zahlen der zweiten Art bezeichnet.
Woodall-Zahlen die Primzahlen sind werden als Woodall-Primzahlen bezeichnet.
Die Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit den Eigenschaften der ganzen Zahlen beschäftigt.
Der dekadische Logarithmus (oder Zehnerlogarithmus) ist der Logarithmus zur Basis 10.
Die zehnten Smarandache-Konstanten sind definiert als
Dabei ist die Smarandache-Funktion.
Die Summe konvergiert für alle reellen Zahlen .
Eine Zentral-Polygonal-Zahl ist die größte Zahl von Teilen, in die ein Kreis (oder eine Ebene) durch gerade Schnitte zerlegt werden kann.
Zentrale Delannoy-Zahlen sind Delannoy-Zahlen für ein quadratisches Gitter.
Die ersten zentralen Delannoy-Zahlen sind:
Eine Primzahl ist eine zirkulare Primzahl, wenn alle Zahlen, die durch zyklische Vertauschung ihrer Ziffern entstehen, auch Primzahlen sind.
Zum Beispiel ist eine zirkulare Primzahl, weil und auch Primzahlen sind.
Eine zusammengesetzte Zahl ist eine natürlicheZahl, die mindestens drei verschiedene Teiler besitzt.
Ein nicht leerer Graph wird zusammenhängenderenannt, wenn je zwei seiner Ecken durch einen Weg verbunden sind. Wenn für eine Teilmenge der Eckenmenge der induzierte Teilgraph zusammenhängend ist, so nennen wir zusammenhängend in . Als Verneinung ziehen wir ‘unzusammenhängend’ der Formulierung ‘nicht zusammenhängend’ vor.
Wir nennen mal differeinzierbar in , falls als Grenzwert existiert. Analog nennen wir mal differenzierbar auf , falls existiert und auf total ist.
Wir nennen unendlich differenzierbar oder glatt auf oder , wenn beziehungsweise für alle existieren.
Für ein definieren wir die te Ableitung einer Funktion durch
Die erste Ableitung von ist , ist die zweite Ableitung von , die dritte Ableitung von , usw. In der Leibniz Notation wird die te Ableiguntsfunktion von als geschrieben.
Die zweite Skewes-Zahl ist eine Obergrenze bis zu der nicht immer gilt, vorausgesetzt, die Riemann-Hypothese ist falsch.
Die zweite Tschebyschow-Funktion ist die Summe der Logarithmen der Primzahlen über alle Primzahlpotenzen bis .
Dabei ist die Mangoldt-Funktion.
Eine Zwischenprimzahl ist das arithmetische Mittel zweier aufeinanderfolgender ungerader Primzahlen.
Ist ein gerichteter Graph, so nennen wir
einen Pfad in zyklisch (auch einen Zykel oder eine Schleife), falls .
einen Zykel einfach, wenn für alle mit .
azyklisch, wenn keinen Zykel enthält.
Ist ein gerichteter Graph, so nennen wir
einen Pfad in zyklisch (auch einen Zykel oder eine Schleife), falls .
einen Zykel einfach, wenn für alle mit .
azyklisch, wenn keinen Zykel enthält.
Eine zyklische Zahl ist eine natürliche Zahl, deren zyklische Permutationen ihrer Ziffern aufeinanderfolgende Vielfache dieser Zahl sind.
Seien eine Menge, eine Äquivalenzrelation auf und , dann nennen wir die Menge die Äquivalenzklasse von (unter ), und die Menge die Quotientenmenge von (unter ).
Wir nennen die Abbildung die Projektion von auf unter .
Eine Relation ist eine Äquivalenzrelation auf , wenn reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Eine Überdeckung einer Menge ist eine Familie von Mengen mit . Eine Teilmenge heißt Teilüberdeckung von , wenn sie immer noch überdeckt.
Let be a set and a family of sets, then the union over the collection is .