diferenţa Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\setdiff {a} {b}$
stex/tex	0	$\setdiffOp$
mathml	2	$a \ b$
mathml	2	$a \ b$
mathml	0	$\$

Fie $A$ si $B$ doua mulţimi, atunci diferenţa $A \ B$ dintre $A$ şi $B$ este $(bsetst [x] x)$ .

disjuncte de en tr

O familie de mulţimi e considerată familie de mulţimi disjuncte , dacă oricare două mulţimi sunt disjuncte.

Două mulţimi $A$ şi $B$ sunt considerate disjuncte, dacă $(A \cap B) =$ .

egale Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\setequal {a}$
stex/tex	0	$\setequalOp$
mathml	1	$a$
mathml	1	$a$
mathml	0	$\equiv$

tr de ru

Două mulţimi $A$ şi $B$ sunt egale (scris $A \equiv B$ ), dacă au aceleaşi elemente.

familie de mulţimi disjuncte , de en tr

O familie de mulţimi e considerată familie de mulţimi disjuncte , dacă oricare două mulţimi sunt disjuncte.
familie de mulţimi disjuncte , de en tr

O familie de mulţimi e considerată familie de mulţimi disjuncte , dacă oricare două mulţimi sunt disjuncte.

intersecţia Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	3	$\mintersectCollection {a} {b} {c}$
mathml	2	$⋂_{b \in a} c$
mathml	2	$⋂_{b \in a} c$

tr de en

Fie $I$ o mulţime şi $S_{i}$ o familie de mulţimi indexată de $I$ , atunci intersecţia $⋂_{i \in I} S_{i}$ peste $I$ este $(bsetst [x] x)$ .

intersecţia Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\intersect {a}$
stex/tex	0	$\intersectOp$
mathml	1	$a$
mathml	1	$a$
mathml	0	$\cap$

tr de en

Fie $A$ si $B$ doua mulţimi, atunci intersecţia $A \cap B$ lui $A$ şi $B$ este $(bsetst [x] x)$ .

mulţimea tuturor submulţimilor Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\powerset {a}$
stex/tex	0	$\powersetFN$
mathml	1	$𝒫 (a)$
mathml	1	$𝒫 (a)$
mathml	0	$𝒫$

de tr bg

Fie $A$ o mulţime, atunci mulţimea tuturor submulţimilor $𝒫 (A)$ lui $A$ este $(bsetst [S] S)$ .

Mulţimea vidă Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\eset$
mathml	0	$\emptyset$
mathml	0

en tr de

Mulţimea vidă (uneori scrisă ) este mulţimea fără nici un element.

pereche Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\pair {a} {b}$
mathml	2	$⟨ a, b ⟩$
mathml	2	$⟨ a, b ⟩$

tr en de

Fie $A$ şi $B$ doua mulţimi, atunci mulţimea de perechi $A \times B$ de $A$ şi $B$ este definită ca $(bsetst [a b] ⟨ a, b ⟩)$ , numim $(⟨ a, b ⟩) \in (A \times B)$ o pereche.

perechi Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\pairs {a} {b}$
stex/tex	0	$\pairsFN$
mathml	2	$a \times b$
mathml	2	$a \times b$
mathml	0	$\times$

tr en de

Fie $A$ şi $B$ doua mulţimi, atunci mulţimea de perechi $A \times B$ de $A$ şi $B$ este definită ca $(bsetst [a b] ⟨ a, b ⟩)$ , numim $(⟨ a, b ⟩) \in (A \times B)$ o pereche.

reuniunea Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	3	$\munionCollection {a} {b} {c}$
mathml	2	$⋃_{b \in a} c$
mathml	2	$⋃_{b \in a} c$

de tr ru

Fie $I$ o mulţime şi $(bsetst [i] S_{i})$ o familie de mulţimi, atunci reuniunea $⋃_{i \in I} S_{i}$ peste $S$ este $(bsetst [x] x)$ .

reuniunea Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\union {a}$
stex/tex	0	$\unionOp$
mathml	1	$a$
mathml	1	$a$
mathml	0	$\cup$

de tr ru

Fie $A$ şi $B$ două mulţimi, atunci reuniunea $A \cup B$ lui $A$ şi $B$ este definită ca $(bsetst [x] x)$

submulţime Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\sseteq {a} {b}$
stex/tex	0	$\sseteqOp$
mathml	2	$a \subseteq b$
mathml	2	$a \subseteq b$
mathml	0	$\subseteq$

de tr en

O mulţime $A$ este o submulţime a unei mulţimi $B$ (scris $A \subset B$ ), dacă toate $x \in A$ sunt elemente ale lui $B$ .

submulţime proprie Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\sset {a} {b}$
stex/tex	0	$\ssetOp$
mathml	2	$a \subset b$
mathml	2	$a \subset b$
mathml	0	$\subset$

de tr en

O mulţime $A$ este o submulţime proprie a unei mulţimi $B$ (scris $A \subseteq B$ ), dacă $A \subset B$ şi $A ≢ B$ .

super-mulţime Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\superseteq {a} {b}$
stex/tex	0	$\superseteqOp$
mathml	2	$a \supseteq b$
mathml	2	$a \supseteq b$
mathml	0	$\supseteq$

de tr en

O mulţime $A$ este o super-mulţime a unei mulţimi $B$ (scris $A \supset B$ ), dacă $B \subset A$ .

super-mulţime proprie Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\superset {a} {b}$
stex/tex	0	$\supersetOp$
mathml	2	$a \supset b$
mathml	2	$a \supset b$
mathml	0	$\supset$

tr en

O mulţime $A$ este o super-mulţime proprie a unei mulţimi $B$ (scris $A \supseteq B$ ), dacă $B \subseteq A$ .

Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\enumb$
mathml	0	$e$

The number $e$ , sometimes called Euler’s constant (also known as Napier’s constant) is an important mathematical constant.

e

e = 2.718281828459045 ...

times differentiable de

We call $f$ $n$ times differentiable at $a \in M$ , iff ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ exists as a limit. Analogously, $f$ is $n$ times differentiable on $M$ , iff $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ exists and is total on $M$ .

$f$ is called infinitely differentiable or smooth at $a \in M$ or on $M$ , iff ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ and $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ exist for all $n \in ℕ$ respectively.
-closure de

Let $p$ be a properties and $R \subseteq (A \times B)$ a relation, then we call the smallest (in terms of the $subset$ ) relation $R^{'} \supseteq R$ that has property $p$ the $p$ -closure of $R$ .

-dim Cartesian space Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\ndim {a} {b}$
mathml	2	$a^{b}$
mathml	2	$a^{b}$

Let $A$ be a set, then the $n$ -dim Cartesian space $A^{n}$ over $A$ is $(bsetst [a n] ⟨ (a_{1}, \dots, a_{n}) ⟩)$ . We call $(⟨ (a_{1}, \dots, a_{n}) ⟩) \in (A^{n})$ a vector.

-equal de

We call a formula $A$ an alphabetic variant of $B$ (or -equal; write $(alphaeq A) B$ ), iff $B$ can be obtained from $A$ by systematically renaming bound variables.

-fold Cartesian product Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\cart {a}$
stex/tex	0	$\cartFN$
mathml	1	$a$
mathml	1	$a$
mathml	0	$\times$

Let $A_{i}$ be a collection of sets for $1 \leq i \leq n$ , then the $n$ -fold Cartesian product $A_{1} \times ... \times A_{n}$ is $(bsetst [a n] ⟨ (a_{1}, \dots, a_{n}) ⟩)$ , we call $(⟨ (a_{1}, \dots, a_{n}) ⟩) \in (A_{1} \times ... \times A_{n})$ an $n$ -tuple.

We call the function $(projection i) : (A_{1} \times ... \times A_{n}) \to A_{i}; (⟨ (a_{1}, \dots, a_{n}) ⟩) \mapsto a_{i}$ the ( $i$ ^th ) projection.

-ful number de

An integer whose prime factors have exponents at least $k$ is called a $k$ -powerful number, $k$ -ful number, or $k$ -full number.
-full number de

An integer whose prime factors have exponents at least $k$ is called a $k$ -powerful number, $k$ -ful number, or $k$ -full number.
-perfect de

A number $n$ is called multiperfect or $k$ -perfect for a given natural numbers $k$ , if and only if the sum of all positive divisors of $n$ is equal to $k n$ .
-powerful number de

An integer whose prime factors have exponents at least $k$ is called a $k$ -powerful number, $k$ -ful number, or $k$ -full number.
-powersmooth de

A natural numbers $n$ is called $B$ -powersmooth if all prime powers $p^{k}$ dividing $n$ satisfy: $(p^{k}) < B$
-regular de

If in a graph $G$ all the vertices have the same degree, say $k$ , then $G$ is called $k$ -regular, or simply regular.

A 3-regular graph is called cubic graph.
-simplex de

A $k$ -simplex is a $k$ -dimensional convex polytope which is the convex hull of $k + 1$ affinely independent points in $ℝ^{k}$ .

-tuple Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\tup {a}$
mathml	1	$⟨ a ⟩$
mathml	1	$⟨ a ⟩$

We call the function $(projection i) : (A_{1} \times ... \times A_{n}) \to A_{i}; (⟨ (a_{1}, \dots, a_{n}) ⟩) \mapsto a_{i}$ the ( $i$ ^th ) projection.

-Ulam number de

The $⟨ u, v ⟩$ -Ulam numbers $U_{n}$ form an integer sequence. The $⟨ u, v ⟩$ -Ulam sequence starts with $(U_{1}) = u$ and $(U_{2}) = v$ . Then for $n > 2$ , $U_{n}$ is defined to be the smallest integer that is the sum of two distinct earlier terms in exactly one way.
-Ulam sequence de

The $⟨ u, v ⟩$ -Ulam numbers $U_{n}$ form an integer sequence. The $⟨ u, v ⟩$ -Ulam sequence starts with $(U_{1}) = u$ and $(U_{2}) = v$ . Then for $n > 2$ , $U_{n}$ is defined to be the smallest integer that is the sum of two distinct earlier terms in exactly one way.
2-almost prime de
2-almost prime de
2-full numbers de

A powerful number is a positive integer $m$ such that for every prime number $p$ dividing $m$ , $p^{2}$ also divides $m$ .

A powerful number is the product of a square and a cube. Powerful numbers are also known as squareful numbers, square-full numbers, or 2-full numbers.

absolute value Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\absolutevalue {a}$
mathml	1	$\| a \|$
mathml	1	$\| a \|$

The absolute value $| r |$ of a real number $r$ is defined as $(defined-piecewise (r wenn (r \geq 0)) ((r) sonst))$ .

absolutely abnormal de

A number is absolutely non-normal or absolutely abnormal if it is not simply normal in any base.
absolutely non-normal de

A number is absolutely non-normal or absolutely abnormal if it is not simply normal in any base.
abstract reduction system

An abstract reduction system (or abstract rewriting system, or ARS) $⟨ A, R ⟩$ consists of a set $A$ together with a relation $R \subseteq (A^{2})$ . The relation $R$ is written as $(arsRconv R)$ or simply as $arsconv$ .

The transitive-reflexive closure of $arsconv$ is denoted by $arsconvtr$ . To distinguish the original relation $arsconv$ it is sometimes written as $arsconv$ .
abstract rewriting system

An abstract reduction system (or abstract rewriting system, or ARS) $⟨ A, R ⟩$ consists of a set $A$ together with a relation $R \subseteq (A^{2})$ . The relation $R$ is written as $(arsRconv R)$ or simply as $arsconv$ .

The transitive-reflexive closure of $arsconv$ is denoted by $arsconvtr$ . To distinguish the original relation $arsconv$ it is sometimes written as $arsconv$ .
abundance de

The abundance of a positive integer $n$ is the value $(σ_{1} (n)) - (2 n)$ .
abundancy de

The abundancy of a number $n$ is defined as the ratio $\frac{(σ_{1} (n))}{n}$ , where $σ_{1} (n)$ is the sum-of-divisors function.
Achilles number de

An Achilles number is a natural numbers that is powerful but not a perfect power.
acyclic
Given a directed graph $G = (⟨ V, E ⟩)$ ,

•
a path $p$ is called cyclic (or a cycle) iff $(start (p)) = (end (p))$ .

•
a cycle $⟨ (v_{0}, \dots, v_{n}) ⟩$ is called simple, iff $v_{i} \neq v_{j}$ for $i, j \leq 1 \leq n$ with $i \neq j$ .

•
$G$ is called acyclic (or a DAG (directed acyclic graph)) iff there is no cycle in $G$ .
additive persistence

The number of times the digits must be summed to reach the digital sum is called a number’s additive persistence.
additive structure de

A structure $⟨ R ⟩$ is called a ring, if $⟨ R ⟩$ is a Abelian group (called the additive structure), $⟨ R ⟩$ is a monoid (called the multiplicative structure), and $⟨ R ⟩$ is a ringoid.

We call $0$ the zero of the ring and $1$ the one of the ring.
adjacent de

Two distinct edges $e$ and $f$ are adjacent if they have an end in common.

Two vertices $x$ and $y$ in a graph $G$ are adjacent, or neighbours, if $⟨ x, y ⟩$ is an edge of $G$ .
affinely independent de

We call a set $(bsetst [i] u_{i})$ points in $ℝ^{n}$ affinely independent, iff the set $(bsetst [i] u_{0} - u_{i})$ are linearly independent.
aliquot sequence de

An aliquot sequence starting with a positive integer $k$ is a recursive sequence in which each term is the sum of the proper divisors of the previous term.
aliquot sum

A perfect number is a positive integer that is equal to the sum of its aliquot sum.

aliquot sum Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\alisum {a}$
stex/tex	0	$\alisumOp$
mathml	1	$s (a)$
mathml	1	$s (a)$
mathml	0	$s$

The aliquot sum $s (n)$ is defined as the sum of the proper divisors of $n$ .

all-Harshad number de

An all-Harshad number or an all-Niven number is a number which is a Harshad number in any number base.

There are only four all-Harshad numbers: 1, 2, 4, and 6.
all-Niven number de

An all-Harshad number or an all-Niven number is a number which is a Harshad number in any number base.

There are only four all-Harshad numbers: 1, 2, 4, and 6.
alphabetic variant de

We call a formula $A$ an alphabetic variant of $B$ (or -equal; write $(alphaeq A) B$ ), iff $B$ can be obtained from $A$ by systematically renaming bound variables.

alternating harmonic series de

The alternating harmonic series is the series

(infinite-sum 1 [n] (multi-relation-expression \frac{({(1)}^{(n + 1)})}{n} equal ((((1 - (\frac{1}{2})) + (\frac{1}{3})) - (\frac{1}{4})) + (\frac{1}{5})) - \dots equal ln (2)))

Amicable number de

Amicable numbers are two different numbers so related that the sum of the divisors (without the numbers themselves) of each is equal to the other number.

The smallest pair of amicable numbers is $⟨ 220, 284 ⟩$ .

angle Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	3	$\geoangle {a} {b} {c}$
stex/tex	0	$\geoangleOp$
mathml	3	$∠ a b c$
mathml	3	$∠ a b c$
mathml	0	$∠$

A pair of rays $\vec{A B}$ and $\vec{A C}$ is called an angle with vertex $A$ . We write $⟨ (\vec{A B}), (\vec{A C}) ⟩$ as $∠ A B C$ .

anti-reflexive de
A relation $R \subseteq (A \times A)$ is called

•

reflexive on $A$ , iff $(⟨ a, a ⟩) \in R$ for all $a \in A$ , and

•

irreflexive (or anti-reflexive) on $A$ , iff $(⟨ a, a ⟩) \notin R$ for all $a \in A$ .
antisymmetric
A relation $R \subseteq (A \times A)$ is called

•
symmetric on $A$ , iff $(⟨ b, a ⟩) \in R$ for all $a, b \in A$ with $(⟨ a, b ⟩) \in R$ .

•
asymmetric on $A$ , iff $(⟨ b, a ⟩) \notin R$ for all $a, b \in A$ with $(⟨ a, b ⟩) \in R$ .

•
antisymmetric on $A$ , iff $(⟨ a, b ⟩) \in R$ and $(⟨ b, a ⟩) \in R$ imply $a = b$ .

approximately equal Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\approxeq {a}$
mathml	1	$a$

We call two mathematical objects $a$ and $b$ approximately equal, (written $a \sim b$ ), iff they are discerned only by properties of less relevance in the current situation.

arc de

A graph is a pair $⟨ V, E ⟩$ such that $V$ is a set and $E \subseteq (V \times V)$ is a subset of the set of pairs from $V$ . We call $V$ the vertices (or nodes, points,junctions) and $E$ the edges (or lines, branches, arcs) of $G$ .

arithmetic mean Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\arithmean {a}$
mathml	1	$A_{a}$

The arithmetic mean of a set $M = ({(a_{1}, \dots, a_{n})})$ is given by $A_{M}$ .

ARS

An abstract reduction system (or abstract rewriting system, or ARS) $⟨ A, R ⟩$ consists of a set $A$ together with a relation $R \subseteq (A^{2})$ . The relation $R$ is written as $(arsRconv R)$ or simply as $arsconv$ .

The transitive-reflexive closure of $arsconv$ is denoted by $arsconvtr$ . To distinguish the original relation $arsconv$ it is sometimes written as $arsconv$ .
asymmetric de
A relation $R \subseteq (A \times A)$ is called

•
symmetric on $A$ , iff $(⟨ b, a ⟩) \in R$ for all $a, b \in A$ with $(⟨ a, b ⟩) \in R$ .

•
asymmetric on $A$ , iff $(⟨ b, a ⟩) \notin R$ for all $a, b \in A$ with $(⟨ a, b ⟩) \in R$ .

•
antisymmetric on $A$ , iff $(⟨ a, b ⟩) \in R$ and $(⟨ b, a ⟩) \in R$ imply $a = b$ .

asymptotic density Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\asdensity {a}$
stex/tex	0	$\asdensityOp$
mathml	1	$d (a)$
mathml	1	$d (a)$
mathml	0	$d$

A subset $A$ of positive integers has an asymptotic density (or natural density) $d (A)$ , where $(multi-relation-expression 0 lessthan d (A) lessthan 1)$ , if the limit exists

d (A)

$a n$ is the number of elements of $A$ less than or equal to $n$ .

Bailey-Borwein-Plouffe formula de

The Bailey-Borwein-Plouffe formula (BBP formula) is a series for the computation of $π$ :

$π$

balanced prime de

A balanced prime is a prime number that is equal to the arithmetic mean of the nearest primes above and below.

(p_{n}) = (\frac{((p_{(n - 1)}) + (p_{(n + 1)}))}{2})

where $p_{n}$ is the $n$ th prime number.

barrier de

A number $n$ is called a barrier of a number-theoretic function $f m$ if, for all $m > n$ , $(m + (f m)) < n$ .
base set de
Let $M$ be a set, then we call a function $d : (M \times M) \to ℝ$ a distance function (or metric ) on $M$ , iff for all $x, y, z \in M$ the following three identities hold:

1.

$(d) = 0$ iff $x = y$ (identity of indiscernibles),

2.

$(d) = (d)$ (symmetry), and

3.

$(d) \leq ((d) + (d))$ (triangle inequality).

We call $⟨ M, d ⟩$ a metric space with base set $M$ and metric $d$ .
base-b repunits

A repunit is a natural number that contains only the digit $1$ .

The base-b repunits are defined as $(R_{n}^{(b)}) = (\frac{((b^{n}) - 1)}{(b - 1)})$ for $b \geq 2$ and $n \geq 1$ .

A repunit prime is a repunit that is also a prime number.

Baxter-Hickerson function

The Baxter-Hickerson function is defined for non-negative integers $n$ by

(f n) = ((\frac{1}{3}) (((\cdot 2 10^{(5 n)}) - (10^{(4 n)})) + (\cdot 2 10^{(3 n)}) + (10^{(2 n)}) + (10^{n}) + 1))

It produces numbers whose cubes are zerofree.

BBP formula de

The Bailey-Borwein-Plouffe formula (BBP formula) is a series for the computation of $π$ :

$π$

between Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	3	$\geobetween {a} {b} {c}$
stex/tex	0	$\geobetweenOp$
mathml	3	$a * b * c$
mathml	3	$a * b * c$
mathml	0	$*$

We call a set of points a ternary relation $between$ an order geometry , iff

1.
If $A * B * C$ , then
1. (a)
  $A \neq C$ .
2. (b)
  ${A, B, C}$ is a collinear set.
3. (c)
  $B * B * A$ .
2.
If $B$ and $D$ are distinct points, then there is at least one point $A$ , such that $A * B * D$ .
3.
If $A$ , $B$ and $C$ are distinct collinear points, then $A * B * C$ , or $A * C * B$ , or $B * A * C$ .
4.
$A * B * C$ and $A * C * B$ cannot hold at the same time.

If $A * B * C$ , we say that $B$ is between $A$ and $C$ .

bijective de

A function $f : S \to T$ is called bijective, iff $f$ is injective and surjective.
binary logarithm de

The binary logarithm is the logarithm to the base 2.

binomial coefficient Show Notations

Languages

Arguments

Rendering

stex/tex

\binomcoeff {a} {b}

mathml

𝒞_{b}^{a}

mathml

(

)

http://mathhub.info/smglom/smglom/binomialcoefficient.omdoc?binomialcoefficient?binomial-coefficientab

mathml

(

)

http://mathhub.info/smglom/smglom/binomialcoefficient.omdoc?binomialcoefficient?binomial-coefficientab

mathml

𝒞_{b}^{a}

The binomial coefficient $𝒞_{k}^{n}$ (written as $𝒞_{k}^{n}$ in French) is defined to be the number of $k$ -element subsets of an $n$ -element set.

biprime de
branch de

A graph is a pair $⟨ V, E ⟩$ such that $V$ is a set and $E \subseteq (V \times V)$ is a subset of the set of pairs from $V$ . We call $V$ the vertices (or nodes, points,junctions) and $E$ the edges (or lines, branches, arcs) of $G$ .

Briggsian logarithm Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\logten {a}$
stex/tex	0	$\logtenFN$
mathml	1	${log}_{10} (a)$
mathml	1	${log}_{10} (a)$
mathml	0	$Log$
mathml	0

The common logarithm is the logarithm to the base 10. It is also known as the decadic logarithm and also as the decimal logarithm, named after its base, or Briggsian logarithm after Henry Briggs who introduced it.

cabtaxi number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\cabtaxi {a}$
stex/tex	0	$\cabtaxiOp$
mathml	1	$Cabtaxi (a)$
mathml	0	$Cabtaxi$

The $n$ th cabtaxi number $Cabtaxi (n)$ is defined as the smallest positive integer that can be expressed as a sum or a difference of two cubes (included $0$ ) in $n$ distinct ways.

For example:

(multi-relation-expression Cabtaxi (2) equal 91 equal (3^{3}) + (4^{3}) equal (6^{3}) + (5^{3}))

Cahen’s constant Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\cahenconst$
mathml	0	$𝐶$

Let $s_{n}$ be the Sylvester sequence.

Cahen’s constant is defined as an infinite series of unit fractions with alternating signs

𝐶 :, = (infinite-sum 0 [i] \frac{({(1)}^{i})}{((s_{i}) - 1)})

cake number de

The cake number $C_{n}$ is the maximum number of regions into which a 3-dimensional cube can be partitioned by exactly $n$ planes.

(multi-relation-expression C_{n} equal (𝒞_{3}^{n}) + (𝒞_{2}^{n}) + (𝒞_{1}^{n}) + (𝒞_{0}^{n}) equal (\frac{1}{6}) ((n^{3}) + (5 n) + 6))

cardinality Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\card {a}$
stex/tex	0	$\cardOp$
mathml	1	$# (a)$
mathml	1	$# (a)$
mathml	0	$#$

We say that a set $A$ is finite and has cardinality (or size) $(# (A)) \in ℕ$ , iff there is a bijective function $f : A \to ({n \in ℕ | (n < (# (A)))})$ .

The cardinality of a set $A$ is also written as $# (A)$ , $# (A)$ , $# (A)$ , or $# (A)$ .

Carol number de

A Carol number is an integer of the form

((4^{n}) - (2^{(n + 1)}) - 1) = (({((2^{n}) - 1)}^{2}) - 2)

for a positive integer $n$ .

Cassini identity de
Catalan identity de

Catalan number de

The Catalan numbers form a sequence of natural numbers defind by

(multi-relation-expression C_{n} equal (𝒞_{n}^{(2 n)}) - (𝒞_{(n + 1)}^{(2 n)}) equal (\frac{1}{(n + 1)}) (𝒞_{n}^{(2 n)}) equal \frac{((2 n)!)}{((n + 1)!)})

for $n \geq 0$ .

Catalan-Mersenne number de
Cauchy sequence de

Let $⟨ M, d ⟩$ be a metric space, then we call a sequence $(sequenceon [name.cvar.0] n)$ a Cauchy sequence, iff for each $ϵ > 0$ there exists a $n_{0} \in ℕ$ , such that $(d) < ϵ$ for all $n, m \geq n_{0}$ .

ceiling Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\ceiling {a}$
mathml	1	$]] a [[$
mathml	1	$] a [$
mathml	1	$⌈ a ⌉$
mathml	1	$⌈ a ⌉$
mathml	1	$] a [$
mathml	1	$]] a [[$

The floor

http://mathhub.info/smglom/numberfields/ceilingfloor.omdoc?ceilingfloor?floorr of a real number

r

is the largest integer that is smaller or equal to

r

. The floor function is also called the greatest integer function.

The ceiling $]] r [[$ of a real number $r$ is the smallest integer that is greater or equal to $r$ . The ceiling function is also called the least integer function.

central Delannoy number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\centraldelannoynumber {a}$
stex/tex	0	$\centraldelannoynumberOp$
mathml	1	$D (a)$
mathml	0	$D$

The central Delannoy numbers $(D (n)) = (D (n, n))$ are the Delannoy numbers for a square $n n$ grid.

The first central Delannoy numbers are:

1, 3, 13, 63, 321, 1683, 8989, 48639, 265729, ...

central polygonal number de

The central polygonal numbers or lazy caterer’s sequence describes the maximum number $p$ of pieces of a circle (or a plane) that can be made with a given number $n$ of straight cuts.

(multi-relation-expression p equal (𝒞_{2}^{n}) + (𝒞_{1}^{n}) + (𝒞_{0}^{n}) equal \frac{((n^{2}) + n + 2)}{2})

Chebyshev function de

The summatory von Mangoldt function, also known as the Chebyshev function, is defined as

$ψ$
child
A tree is a directed acyclic graph $G = (⟨ V, E ⟩)$ such that

•
there is exactly one initialnode $v_{r} \in V$ (called the root), and

•
all nodes but the root have indegree 1.

We call $v$ the parent of $w$ , iff $(⟨ v, w ⟩) \in E$ ( $w$ is a child of $v$ ). We call a node $v$ a leaf of $G$ , iff it is terminal, i.e. if it does not have children.
chord de

If in a graph $G$ which contains a cycle $C$ , an edge of $G$ joins two vertices of $C$ but is not itself an edge of the cycle, then this edge is a chord of the cycle $C$ . Thus a cycle is chordless iff it is an induced cycle in $G$ .
chordless de

If in a graph $G$ which contains a cycle $C$ , an edge of $G$ joins two vertices of $C$ but is not itself an edge of the cycle, then this edge is a chord of the cycle $C$ . Thus a cycle is chordless iff it is an induced cycle in $G$ .
circular prime de

A prime number is a circular prime if all numbers generated by cyclically permuting of its digits are prime.

For example, $197$ is a circular prime, because $971$ and $719$ also primes.
circumference de

For a graph $G$ , the minimum length of a cycle contained in $G$ is the girth $g (G)$ of $G$ . The maximum length of a cycle contained in $G$ is the circumference of $G$ . For a graph which does not contain a cycle the girth is set to $(g (G)) = \infty$ , its circumference is set to zero.
clopen set
A topological space $⟨ X, O ⟩$ is a set $X$ together with a collection $O \subseteq (𝒫 (X))$ , such that

1.

$, X \in O$ .

2.

$(⋃_{S \in S} s) \in O$ if $S \subseteq S$ .

3.

$(⋂_{S \in S} s) \in O$ if $S \subseteq S$ is finite.

$O$ is called an open set topology (or just topology) on $X$ . Members of a topology $O$ are called open sets and their complements closed sets. A subset of $X$ may be neither closed nor open, either closed or open, or both. A set that is both closed and open is called a clopen set.

closed ball Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\closedball {a} {b}$
mathml	2	$\bar{B} (a, b)$
mathml	2	$\bar{B_{a}} (b)$
mathml	2	$\bar{B_{a}} (b)$
mathml	2	$\bar{B} (a, b)$

Let $⟨ M, d ⟩$ be a metric space, then we call the set $(fundefeq [r x] 𝐵 (r, x))$ the open ball and $(fundefeq [r x] \bar{B} (r, x))$ the closed ball around $x$ with radius $r$ . We also write $𝐵 (r, x)$ and $\bar{B} (r, x)$ .

closed set de
A topological space $⟨ X, O ⟩$ is a set $X$ together with a collection $O \subseteq (𝒫 (X))$ , such that

1.

$, X \in O$ .

2.

$(⋃_{S \in S} s) \in O$ if $S \subseteq S$ .

3.

$(⋂_{S \in S} s) \in O$ if $S \subseteq S$ is finite.

$O$ is called an open set topology (or just topology) on $X$ . Members of a topology $O$ are called open sets and their complements closed sets. A subset of $X$ may be neither closed nor open, either closed or open, or both. A set that is both closed and open is called a clopen set.
co-prime Show Notations
Languages Arguments Rendering
stex/tex 0 $\coprime$
mathml 0 $⊥$
de

Two integers are said to be coprime (also spelled co-prime), relatively prime or mutually prime if their greatest common divisor is $1$ .

codomain Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\codomain {a}$
stex/tex	0	$\codomainFN$
mathml	1	$𝐜𝐨𝐝𝐨𝐦 (a)$
mathml	1	$𝐜𝐨𝐝𝐨𝐦 (a)$
mathml	0	$𝐜𝐨𝐝𝐨𝐦$

A relation $f \subseteq (X \times Y)$ , is called a partial function with domain $X$ (write $𝐝𝐨𝐦 (f)$ ) and codomain $Y$ (write $𝐜𝐨𝐝𝐨𝐦 (f)$ ), iff for all $x \in X$ there is at most one $y \in Y$ with $(⟨ x, y ⟩) \in f$ .

We write $f : X ⇀ Y; x \mapsto y$ and $(f) = y$ instead of $(⟨ x, y ⟩) \in f$ .

collinear

A set $S$ of points is called collinear, if there is a line $l$ with $(⟨ p, l ⟩) \in I$ for all $s \in S$ .

common logarithm Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\logten {a}$
stex/tex	0	$\logtenFN$
mathml	1	${log}_{10} (a)$
mathml	1	${log}_{10} (a)$
mathml	0	$Log$
mathml	0

commutative de

A ring $⟨ R ⟩$ is called commutative if $⟨ R ⟩$ is a commutative magma.

commutator Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\comm {a} {b}$
mathml	2	$[a, b]$

Let $⟨ G ⟩$ be a group and $a, b \in G$ . Then we define the commutator of $a$ and $b$ as $(fundefeq [a b] [a, b])$ . It is equal to the group’s unit if and only if $g$ and $h$ commute.

compact

Let $⟨ X, O ⟩$ be a topological space and $K \subseteq X$ , then we call $K$ compact, iff every cover of $K$ has a finite subcover.
complete de

A metric space $⟨ M, d ⟩$ is called complete (or a complete space), iff every Cauchy sequence in $⟨ M, d ⟩$ is convergent.
complete de

If in a graph $G$ all vertices are pairwise adjacent, then we call $G$ complete. A complete graph on $n$ vertices is denoted by $K_{n}$ .

complete graph Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\completegraph {a}$
mathml	1	$K_{a}$
mathml	1	$K_{a}$

If in a graph $G$ all vertices are pairwise adjacent, then we call $G$ complete. A complete graph on $n$ vertices is denoted by $K_{n}$ .

complete space de

A metric space $⟨ M, d ⟩$ is called complete (or a complete space), iff every Cauchy sequence in $⟨ M, d ⟩$ is convergent.

complex number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\ComplexNumbers$
mathml	0	$ℂ$

The set $ℂ$ of complex numbers contains numbers of the form $a + (b 𝑖)$ , where $a, b \in ℝ$ . We call $𝑖$ the imaginary unit.

component de

A structure combines multiple mathematical objects (the components) into a new object. Structures are usually given as finite enumerations, where the components have names by which they can be referenced.
composite number de

A composite number is a positive integer that has at least one positive divisor other than 1 or itself.

composition Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\compose {a}$
stex/tex	0	$\composeOp$
mathml	1	$a$
mathml	1	$a$
mathml	0	$\circ$

The composition of two relations $R \subseteq (A \times B)$ and $S \subseteq (B \times C)$ is defined as $(fundefeq [S R] S \circ R)$

connected graph de

A non-empty graph $G$ is said to be a connected graph if any two of its vertices are linked by a path in $G$ . If the subgraph $G U$ , induced by a subset $U$ of the vertex set $V G$ , is connected, we call $U$ itself connected (in $G$ ). For the negation we usually prefer ’disconnected’ over ’not connected’.
continuous de

Let $⟨ X, O ⟩$ and $⟨ X^{'}, O^{'} ⟩$ be topological spaces, then we call a function $f : X \to Y$ continuous, iff $((𝐈𝐦 (f)) X) \in O^{'}$ for all $X \in O$ .
convergent de

We say that a sequence is convergent, iff it converges against a limit $g$ .
converges de

Let $⟨ M, d ⟩$ be a metric space and $(sequenceon [a] n)$ a sequence with $(a_{i}) \in M$ for all $i \in ℕ$ , then we say that $(sequenceon [a] n)$ converges to $g \in M$ (we call $g$ the limit of $(n_{a})$ and write ${lim}_{n \to \infty} a_{n}$ ), iff for each $ϵ > 0$ there exists a $n_{0} \in ℕ$ , such that $(d) < ϵ$ for all $n \geq n_{0}$ .
converges de

Let $⟨ X, O ⟩$ be a Hausdorff space, then we say that a sequence $(sequenceon [name.cvar.0] n)$ converges to $x \in X$ (we call $x$ the Hausdorff limit and write $x$ ), iff every neighborhood of $x$ only contains finitely many $x_{i}$ .

converse relation Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\convrel {a}$
mathml	1	$a^{- 1}$
mathml	1	$a^{- 1}$

$(fundefeq [R] R^{- 1})$ is the converse relation of $R \subseteq (A \times B)$ .

convex de

A set $S \subseteq (ℝ^{n})$ is called convex, iff $(bsetst [t] (t a) + ((1 - t) b)) \subseteq S$ for all $a, b \in S$ .
convex hull de
convex polytope de
coprime Show Notations
Languages Arguments Rendering
stex/tex 0 $\coprime$
mathml 0 $⊥$
de

Two integers are said to be coprime (also spelled co-prime), relatively prime or mutually prime if their greatest common divisor is $1$ .

cosine integral Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\cosineintint {a}$
stex/tex	0	$\cosineintintOp$
mathml	1	$Cin (a)$
mathml	1	$Cin (a)$
mathml	0	$Cin$

The cosine integral $Cin (x)$ is defined by:

Cin (x)

countable de

We say that a set $A$ is countable, iff there is a surjective function $f : A \to ℕ$ .
countably infinite de

We say that a set $A$ is countably infinite, iff there is a bijective function $f : A \to ℕ$ .
Cousin prime de

Cousin primes are prime numbers that differ from each other by four.
cover de

A cover of a set $X$ is a collection $C$ of sets, such that $X \subseteq (⋃_{a \in A} U_{a})$ . A subset $C^{'} \subseteq C$ is called a subcover of $X$ , iff it still covers $X$ .

cross product Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\crossproduct {a} {b}$
stex/tex	0	$\crossproductOp$
mathml	2	$a \times b$
mathml	2	$a \times b$
mathml	0	$\times$

The cross product of two vectors in $ℝ^{3}$ is their vector product.

cubefree taxicab number de
cubic graph de

A 3-regular graph is called cubic graph.

Cullen number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\cullnumber {a}$
stex/tex	0	$\cullnumberOp$
mathml	1	$C_{a}$
mathml	1	$C_{a}$
mathml	0	$C$

A Cullen number is a number of the form $(C_{n}) = ((n (2^{n})) + 1)$

Cullen numbers of the second kind Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\woodnumber {a}$
mathml	1	$W_{a}$

cycle de
Given a directed graph $G = (⟨ V, E ⟩)$ ,

•
a path $p$ is called cyclic (or a cycle) iff $(start (p)) = (end (p))$ .

•
a cycle $⟨ (v_{0}, \dots, v_{n}) ⟩$ is called simple, iff $v_{i} \neq v_{j}$ for $i, j \leq 1 \leq n$ with $i \neq j$ .

•
$G$ is called acyclic (or a DAG (directed acyclic graph)) iff there is no cycle in $G$ .
cyclic de
Given a directed graph $G = (⟨ V, E ⟩)$ ,

•
a path $p$ is called cyclic (or a cycle) iff $(start (p)) = (end (p))$ .

•
a cycle $⟨ (v_{0}, \dots, v_{n}) ⟩$ is called simple, iff $v_{i} \neq v_{j}$ for $i, j \leq 1 \leq n$ with $i \neq j$ .

•
$G$ is called acyclic (or a DAG (directed acyclic graph)) iff there is no cycle in $G$ .
cyclic number de

A cyclic number is a natural number in which cyclic permutations of the digits are successive multiples of the number.

$(\cdot 142857 1) = 142857$

$(\cdot 142857 2) = 285714$

$(\cdot 142857 3) = 428571$

$(\cdot 142857 4) = 571428$

$(\cdot 142857 5) = 714285$

$(\cdot 142857 6) = 857142$
DAG
Given a directed graph $G = (⟨ V, E ⟩)$ ,

•
a path $p$ is called cyclic (or a cycle) iff $(start (p)) = (end (p))$ .

•
a cycle $⟨ (v_{0}, \dots, v_{n}) ⟩$ is called simple, iff $v_{i} \neq v_{j}$ for $i, j \leq 1 \leq n$ with $i \neq j$ .

•
$G$ is called acyclic (or a DAG (directed acyclic graph)) iff there is no cycle in $G$ .

decadic logarithm Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\logten {a}$
stex/tex	0	$\logtenFN$
mathml	1	${log}_{10} (a)$
mathml	1	${log}_{10} (a)$
mathml	0	$Log$
mathml	0

decimal logarithm Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\logten {a}$
stex/tex	0	$\logtenFN$
mathml	1	${log}_{10} (a)$
mathml	1	${log}_{10} (a)$
mathml	0	$Log$
mathml	0

defined piecewise Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\piecewise {a}$
mathml	0

A function $m$ is defined piecewise, we write

	$(m x) = (defined-piecewise (a_{1} wenn A_{1}) (⋮ wenn ⋮) (a_{n} wenn A_{n}) (o sonst))$
a1	wennA1
⋮	wenn⋮
an	wennAn
o	sonst

where $A_{i}$ are conditions involving $x$ , if $(m x) = a_{i}$ for all $x$ with $A_{i}$ and $o$ otherwise.

definiendum de

If $a$ does not occur in $A$ , we call a pair $a :, = A$ a definitional equation with definiendum $a$ and definiens $A$ .
definiens de

If $a$ does not occur in $A$ , we call a pair $a :, = A$ a definitional equation with definiendum $a$ and definiens $A$ .

definite integral Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	4	$\defint {a} {b} {c} {d}$
mathml	2	$\int_{b}^{a} d d c$
mathml	2	$\int_{b}^{a} d d c$

Given a function $f : ℝ \to ℝ$ and an interval $([a, b]) \subset ℝ$ , then the definite integral $(definite-integral a b [f x] x)$ is defined to be the signed area of the region in the plane bounded by the graph of $f$ , the $x$ -axis, and the vertical lines $x = a$ and $x = b$ , such that area above the $x$ -axis adds to the total, and that below the $x$ -axis subtracts from the total.

definitional equation Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\defeq {a} {b}$
mathml	2	$a :, = b$
mathml	2	$a :, = b$

If $a$ does not occur in $A$ , we call a pair $a :, = A$ a definitional equation with definiendum $a$ and definiens $A$ .

Delannoy number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\delannoynumber {a} {b}$
stex/tex	0	$\delannoynumberOp$
mathml	2	$D (a, b)$
mathml	0	$D$

A Delannoy number $D (m, n)$ describes the number of paths from the southwest corner $⟨ 0, 0 ⟩$ of a rectangular grid to the northeast corner $⟨ m, n ⟩$ , using only single steps north, northeast, or east.

It follows that $(multi-relation-expression D (0, n) equal D (m, 0) equal 1)$ and $(D (m, n)) = ((D ((m - 1), n)) + (D ((m - 1), (n - 1))) + (D (m, (n - 1))))$ for all $(mnotequal m n 0)$

derivative Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\derivativefunction {a}$
mathml	1	$D a$
mathml	1	$\dot{a}$
mathml	1	$a^{'}$
mathml	1	$a^{'}$
mathml	1	$\dot{a}$
mathml	1	$D a$

If $f : M \to N$ is differentiable on $M$ , then the derivative function $(D_{x} f) : M \to N$ of $f$ (with respect to $x$ ) is defined as

(fundefeq [f x a] D_{x} f (a))

The dependency of $D_{x} f$ on $x$ is left implicit in this notation (Lagrange’s notation). In Leibniz’s notation we write the derivative of $f$ with respect to $x$ as $D_{x} f$ and the derivative of $f$ at $a$ as $D_{x} f (a)$ or $D_{x} f (a)$ . In Euler’s notation, this is written as $D_{x} f (a)$ and in Newton’snotation as $D_{x} f (a)$ .

We call $f : M \to N$ differentiable at a limit point $p \in M$ , iff

d :, = ({lim}_{x \to p} (\frac{(d_{B})}{(d_{A})}))

exists; in this case we say that $f$ has derivative $d$ at $p$ . We say that $f$ is differentiable on $M$ , iff it is differentiable at every $m \in M$ .

derivative function de

If $f : M \to N$ is differentiable on $M$ , then the derivative function $(D_{x} f) : M \to N$ of $f$ (with respect to $x$ ) is defined as

$(fundefeq [f x a] D_{x} f (a))$

The dependency of $D_{x} f$ on $x$ is left implicit in this notation (Lagrange’s notation). In Leibniz’s notation we write the derivative of $f$ with respect to $x$ as $D_{x} f$ and the derivative of $f$ at $a$ as $D_{x} f (a)$ or $D_{x} f (a)$ . In Euler’s notation, this is written as $D_{x} f (a)$ and in Newton’snotation as $D_{x} f (a)$ .

differentiable de

If $f : M \to N$ is differentiable on $M$ , then the derivative function $(D_{x} f) : M \to N$ of $f$ (with respect to $x$ ) is defined as

(fundefeq [f x a] D_{x} f (a))

We call $f : M \to N$ differentiable at a limit point $p \in M$ , iff

d :, = ({lim}_{x \to p} (\frac{(d_{B})}{(d_{A})}))

exists; in this case we say that $f$ has derivative $d$ at $p$ . We say that $f$ is differentiable on $M$ , iff it is differentiable at every $m \in M$ .

differentiable on de

If $f : M \to N$ is differentiable on $M$ , then the derivative function $(D_{x} f) : M \to N$ of $f$ (with respect to $x$ ) is defined as

(fundefeq [f x a] D_{x} f (a))

We call $f : M \to N$ differentiable at a limit point $p \in M$ , iff

d :, = ({lim}_{x \to p} (\frac{(d_{B})}{(d_{A})}))

exists; in this case we say that $f$ has derivative $d$ at $p$ . We say that $f$ is differentiable on $M$ , iff it is differentiable at every $m \in M$ .

digit product de

The digit product of a given natural number is the product of all its digits.
digit sum de

The digit sum of a given natural number is the sum of all its digits.
digital root

The number of times the digits must be summed to reach the digital sum is called a number’s additive persistence.
digraph de

A directed graph (also called digraph or oriented graph) is a pair $⟨ V, E ⟩$ such that $V$ is a set and $E \subseteq (V \times V)$ . We call $V$ the vertices (or nodes) and $E$ the edges of $G$ .
Diophantine equation de

A Diophantine equation is a polynomial equation that allows the variables to take integer values only.
directed graph de

A directed graph (also called digraph or oriented graph) is a pair $⟨ V, E ⟩$ such that $V$ is a set and $E \subseteq (V \times V)$ . We call $V$ the vertices (or nodes) and $E$ the edges of $G$ .
directed set

If $lessthan$ is a preorder on a set $D$ , then $⟨ D ⟩$ is called a directed set, iff all $a, b \in D$ have an upper bound $c \in D$ .
disconnected

A non-empty graph $G$ is said to be a connected graph if any two of its vertices are linked by a path in $G$ . If the subgraph $G U$ , induced by a subset $U$ of the vertex set $V G$ , is connected, we call $U$ itself connected (in $G$ ). For the negation we usually prefer ’disconnected’ over ’not connected’.
disjoint de ro tr

Two sets $A$ and $B$ are called disjoint, iff $(A \cap B) =$ .

A family of sets is called pairwise disjoint or mutually disjoint, if any two of them are disjoint.
distance function de
Let $M$ be a set, then we call a function $d : (M \times M) \to ℝ$ a distance function (or metric ) on $M$ , iff for all $x, y, z \in M$ the following three identities hold:

1.

$(d) = 0$ iff $x = y$ (identity of indiscernibles),

2.

$(d) = (d)$ (symmetry), and

3.

$(d) \leq ((d) + (d))$ (triangle inequality).

We call $⟨ M, d ⟩$ a metric space with base set $M$ and metric $d$ .

divisor Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\ringdivisor {a} {b}$
mathml	2	$a \| b$

Let $⟨ R ⟩$ be a ring and $m \neq 0$ , then we say that $m$ is a left divisor of $n$ (or $m$ left divides $n$ ) and that $n$ is a left multiple of $m$ , if there is a $k \in R$ such that $(multiplication) = n$ .

Analogously we say that $m$ is a right divisor of $n$ (or $m$ right divides $n$ ) and that $n$ is a right multiple of $m$ , if there is a $k \in R$ such that $(multiplication) = n$ .

If $R$ is commxutative, then left and right divisors coincide and we simply speak of divisor and multiple and write $m | n$ .

$1$ , $1$ , $n$ , and $n$ are known as the trivial divisors of $n$ . A divisor of $n$ that is not a trivial divisor is known as a proper or non-trivial divisor.

domain Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\domain {a}$
stex/tex	0	$\domainFN$
mathml	1	$𝐝𝐨𝐦 (a)$
mathml	1	$𝐝𝐨𝐦 (a)$
mathml	0	$𝐝𝐨𝐦$

We write $f : X ⇀ Y; x \mapsto y$ and $(f) = y$ instead of $(⟨ x, y ⟩) \in f$ .

double Mersenne number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\doubleMnumber {a}$
mathml	1	$M_{a}$
mathml	1	$M_{a}$

double Mersenne prime de

A double Mersenne prime is a double Mersenne number that is prime.
edge de

A directed graph (also called digraph or oriented graph) is a pair $⟨ V, E ⟩$ such that $V$ is a set and $E \subseteq (V \times V)$ . We call $V$ the vertices (or nodes) and $E$ the edges of $G$ .
edge de

A graph is a pair $⟨ V, E ⟩$ such that $V$ is a set and $E \subseteq (V \times V)$ is a subset of the set of pairs from $V$ . We call $V$ the vertices (or nodes, points,junctions) and $E$ the edges (or lines, branches, arcs) of $G$ .
Egyptian fraction de

eighth smarandache constant Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\smarandacheconsteight$
mathml	0

The eighth smarandache constant is defind for a natural number $k$ by

where $S (n)$ is the smarandache function.

The sum converges.

eleventh smarandache constants

The eleventh smarandache constants $eleventh-smarandache-constant$ are defind by

$s_{11} (α)$

where $S (n)$ is the smarandache function.

The sum converges for all real numbers $α > 1$ .
emirp de

An emirp (prime spelled backwards) is a prime number that results in a different prime when its digits are reversed.

empty product Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\emptyprod$
mathml	0

An empty product, or nullary product, is the result of multiplying no factors. It is equal to the multiplicative identity $1$ .

empty set Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\eset$
mathml	0	$\emptyset$
mathml	0

tr de ro

The empty set (also written as ) is the set without elements.

empty sum Show Notations
Languages Arguments Rendering
stex/tex 0 $\emptysum$
mathml 0
de

An empty sum, or nullary sum, is a summation involving no terms at all. The value of any empty sum of numbers is conventionally taken to be zero.

For example, if $n \leq m$ then

$\sum_{i = m}^{n} a_{i}$
end de
Given a directed graph $G = (⟨ V, E ⟩)$ we call a vector $(p = (⟨ (v_{0}, \dots, v_{n}) ⟩)) \in (V^{(n + 1)})$ a path in $G$ iff $(⟨ v_{i - 1}, v_{i} ⟩) \in E$ for all $1 \leq i \leq n$ , $n > 0$ .

•

$v_{0}$ is called the start of $p$ (write $start (p)$ )

•

$v_{n}$ is called the end of $p$ (write $end (p)$ )

•

$n$ is called the length of $p$ (write $len (p)$ )
end point

For distinct points $A$ and $B$ , we call the set

$(fundefeq [A B] \vec{A B})$

the ray from $A$ through $B$ . We call $A$ the end point of $\vec{A B}$ .

equal Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\eq {a}$
stex/tex	0	$\eqFN$
mathml	1	$a$
mathml	1	$a$
mathml	0	$=$

We call two mathematical objects $a$ and $b$ equal, (written $a = b$ ), iff there are no properties that discern them.

equivalence class Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\eqclass {a} {b}$
mathml	2	${[a]}_{b}$

Let $S$ be a set and $R$ be an equivalence relation on $S$ , then for any we call $x \in S$ we call the set $(fundefeq [x R] {[x]}_{R})$ the equivalence class of $x$ (under $R$ ), and the set $(fundefeq [x R] \frac{S}{_} R)$ the quotient space of $S$ (under $R$ ).

The mapping $(projection R) : S \to (\frac{S}{_} R); x \mapsto ({[x]}_{R})$ is called the projection of $S$ to $\frac{S}{_} R$ .

equivalence relation de

A relation $R \subseteq (A \times A)$ is an equivalence relation on $A$ , iff $R$ is reflexive, symmetric, and transitive.

Erdös-Borwein constant Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\erdoesborweinconst$
mathml	0	$E$

The Erdös-Borwein constant is the sum of the reciprocals of the Mersenne numbers.

E

Euclid number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\euclidnumb {a}$
mathml	1	$E_{a}$

Euler-Mascheroni constant

The Euler-Mascheroni constant (also called Euler’s constant) is a mathematical constant. It is defined as the limiting difference between the harmonic series and the natural logarithm:

γ

γ = 0.5772156649015329 ...

Euler’s constant Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\enumb$
mathml	0	$e$

The number $e$ , sometimes called Euler’s constant (also known as Napier’s constant) is an important mathematical constant.

e

e = 2.718281828459045 ...

Euler’s constant

The Euler-Mascheroni constant (also called Euler’s constant) is a mathematical constant. It is defined as the limiting difference between the harmonic series and the natural logarithm:

γ

γ = 0.5772156649015329 ...

Euler’s notation de

If $f : M \to N$ is differentiable on $M$ , then the derivative function $(D_{x} f) : M \to N$ of $f$ (with respect to $x$ ) is defined as

$(fundefeq [f x a] D_{x} f (a))$

The dependency of $D_{x} f$ on $x$ is left implicit in this notation (Lagrange’s notation). In Leibniz’s notation we write the derivative of $f$ with respect to $x$ as $D_{x} f$ and the derivative of $f$ at $a$ as $D_{x} f (a)$ or $D_{x} f (a)$ . In Euler’s notation, this is written as $D_{x} f (a)$ and in Newton’snotation as $D_{x} f (a)$ .

factorial Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\factorial {a}$
stex/tex	0	$\factorialOp$
mathml	1	$a!$
mathml	1	$a!$
mathml	0	$!$

The factorial of a non-negative integer $n$ , denoted by $n factorial$ , is the product of all positive integers less than or equal to $n$ .

factorion de

A factorion is a natural number that equals the sum of the factorial of its decimal digits.

For example

(multi-relation-expression 145 equal 1 + 24 + 120 equal (1!) + (4!) + (5!))

Farey sequence de

The Farey sequence of order $n$ is the sequence of completely reduced fractions between $0$ and $1$ which, when in lowest terms, have denominators less than or equal to $n$ , arranged in order of increasing size.

Each Farey sequence starts with the value $0$ , denoted by the fraction $\frac{0}{1}$ , and ends with the value $1$ , denoted by the fraction $\frac{1}{1}$ (although some authors omit these terms).

The Farey sequences of orders $1$ to $4$ are:

$(F_{1}) = ({(\frac{0}{1}), (\frac{1}{1})})$

$(F_{2}) = ({(\frac{0}{1}), (\frac{1}{2}), (\frac{1}{1})})$

$(F_{3}) = ({(\frac{0}{1}), (\frac{1}{3}), (\frac{1}{2}), (\frac{2}{3}), (\frac{1}{1})})$

$(F_{4}) = ({(\frac{0}{1}), (\frac{1}{4}), (\frac{1}{3}), (\frac{1}{2}), (\frac{2}{3}), (\frac{3}{4}), (\frac{1}{1})})$

Fermat number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\FNumber {a}$
mathml	1	$F_{a}$
mathml	1	$F_{a}$

A Fermat number is a natural number of the form $(fundefeq [n] F_{n})$ .

Fermat prime Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\Fprime {a}$
mathml	1	$F_{a}$
mathml	1	$F_{a}$

A Fermat prime is a prime number of the form

(F_{n}) = ((2^{(2^{n})}) + 1)

Feynman point de

The Feynman point is a sequence of six 9s that begins at the 762nd decimal place of the decimal representation of $π$ .

Fibonacci numbers Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\fibnum {a}$
mathml	1	$F_{a}$
mathml	1	$F_{a}$

The Fibonacci numbers or Fibonacci series or Fibonacci sequence are the numbers in the following integer sequence:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

The first two numbers in the Fibonacci sequence are $0$ and $1$ , and each subsequent number is the sum of the previous two.

	$(F_{n}) = (defined-piecewise (0 wenn (n = 0)) (1 wenn (n = 1)) (((F_{(n - 1)}) + (F_{(n - 2)})) sonst))$
0	wenn(n=0)
1	wenn(n=1)
((F(n-1))+(F(n-2)))	sonst

Fibonacci polynomials de

The Fibonacci polynomials are defined by the recurrence relation

	$((F_{n} (x)) x) = (defined-piecewise (0 wenn (n = 0)) (1 wenn (n = 1)) (((x (F_{(n - 1)} (x)) x) + ((F_{(n - 2)} (x)) x)) wenn (n \geq 2)))$
0	wenn(n=0)
1	wenn(n=1)
((x⁢(F(n-1)⁢(x))⁢x)+((F(n-2)⁢(x))⁢x))	wenn(n≥2)

The first few Fibonacci polynomials are:

$F_{0} (x)$

$((F_{1} (x)) x) = 1$

$((F_{2} (x)) x) = x$

$((F_{3} (x)) x) = ((x^{2}) + 1)$

$((F_{4} (x)) x) = ((x^{3}) + (2 x))$

$((F_{5} (x)) x) = ((x^{4}) + (3 (x^{2})) + 1)$

Fibonacci sequence Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\fibnum {a}$
mathml	1	$F_{a}$
mathml	1	$F_{a}$

The Fibonacci numbers or Fibonacci series or Fibonacci sequence are the numbers in the following integer sequence:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

The first two numbers in the Fibonacci sequence are $0$ and $1$ , and each subsequent number is the sum of the previous two.

	$(F_{n}) = (defined-piecewise (0 wenn (n = 0)) (1 wenn (n = 1)) (((F_{(n - 1)}) + (F_{(n - 2)})) sonst))$
0	wenn(n=0)
1	wenn(n=1)
((F(n-1))+(F(n-2)))	sonst

Fibonacci series Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\fibnum {a}$
mathml	1	$F_{a}$
mathml	1	$F_{a}$

The Fibonacci numbers or Fibonacci series or Fibonacci sequence are the numbers in the following integer sequence:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

The first two numbers in the Fibonacci sequence are $0$ and $1$ , and each subsequent number is the sum of the previous two.

	$(F_{n}) = (defined-piecewise (0 wenn (n = 0)) (1 wenn (n = 1)) (((F_{(n - 1)}) + (F_{(n - 2)})) sonst))$
0	wenn(n=0)
1	wenn(n=1)
((F(n-1))+(F(n-2)))	sonst

field de

A field is a ring with multiplicative inverses.
fifteenth smarandache constant de

The fifteenth smarandache constant is defind by

where $S (n)$ is the smarandache function.

The sum converges.

fifth smarandache constant Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\smarandacheconstfive$
mathml	0

The fifth smarandache constant is defind by

where $S (n)$ is the smarandache function.

The sum converges.

finite de

We say that a set $A$ is finite and has cardinality (or size) $(# (A)) \in ℕ$ , iff there is a bijective function $f : A \to ({n \in ℕ | (n < (# (A)))})$ .

The cardinality of a set $A$ is also written as $# (A)$ , $# (A)$ , $# (A)$ , or $# (A)$ .
first Chebyshev function de

The first Chebyshev function $ϑ (x)$ or $θ x$ is given by

$ϑ (x)$

with the sum extending over all primes $p$ that are less than or equal to $x$ .

first derivative de

For any $n \in ℕ$ we define the $n$ th derivative of a function $f : M \to N$ as

(fundefeq [n f x a] {\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a})

The first derivative $\frac{d^{1}}{d x^{1}} f$ of $f$ is $D_{x} f$ , $\frac{d^{2}}{d x^{2}} f$ is the second derivative of $f$ , $\frac{d^{3}}{d x^{3}} f$ the third derivative of $f$ , etc. In Leibniz’ notation the $n$ th derivative function of $f$ is denoted by $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ .

We call $f$ $n$ times differentiable at $a \in M$ , iff ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ exists as a limit. Analogously, $f$ is $n$ times differentiable on $M$ , iff $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ exists and is total on $M$ .

$f$ is called infinitely differentiable or smooth at $a \in M$ or on $M$ , iff ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ and $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ exist for all $n \in ℕ$ respectively.

first Skewes number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\skewesnumberriemann$
mathml	0

The second Skewes number is the number above which $(π (n)) \leq (Li (n))$ must fail assuming that the Riemann hypothesis is false.

= (10^{(10^{(10^{1000})})})

first smarandache constant Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\smarandacheconstone$
mathml	0

The first smarandache constant is defind by

where $S (n)$ is the smarandache function.

floor Show Notations

Languages

Arguments

Rendering

stex/tex

\floor {a}

mathml

http://mathhub.info/smglom/numberfields/ceilingfloor.omdoc?ceilingfloor?floora

mathml

[a]

mathml

⌊ a ⌋

mathml

⌊ a ⌋

mathml

[a]

mathml

http://mathhub.info/smglom/numberfields/ceilingfloor.omdoc?ceilingfloor?floora

The floor

http://mathhub.info/smglom/numberfields/ceilingfloor.omdoc?ceilingfloor?floorr of a real number

r

is the largest integer that is smaller or equal to

r

. The floor function is also called the greatest integer function.

Fortunate number de

A Fortunate number, named after Reo Fortune, for a given positive integer $n$ is the smallest integer $m > 1$ such that $((p_{n}) #) + m$ is a prime number, where the primorial $(p_{n}) #$ is the product of the first $n$ prime numbers.

A Fortunate prime is a Fortunate number which is also a prime number.
Fortunate prime

A Fortunate number, named after Reo Fortune, for a given positive integer $n$ is the smallest integer $m > 1$ such that $((p_{n}) #) + m$ is a prime number, where the primorial $(p_{n}) #$ is the product of the first $n$ prime numbers.

A Fortunate prime is a Fortunate number which is also a prime number.
fourteenth smarandache constant

The fourteenth smarandache constant $fourteenth-smarandache-constant$ is defind by

$s_{14} (α)$

where $S (n)$ is the smarandache function.

The sum converges for all real numbers $α > 1$ .

Franel number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\franelnumber {a}$
mathml	1	${Fr}_{a}$
mathml	1	${Fr}_{a}$

The Franel numbers ${Fr}_{n}$ are the numbers

{Fr}_{n}

Franel number de

The Franel numbers ${Fr}_{n}$ are a sequence of integers defind by the recurrence equation

({Fr}_{n}) = (\frac{(((((7 (n^{2})) - (7 n)) + 2) ({Fr}_{(n - 1)})) + (8 ({(n - 1)}^{2}) ({Fr}_{(n - 2)})))}{(n^{2})})

where $({Fr}_{0}) = 1$ and $({Fr}_{1}) = 2$ .

friendly -tuple de

$n$ numbers with the same abundancy form a friendly $n$ -tuple.
function de

If we do not want to specify whether a partial function is total, then we simply speak of a function.

function space Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\funspace {a} {b}$
mathml	2	$a \to b$
mathml	2	$a \to b$

Given sets $A$ and $B$ we will call the set $A \to B$ ( $A ⇀ B$ ) of all (partial) functions from $A$ to $B$ the (partial) function space from $A$ to $B$ .

Gelfond-Schneider constant de

The Gelfond-Schneider constant or Hilbert number is the following real number:

(2^{(\sqrt{2})}) = (2.665144142690225 \dots)

Gelfond’s constant de

Gelfond’s constant is the following real number

(e^{π}) = 23.14069263277927 ...

general harmonic series de

The general harmonic series are series of the form

(infinite-sum 0 [n] \frac{1}{((a n) + b)})

where $a \neq 0$ and $b$ are real numbers.

generalized Cullen number de

A generalized Cullen number is a number of the form

$(\cdot n b^{n}) + 1$

where $(n + 2) > b$ .

If a prime can be written in this form, it is then called a generalized Cullen prime.
generalized Cullen prime de

A generalized Cullen number is a number of the form

$(\cdot n b^{n}) + 1$

where $(n + 2) > b$ .

If a prime can be written in this form, it is then called a generalized Cullen prime.
generalized Woodall number de

geometric mean Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\geomean {a}$
mathml	1	$G_{a}$
mathml	1	$G_{a}$

The geometric mean of a set $M = ({(a_{1}, \dots, a_{n})})$ is given by:

(multi-relation-expression G_{M} equal {(\prod_{i = 1}^{n} a_{i})}^{(\frac{1}{n})} equal \sqrt{(a_{1} a_{2} \dots a_{n})} n)

girth Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\girth {a}$
stex/tex	0	$\girthOp$
mathml	1	$g (a)$
mathml	1	$g (a)$
mathml	0	$g$

For a graph $G$ , the minimum length of a cycle contained in $G$ is the girth $g (G)$ of $G$ . The maximum length of a cycle contained in $G$ is the circumference of $G$ . For a graph which does not contain a cycle the girth is set to $(g (G)) = \infty$ , its circumference is set to zero.

gleichmäïg konvergent

Let $A$ be a set, $⟨ B, d ⟩$ a metric space, and $(sequenceon [f] n)$ a sequence of functions $(f_{i}) : A \to B$ , then we call $(sequenceon [f] n)$ uniformly convergent to $f : A \to B$ on $A^{'} \subseteq A$ , iff for every $ϵ \geq 0$ , there exists a $N \in ℕ$ , such that for all $x \in A^{'}$ and all $n \geq N$ we have $(d) < ϵ$ .

Ist $A$ eine Menge, $⟨ B, d ⟩$ ein metrischer Raum und $(sequenceon [f] n)$ eine Folge von Funktionen $(f_{i}) : A \to B$ , dann nennen wir $(sequenceon [f] n)$ gleichmäïg konvergent gegen $f : A \to B$ auf $A^{'} \subseteq A$ , falls zu jedem $ϵ \geq 0$ ein $N \in ℕ$ existiert, so dass $(d) < ϵ$ für alle $x \in A^{'}$ und alle $n \geq N$ .

good de

A binomial coefficient $𝒞_{k}^{n}$ with $k \geq 2$ is called good if its least prime factor ( $leastprimefactor$ ) satisfies

(leastprimefactor (𝒞_{k}^{n})) > k

good prime de
googol de

A googol is the large number $10^{100}$ .
googolminex de

A googolminex is the reciprocal of the googolplex.

googolplex de

A googolplexplexplex is the number

(g o o g o l p l e x p l e x p l e x) = (10^{(g o o g o l p l e x p l e x)})

A googolplex is the number

(multi-relation-expression g o o g o l p l e x equal 10^{(g o o g o l)} equal 10^{(10^{100})})

A googolplexplex is the number

(g o o g o l p l e x p l e x) = (10^{(g o o g o l p l e x)})

googolplexian de

A googolplexian is the number

(multi-relation-expression g o o g o l p l e x i a n equal g o o g o l p l e x p l e x equal 10^{(g o o g o l p l e x)})

googolplexplex

A googolplexplexplex is the number

(g o o g o l p l e x p l e x p l e x) = (10^{(g o o g o l p l e x p l e x)})

A googolplexplex is the number

(g o o g o l p l e x p l e x) = (10^{(g o o g o l p l e x)})

googolplexplexplex

A googolplexplexplex is the number

(g o o g o l p l e x p l e x p l e x) = (10^{(g o o g o l p l e x p l e x)})

graph de

A graph is a pair $⟨ V, E ⟩$ such that $V$ is a set and $E \subseteq (V \times V)$ is a subset of the set of pairs from $V$ . We call $V$ the vertices (or nodes, points,junctions) and $E$ the edges (or lines, branches, arcs) of $G$ .
graph de

The graph of a function $f$ is the set of all pairs $⟨ x, (f x) ⟩$ .
greatest common divisor de

The greatest common divisor (gcd), also known as the greatest common factor (gcf), or highest common factor (hcf), of two or more integers (at least one of which is not zero), is the largest positive integer that divides the numbers without a remainder.
greatest common factor de

The greatest common divisor (gcd), also known as the greatest common factor (gcf), or highest common factor (hcf), of two or more integers (at least one of which is not zero), is the largest positive integer that divides the numbers without a remainder.

greatest integer function Show Notations

Languages

Arguments

Rendering

stex/tex

\floor {a}

mathml

http://mathhub.info/smglom/numberfields/ceilingfloor.omdoc?ceilingfloor?floora

mathml

[a]

mathml

⌊ a ⌋

mathml

⌊ a ⌋

mathml

[a]

mathml

http://mathhub.info/smglom/numberfields/ceilingfloor.omdoc?ceilingfloor?floora

The floor

http://mathhub.info/smglom/numberfields/ceilingfloor.omdoc?ceilingfloor?floorr of a real number

r

is the largest integer that is smaller or equal to

r

. The floor function is also called the greatest integer function.

greatest lower bound Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\supremum {a}$
stex/tex	0	$\supremumFN$
mathml	1	$sup (a)$
mathml	0	$sup$

Let $⟨ S, pole ⟩$ be an ordered set and $T \subseteq S$ , then we call the smallest upper bound $sup (T)$ (largest lower bound $inf (T)$ ) of $T$ the supremum or least upper bound (infimum or greatest lower bound) of $T$ (if it exists).

If $e$ is an expression and $φ$ a condition (in a variable $x$ ), we write $(bsupremum φ [x] e)$ for $sup ((bsetst [x] e))$ and call it the supremum for $e$ over $φ$ . Analogously, we write $(binfimum φ [x] e)$ for $inf ((bsetst [x] φ))$ and call it the infimum for $e$ over $φ$

Gregory number de
group de

A group is a magma $⟨ G ⟩$ , such that $(\frac{a}{a}) = (\frac{b}{b})$ , $(\frac{a}{(\frac{b}{b})}) = a$ , $(\frac{(\frac{a}{a})}{(\frac{b}{c})}) = (\frac{c}{b})$ , and $(\frac{(\frac{a}{c})}{(\frac{b}{c})}) = (\frac{a}{b})$ for all $a, b, c \in G$ .
happy prime

A happy prime is a number that is both happy and prime.

Hardy-Ramanujan number de

The Hardy-Ramanujan number $1729$ is the smallest number expressible as the sum of two cubes in two different ways.

(multi-relation-expression 1729 equal (1^{3}) + (12^{3}) equal (9^{3}) + (10^{3}))

harmonic divisor number de

A harmonic divisor number, or Ore number, is a positive integer whose divisors have a harmonic mean that is an integer.

harmonic mean Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\harmean {a}$
mathml	1	$H_{a}$

harmonic number

The $n$ -th harmonic number is the sum of the reciprocals of the first $n$ natural numbers:

$H_{n}$
harmonic series de

The harmonic series is the divergent infinite series:

$(infinite-sum 1 [n] \frac{1}{n})$
Harshad number de

A Harshad number or Niven number in a given number base is an integer that is divisible by the sum of its digits when written in that base.

Hausdorff limit Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\HDlimit {a} {b}$
mathml	2	${lim}_{a \to \infty} b$

Let $⟨ X, O ⟩$ be a Hausdorff space, then we say that a sequence $(sequenceon [name.cvar.0] n)$ converges to $x \in X$ (we call $x$ the Hausdorff limit and write $x$ ), iff every neighborhood of $x$ only contains finitely many $x_{i}$ .

Hausdorff space

Let $⟨ X, O ⟩$ be a topological space, then we call $O$ a Hausdorff topology (and $⟨ X, O ⟩$ a Hausdorff space), iff for all $p, q \in X$ with $p \neq q$ , there are disjoint open sets $P, Q \in O$ with $p \in P$ and $q \in Q$ .
Hausdorff topology

Let $⟨ X, O ⟩$ be a topological space, then we call $O$ a Hausdorff topology (and $⟨ X, O ⟩$ a Hausdorff space), iff for all $p, q \in X$ with $p \neq q$ , there are disjoint open sets $P, Q \in O$ with $p \in P$ and $q \in Q$ .

heteromecic number

A pronic number $P_{n}$ , oblong number, rectangular number or heteromecic number, is a number which is the product of two consecutive natural numbers.

(multi-relation-expression P_{n} equal (\cdot n n + 1) equal (n^{2}) + n)

highest common factor de

The greatest common divisor (gcd), also known as the greatest common factor (gcf), or highest common factor (hcf), of two or more integers (at least one of which is not zero), is the largest positive integer that divides the numbers without a remainder.

highly composite number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\highlycompositenumber$
mathml	0	$HCN$

A highly composite number (HCN) is a positive integer with more divisors than any smaller positive integer.

Hilbert number de

The Gelfond-Schneider constant or Hilbert number is the following real number:

(2^{(\sqrt{2})}) = (2.665144142690225 \dots)

Hilbert prime de

A Hilbert prime is a Hilbert number that is not divisible by a smaller Hilbert number (other than $1$ ).
hyperbolic cosine integral de

The hyperbolic cosine integral $Chi (x)$ or $Chi (x)$ is defined by:

$Chi (x)$
hyperbolic sine integral de

The hyperbolic sine integral $Shi (x)$ or $Shi (x)$ is defined by:

$Shi (x)$

identity function Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\Idon {a}$
mathml	1	${Id}_{a}$

For a set $A$ , the identity function $({Id}_{A}) : A \to A$ on $A$ maps any $a \in A$ to itself.

identity of indiscernibles de
Let $M$ be a set, then we call a function $d : (M \times M) \to ℝ$ a distance function (or metric ) on $M$ , iff for all $x, y, z \in M$ the following three identities hold:

1.

$(d) = 0$ iff $x = y$ (identity of indiscernibles),

2.

$(d) = (d)$ (symmetry), and

3.

$(d) \leq ((d) + (d))$ (triangle inequality).

We call $⟨ M, d ⟩$ a metric space with base set $M$ and metric $d$ .
idoneal number

A positive integer $n$ is an idoneal number if and only if it cannot be written as $(a b) + (b c) + (a c)$ for distinct positive integer $a$ , $b$ , and $c$ .

image Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\image {a}$
stex/tex	0	$\imageOp$
mathml	1	$𝐈𝐦 (a)$
mathml	0	$Im$

Let $f : A \to B$ be a function, $A^{'} \subseteq A$ , and $B^{'} \subseteq B$ , then we call

•

$(fundefeq [f name.cvar.2] f (A^{'}))$ the image of $A^{'}$ under $f$ ,
•

$(fundefeq [f] 𝐈𝐦 (f))$ the image of $f$ , and
•

$(fundefeq [f name.cvar.6] f^{- 1} (B^{'}))$ the pre-image of $B^{'}$ under $f$ .

image Show Notations
Languages Arguments Rendering
stex/tex 2 $\Image {a} {b}$
mathml 2 $a (b)$
de
Let $f : A \to B$ be a function, $A^{'} \subseteq A$ , and $B^{'} \subseteq B$ , then we call

•

$(fundefeq [f name.cvar.2] f (A^{'}))$ the image of $A^{'}$ under $f$ ,

•

$(fundefeq [f] 𝐈𝐦 (f))$ the image of $f$ , and

•

$(fundefeq [f name.cvar.6] f^{- 1} (B^{'}))$ the pre-image of $B^{'}$ under $f$ .

imaginary unit Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\imagunit$
mathml	0	$𝑖$

The set $ℂ$ of complex numbers contains numbers of the form $a + (b 𝑖)$ , where $a, b \in ℝ$ . We call $𝑖$ the imaginary unit.

incidence geometry
We call a triple $⟨ P, L, I ⟩$ an incidence structure (or incidence geometry), with points $P$ , lines $L$ , and incidence realation $I \subseteq (P \times L)$ (we say $p \in P$ is on $l$ , if $(⟨ p, l ⟩) \in I$ ), iff

•

There are at least two points in $P$ .

•

For any two points $p, q \in P$ , there is exactly one line $l \in L$ such that $(⟨ p, l ⟩) \in I$ and $(⟨ q, l ⟩) \in I$ .

•

For every line $l \in L$ there are at least two points on $l$ .

•

For every line $l \in L$ there is at least one point $p$ with $p \notin l$ .
incidence realation
We call a triple $⟨ P, L, I ⟩$ an incidence structure (or incidence geometry), with points $P$ , lines $L$ , and incidence realation $I \subseteq (P \times L)$ (we say $p \in P$ is on $l$ , if $(⟨ p, l ⟩) \in I$ ), iff

•

There are at least two points in $P$ .

•

For any two points $p, q \in P$ , there is exactly one line $l \in L$ such that $(⟨ p, l ⟩) \in I$ and $(⟨ q, l ⟩) \in I$ .

•

For every line $l \in L$ there are at least two points on $l$ .

•

For every line $l \in L$ there is at least one point $p$ with $p \notin l$ .
incidence structure
We call a triple $⟨ P, L, I ⟩$ an incidence structure (or incidence geometry), with points $P$ , lines $L$ , and incidence realation $I \subseteq (P \times L)$ (we say $p \in P$ is on $l$ , if $(⟨ p, l ⟩) \in I$ ), iff

•

There are at least two points in $P$ .

•

For any two points $p, q \in P$ , there is exactly one line $l \in L$ such that $(⟨ p, l ⟩) \in I$ and $(⟨ q, l ⟩) \in I$ .

•

For every line $l \in L$ there are at least two points on $l$ .

•

For every line $l \in L$ there is at least one point $p$ with $p \notin l$ .
indegree
Let $G = (⟨ V, E ⟩)$ be a directed graph and $v \in V$ a vertex in $G$ , then we define

•
indegree $indeg (v)$ of $v$ as $# ((bsetst [w] w))$

•
outdegree $outdeg (v)$ of $v$ as $# ((bsetst [w] w))$

index of multiplication de

We define the product over a sequence $a_{i}$ by

	$(\prod_{i = n}^{m} a_{i}) :, = (defined-piecewise (1 wenn (n = m)) ((a_{n}) sonst))$
1	wenn(n=m)
(an)	sonst

The variable $i$ is called the index of multiplication and $n$ and $m$ the lower and upper bounds of the product respectively, together the specify the range of multiplication.

There are variant product operators $\prod_{φ} a_{i}$ and $\prod_{i \in S} a_{i}$ . The first one specifies the range of the product via a formula $φ$ in $i$ and the second one directly by giving a set $S$ .

index of summation de

Summation is iterated addition, we define the sum over a sequnce $a_{i}$ by

	$(\sum_{i = n}^{m} a_{i}) :, = (defined-piecewise (0 wenn (n = m)) ((a_{n}) sonst))$
0	wenn(n=m)
(an)	sonst

The variable $i$ is called the index of summation and $n$ and $m$ the lower and upper bound of the sum respectively, together the specify the range of summation.

There are variant summation operators $(SumColl φ [i] a_{i})$ and $\sum_{i \in S} a_{i}$ . The first one specifies the range of the summation via a formula $φ$ in $i$ and the second one directly by giving a set $S$ .

induced cycle

If in a graph $G$ which contains a cycle $C$ , an edge of $G$ joins two vertices of $C$ but is not itself an edge of the cycle, then this edge is a chord of the cycle $C$ . Thus a cycle is chordless iff it is an induced cycle in $G$ .

inferior limit Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\liminferior {a} {b}$
mathml	2	$\underline{{lim}_{a \to \infty}} b$
mathml	2	${lim inf}_{a \to \infty} b$
mathml	2	$lim {inf}_{a \to \infty} b$
mathml	2	$\underline{{lim}_{a \to \infty}} b$

Ist $⟨ M, d ⟩$ ein metrischer Raum und $(sequenceon [a] n)$ eine Folge mit $(a_{i}) \in M$ für $i \in ℕ$ , so ist der

•

Limes superior $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (schreibe auch $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) definiert durch

(fundefeq [a] \bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

•

Limes inferior $\underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (schreibe auch $\underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) definiert durch

(fundefeq [a] \underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

Let $⟨ M, d ⟩$ be a metric space and $(sequenceon [a] n)$ a sequence with $(a_{i}) \in M$ for all $i \in ℕ$ , then the

•

limit superior (also called supremum limit, superior limit, upper limit, or outer limit) $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (also written as $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) is defined as

(fundefeq [a] \bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

•

limit inferior (also called infimum limit, inferior limit, lower limit, or inner limit) $\underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (also written as $\underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) is defined as

(fundefeq [a] \underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

infimum Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\infimum {a}$
stex/tex	0	$\infimumFN$
mathml	1	$inf (a)$
mathml	0	$inf$

infimum limit Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\liminferior {a} {b}$
mathml	2	$\underline{{lim}_{a \to \infty}} b$
mathml	2	${lim inf}_{a \to \infty} b$
mathml	2	$lim {inf}_{a \to \infty} b$
mathml	2	$\underline{{lim}_{a \to \infty}} b$

Ist $⟨ M, d ⟩$ ein metrischer Raum und $(sequenceon [a] n)$ eine Folge mit $(a_{i}) \in M$ für $i \in ℕ$ , so ist der

•

Limes superior $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (schreibe auch $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) definiert durch

(fundefeq [a] \bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

•

Limes inferior $\underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (schreibe auch $\underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) definiert durch

(fundefeq [a] \underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

Let $⟨ M, d ⟩$ be a metric space and $(sequenceon [a] n)$ a sequence with $(a_{i}) \in M$ for all $i \in ℕ$ , then the

•

limit superior (also called supremum limit, superior limit, upper limit, or outer limit) $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (also written as $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) is defined as

(fundefeq [a] \bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

•

(fundefeq [a] \underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

infinite de

A set that is not finite is called infinite.

infinite sum Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	4	$\infinitesumwith {a} {b} {c} {d}$
stex/tex	3	$\infinitesum {a} {b} {c}$
mathml	2	$\sum_{b = a}^{\infty} c$
mathml	3	$\sum_{[[} b = a c {]]}^{\infty} d$
b=a
c

Let $(sequenceon [a] n)$ be a sequence with $(a_{n}) \in ℝ$ or $(a_{n}) \in ℂ$ . the (formal) infinite sum $(infinite-sum 1 [n] a_{n})$ is defined as the limit ${lim}_{n \to \infty} (s_{n})$ of the sequence of partial sums, if it exists.

infinitely differentiable de

We call $f$ $n$ times differentiable at $a \in M$ , iff ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ exists as a limit. Analogously, $f$ is $n$ times differentiable on $M$ , iff $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ exists and is total on $M$ .

$f$ is called infinitely differentiable or smooth at $a \in M$ or on $M$ , iff ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ and $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ exist for all $n \in ℕ$ respectively.
Infinity Show Notations
Languages Arguments Rendering
stex/tex 0 $\infinity$
mathml 0 $\infty$
de

Infinity (written $\infty$ ) is an abstract concept describing something without any limit. In mathematics is is usually treated like a number.
injective de

A function $f : S \to T$ is called injective iff $(f) = (f)$ entails $x = y$ for all $x, y \in S$ .

inner limit Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\liminferior {a} {b}$
mathml	2	$\underline{{lim}_{a \to \infty}} b$
mathml	2	${lim inf}_{a \to \infty} b$
mathml	2	$lim {inf}_{a \to \infty} b$
mathml	2	$\underline{{lim}_{a \to \infty}} b$

Ist $⟨ M, d ⟩$ ein metrischer Raum und $(sequenceon [a] n)$ eine Folge mit $(a_{i}) \in M$ für $i \in ℕ$ , so ist der

•

Limes superior $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (schreibe auch $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) definiert durch

(fundefeq [a] \bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

•

Limes inferior $\underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (schreibe auch $\underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) definiert durch

(fundefeq [a] \underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

Let $⟨ M, d ⟩$ be a metric space and $(sequenceon [a] n)$ a sequence with $(a_{i}) \in M$ for all $i \in ℕ$ , then the

•

limit superior (also called supremum limit, superior limit, upper limit, or outer limit) $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (also written as $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) is defined as

(fundefeq [a] \bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

•

(fundefeq [a] \underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

integer de

The set $ℤ$ of integer numbers (or integers)is the set ${(\dots, (- (2)), (- (1)), 0, 1, 2, \dots)}$ . Any member of $ℤ$ is called an integer.

The set negative integers of is the set ${(\dots, (- (3)), (- (2)), (- (1)))}$ .
integer division

The integer division operator computes the integer quotient (or modulus) $n div m$ of two natural numbers. $n div m$ is defined as that $q \in ℕ$ , such that $n = ((m q) + r)$ for some $0 \leq r < m$ . The number $r$ is called the remainder and is written as $n mod m$ .

integer interval Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\integerinterval {a} {b}$
mathml	2	$[a, b]$
mathml	2	$[a, b]$

We define the integer interval as a subset of consecutive integers: $(fundefeq [a b] [a, b])$

integer number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\IntegerNumbers$
mathml	0	$ℤ$

The set $ℤ$ of integer numbers (or integers)is the set ${(\dots, (- (2)), (- (1)), 0, 1, 2, \dots)}$ . Any member of $ℤ$ is called an integer.

The set negative integers of is the set ${(\dots, (- (3)), (- (2)), (- (1)))}$ .

integer quotient

The integer division operator computes the integer quotient (or modulus) $n div m$ of two natural numbers. $n div m$ is defined as that $q \in ℕ$ , such that $n = ((m q) + r)$ for some $0 \leq r < m$ . The number $r$ is called the remainder and is written as $n mod m$ .

integers Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\IntegerNumbers$
mathml	0	$ℤ$

The set $ℤ$ of integer numbers (or integers)is the set ${(\dots, (- (2)), (- (1)), 0, 1, 2, \dots)}$ . Any member of $ℤ$ is called an integer.

The set negative integers of is the set ${(\dots, (- (3)), (- (2)), (- (1)))}$ .

interprime de

An interprime is the arithmetic mean of two consecutive odd primes.

intersection Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	3	$\mintersectCollection {a} {b} {c}$
mathml	2	$⋂_{b \in a} c$
mathml	2	$⋂_{b \in a} c$

tr de ro

Let $I$ be a set and $S_{i}$ a family of sets indexed by $I$ , then the intersection $⋂_{i \in I} S_{i}$ over $I$ is $(bsetst [x] x)$ .

intersection Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\intersect {a}$
stex/tex	0	$\intersectOp$
mathml	1	$a$
mathml	1	$a$
mathml	0	$\cap$

tr de ro

Let $A$ and $B$ be sets, then the intersection $A \cap B$ of $A$ and $B$ is $(bsetst [x] x)$ .

inverse function Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\invfun {a}$
mathml	1	$a^{- 1}$

If $f : A \to B$ is injective, then the converse relation is a partial function $(f^{- 1}) : B ⇀ A$ , we call it the inverse function of $f$ . If $f$ is bijective total, then $f^{- 1}$ is a total function.

irrational number de
irreflexive de
A relation $R \subseteq (A \times A)$ is called

•

reflexive on $A$ , iff $(⟨ a, a ⟩) \in R$ for all $a \in A$ , and

•

irreflexive (or anti-reflexive) on $A$ , iff $(⟨ a, a ⟩) \notin R$ for all $a \in A$ .

Jacobi-Madden equation

The Jacobi-Madden equation is the Diophantine equation

((a^{4}) + (b^{4}) + (c^{4}) + (d^{4})) = ({(a + b + c + d)}^{4})

Jacobsthal numbers de

The Jacobsthal numbers are defined by the recurrence relation

$J_{0}$	$equal$	$0$
$J_{1}$	$equal$	$1$
$J_{n}$	$equal$	$(J_{(n - 1)}) + (2 (J_{(n - 2)}))$

The definition in closed form:

(J_{n}) = (\frac{((2^{n}) - ({(1)}^{n}))}{3})

Jacobsthal-Lucas numbers

The Jacobsthal-Lucas numbers are defined by the recurrence relation

	$(L_{n}) = (defined-piecewise (2 wenn (n = 0)) (1 wenn (n = 1)) (((L_{(n - 1)}) + (2 (L_{(n - 2)}))) sonst))$
2	wenn(n=0)
1	wenn(n=1)
((L(n-1))+(2⁢(L(n-2))))	sonst

The definition in closed form: $(L_{n}) = ((2^{n}) + ({(1)}^{n}))$

junction de

A graph is a pair $⟨ V, E ⟩$ such that $V$ is a set and $E \subseteq (V \times V)$ is a subset of the set of pairs from $V$ . We call $V$ the vertices (or nodes, points,junctions) and $E$ the edges (or lines, branches, arcs) of $G$ .

Kempner series

The Kempner series $K_{m}$ are subharmonic series formed by omitting all terms from the harmonic series whose denominator expressed in base $10$ contains a $m$ digit (or a digit-sequence like $m$ ):

K_{m}

For example

(K_{9}) = (1 + (\frac{1}{2}) + (\frac{1}{3}) + (\frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{7}) + (\frac{1}{8}) + (\frac{1}{10}) + \dots + (\frac{1}{17}) + (\frac{1}{18}) + (\frac{1}{20}) + \dots + (\frac{1}{87}) + (\frac{1}{88}) + (\frac{1}{100}) + ((\frac{1}{101}) \dots))

$(K_{9}) = 22.92067 ...$

$(K_{314159}) = 2302582.3338637827 ...$

Knoedel number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\knoednumber {a}$
mathml	1	$K_{a}$

A Knoedel number for a given positive integer $n$ is a composite number $m$ with the property that each $i \leq m$ coprime to $m$ satisfies $((i^{(m - n)}) mod 1) m$ . The set of all Knoedel numbers for $n$ is denoted by $K_{n}$ .

Kronecker delta

The Kronecker delta is a function of two integers. The function is $1$ if the variables are equal, and $0$ otherwise:

	$(δ_{i j}) = (defined-piecewise (0 wenn (i \neq j)) (1 wenn (i = j)))$
0	wenn(i≠j)
1	wenn(i=j)

Kynea number de

A Kynea number is an integer of the form

(((4^{n}) + (2^{(n + 1)})) - 1) = (({((2^{n}) + 1)}^{2}) - 2)

for a positive integer $n$ .

Lagrange’s notation de

If $f : M \to N$ is differentiable on $M$ , then the derivative function $(D_{x} f) : M \to N$ of $f$ (with respect to $x$ ) is defined as

$(fundefeq [f x a] D_{x} f (a))$

The dependency of $D_{x} f$ on $x$ is left implicit in this notation (Lagrange’s notation). In Leibniz’s notation we write the derivative of $f$ with respect to $x$ as $D_{x} f$ and the derivative of $f$ at $a$ as $D_{x} f (a)$ or $D_{x} f (a)$ . In Euler’s notation, this is written as $D_{x} f (a)$ and in Newton’snotation as $D_{x} f (a)$ .

lazy caterer’s sequence de

The central polygonal numbers or lazy caterer’s sequence describes the maximum number $p$ of pieces of a circle (or a plane) that can be made with a given number $n$ of straight cuts.

(multi-relation-expression p equal (𝒞_{2}^{n}) + (𝒞_{1}^{n}) + (𝒞_{0}^{n}) equal \frac{((n^{2}) + n + 2)}{2})

leaf
A tree is a directed acyclic graph $G = (⟨ V, E ⟩)$ such that

•
there is exactly one initialnode $v_{r} \in V$ (called the root), and

•
all nodes but the root have indegree 1.

We call $v$ the parent of $w$ , iff $(⟨ v, w ⟩) \in E$ ( $w$ is a child of $v$ ). We call a node $v$ a leaf of $G$ , iff it is terminal, i.e. if it does not have children.

least common multiple Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\leastcommonmultipleOp$
mathml	0	$kgV$
mathml	0	$lcm$

The least common multiple (lcm) (also called the lowest common multiple or smallest common multiple) of two or more integers is the smallest positive integer that is divisible by all given integers.

least integer function Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\ceiling {a}$
mathml	1	$]] a [[$
mathml	1	$] a [$
mathml	1	$⌈ a ⌉$
mathml	1	$⌈ a ⌉$
mathml	1	$] a [$
mathml	1	$]] a [[$

The floor

http://mathhub.info/smglom/numberfields/ceilingfloor.omdoc?ceilingfloor?floorr of a real number

r

is the largest integer that is smaller or equal to

r

. The floor function is also called the greatest integer function.

The ceiling $]] r [[$ of a real number $r$ is the smallest integer that is greater or equal to $r$ . The ceiling function is also called the least integer function.

least prime factor

A prime factor of a natural number $n$ is a least prime factor $lpf (n)$ if all prime factors of $n$ are equal or greater than it.

least upper bound Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\supremum {a}$
stex/tex	0	$\supremumFN$
mathml	1	$sup (a)$
mathml	0	$sup$

Lebesgue identity de

For all numbers $m$ , $n$ , $p$ and $q$ the Lebesgue identity is given by

({((m^{2}) + (n^{2}) + (p^{2}) + (q^{2}))}^{2}) = (({((2 m q) + (2 n p))}^{2}) + ({((2 n q) - (2 m p))}^{2}) + ({(((m^{2}) + (n^{2})) - (p^{2}) - (q^{2}))}^{2}))

left coset Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\leftcos {a} {b}$
mathml	2	$a b$
mathml	2	$a b$

Given an element $g$ of the group $⟨ G ⟩$ and one of its subgroups $H$ , we define the left coset (respectively the right coset) of $H$ with $g$ as $(fundefeq [g H] g H)$ (respectively $(fundefeq [g H] H g)$ ).

left divides de

Let $⟨ R ⟩$ be a ring and $m \neq 0$ , then we say that $m$ is a left divisor of $n$ (or $m$ left divides $n$ ) and that $n$ is a left multiple of $m$ , if there is a $k \in R$ such that $(multiplication) = n$ .

Analogously we say that $m$ is a right divisor of $n$ (or $m$ right divides $n$ ) and that $n$ is a right multiple of $m$ , if there is a $k \in R$ such that $(multiplication) = n$ .

If $R$ is commxutative, then left and right divisors coincide and we simply speak of divisor and multiple and write $m | n$ .

$1$ , $1$ , $n$ , and $n$ are known as the trivial divisors of $n$ . A divisor of $n$ that is not a trivial divisor is known as a proper or non-trivial divisor.
left divisor de

Let $⟨ R ⟩$ be a ring and $m \neq 0$ , then we say that $m$ is a left divisor of $n$ (or $m$ left divides $n$ ) and that $n$ is a left multiple of $m$ , if there is a $k \in R$ such that $(multiplication) = n$ .

Analogously we say that $m$ is a right divisor of $n$ (or $m$ right divides $n$ ) and that $n$ is a right multiple of $m$ , if there is a $k \in R$ such that $(multiplication) = n$ .

If $R$ is commxutative, then left and right divisors coincide and we simply speak of divisor and multiple and write $m | n$ .

$1$ , $1$ , $n$ , and $n$ are known as the trivial divisors of $n$ . A divisor of $n$ that is not a trivial divisor is known as a proper or non-trivial divisor.
left multiple de

Let $⟨ R ⟩$ be a ring and $m \neq 0$ , then we say that $m$ is a left divisor of $n$ (or $m$ left divides $n$ ) and that $n$ is a left multiple of $m$ , if there is a $k \in R$ such that $(multiplication) = n$ .

Analogously we say that $m$ is a right divisor of $n$ (or $m$ right divides $n$ ) and that $n$ is a right multiple of $m$ , if there is a $k \in R$ such that $(multiplication) = n$ .

If $R$ is commxutative, then left and right divisors coincide and we simply speak of divisor and multiple and write $m | n$ .

$1$ , $1$ , $n$ , and $n$ are known as the trivial divisors of $n$ . A divisor of $n$ that is not a trivial divisor is known as a proper or non-trivial divisor.
left-truncatable prime de

A left-truncatable prime is a prime number which, in a given base, contains no $0$ , and if the leading (“left”) digit is successively removed, then all resulting numbers are prime.

For example: $937$

A two-sided prime is both left-truncatable and right-truncatable.

For example: $3137$

A right-truncatable prime is a prime number which remains prime when the last (“right”) digit is successively removed.

For example: $3793$

leftsided limit Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	3	$\leftlimfun {a} {b} {c}$
mathml	2	${lim}_{b ↘ a} c$
mathml	2	${lim}_{b ↓ a} c$
mathml	2	${lim}_{b \to a^{-}} c$
mathml	2	${lim}_{b \to a^{-}} c$
mathml	2	${lim}_{b ↓ a} c$
mathml	2	${lim}_{b ↘ a} c$

Let $f : S \to T$ with $S, T \subseteq ℝ$ and $a \in ℝ$ .

Then the leftsided limit of $f$ at $a$ (also: the limit of $f$ as $x$ approaches $a$ from below) is defined to be the $l \in ℝ$ , sucht that for every $ϵ > 0$ there is a $δ > 0$ such that $(| (((f)) l) |) \leq ϵ$ whenever $(multi-relation-expression 0 lethan (a) x lethan δ)$ . The leftsided limit is written as ${lim}_{x ↘ a} (f)$ , ${lim}_{x ↘ a} (f)$ , or ${lim}_{x ↘ a} (f)$ .

Analogously, the rightsided limit at $a$ (also: the limit of $f$ as $x$ approaches $a$ from above) is the $l \in ℝ$ , such that for every $ϵ > 0$ there is a $δ > 0$ such that $(| (((f)) l) |) \leq ϵ$ whenever $(multi-relation-expression 0 lethan (x) a lethan δ)$ . The rightsided limit is written as ${lim}_{x ↗ a} (f)$ , ${lim}_{x ↗ a} (f)$ , or ${lim}_{x ↗ a} (f)$ .

Leibniz’s notation de

If $f : M \to N$ is differentiable on $M$ , then the derivative function $(D_{x} f) : M \to N$ of $f$ (with respect to $x$ ) is defined as

$(fundefeq [f x a] D_{x} f (a))$

The dependency of $D_{x} f$ on $x$ is left implicit in this notation (Lagrange’s notation). In Leibniz’s notation we write the derivative of $f$ with respect to $x$ as $D_{x} f$ and the derivative of $f$ at $a$ as $D_{x} f (a)$ or $D_{x} f (a)$ . In Euler’s notation, this is written as $D_{x} f (a)$ and in Newton’snotation as $D_{x} f (a)$ .
length de
Given a directed graph $G = (⟨ V, E ⟩)$ we call a vector $(p = (⟨ (v_{0}, \dots, v_{n}) ⟩)) \in (V^{(n + 1)})$ a path in $G$ iff $(⟨ v_{i - 1}, v_{i} ⟩) \in E$ for all $1 \leq i \leq n$ , $n > 0$ .

•

$v_{0}$ is called the start of $p$ (write $start (p)$ )

•

$v_{n}$ is called the end of $p$ (write $end (p)$ )

•

$n$ is called the length of $p$ (write $len (p)$ )

Leyland number de

A Leyland number is a number of the form

(x^{y}) + (y^{x})

where $x$ and $y$ are integers greater than $1$ .

The first Leyland numbers are $8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368, 512, ...$

Limes inferior Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\liminferior {a} {b}$
mathml	2	$\underline{{lim}_{a \to \infty}} b$
mathml	2	${lim inf}_{a \to \infty} b$
mathml	2	$lim {inf}_{a \to \infty} b$
mathml	2	$\underline{{lim}_{a \to \infty}} b$

Ist $⟨ M, d ⟩$ ein metrischer Raum und $(sequenceon [a] n)$ eine Folge mit $(a_{i}) \in M$ für $i \in ℕ$ , so ist der

•

Limes superior $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (schreibe auch $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) definiert durch

(fundefeq [a] \bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

•

Limes inferior $\underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (schreibe auch $\underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) definiert durch

(fundefeq [a] \underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

Let $⟨ M, d ⟩$ be a metric space and $(sequenceon [a] n)$ a sequence with $(a_{i}) \in M$ for all $i \in ℕ$ , then the

•

limit superior (also called supremum limit, superior limit, upper limit, or outer limit) $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (also written as $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) is defined as

(fundefeq [a] \bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

•

(fundefeq [a] \underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

Limes superior Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\limsuperior {a} {b}$
mathml	2	$\bar{{lim}_{a \to \infty}} b$
mathml	2	${lim sup}_{a \to \infty} b$
mathml	2	$lim {sup}_{a \to \infty} b$
mathml	2	$\bar{{lim}_{a \to \infty}} b$

Ist $⟨ M, d ⟩$ ein metrischer Raum und $(sequenceon [a] n)$ eine Folge mit $(a_{i}) \in M$ für $i \in ℕ$ , so ist der

•

Limes superior $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (schreibe auch $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) definiert durch

(fundefeq [a] \bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

•

Limes inferior $\underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (schreibe auch $\underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) definiert durch

(fundefeq [a] \underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

Let $⟨ M, d ⟩$ be a metric space and $(sequenceon [a] n)$ a sequence with $(a_{i}) \in M$ for all $i \in ℕ$ , then the

•

limit superior (also called supremum limit, superior limit, upper limit, or outer limit) $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (also written as $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) is defined as

(fundefeq [a] \bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

•

(fundefeq [a] \underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

limit Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	3	$\limfun {a} {b} {c}$
mathml	2	${lim}_{b \to a} c$
mathml	2	${lim}_{b \to a} c$

Let $⟨ A, d_{A} ⟩$ and $⟨ B, d_{B} ⟩$ be metric spaces with $M \subseteq A$ and $N \subseteq B$ and $f : M \to N$ , then we say that $l \in M$ is the limit of $f$ as $x$ approaches a limit point $p \in N$ (written ${lim}_{x \to p} (f)$ ), iff for every $ϵ > 0$ , there exists a $δ > 0$ such that $(d_{A}) \leq ϵ$ whenever $(multi-relation-expression 0 lethan (d_{B}) lethan δ)$ .

limit inferior Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\liminferior {a} {b}$
mathml	2	$\underline{{lim}_{a \to \infty}} b$
mathml	2	${lim inf}_{a \to \infty} b$
mathml	2	$lim {inf}_{a \to \infty} b$
mathml	2	$\underline{{lim}_{a \to \infty}} b$

Ist $⟨ M, d ⟩$ ein metrischer Raum und $(sequenceon [a] n)$ eine Folge mit $(a_{i}) \in M$ für $i \in ℕ$ , so ist der

•

Limes superior $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (schreibe auch $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) definiert durch

(fundefeq [a] \bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

•

Limes inferior $\underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (schreibe auch $\underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) definiert durch

(fundefeq [a] \underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

Let $⟨ M, d ⟩$ be a metric space and $(sequenceon [a] n)$ a sequence with $(a_{i}) \in M$ for all $i \in ℕ$ , then the

•

limit superior (also called supremum limit, superior limit, upper limit, or outer limit) $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (also written as $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) is defined as

(fundefeq [a] \bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

•

(fundefeq [a] \underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

limit point de

Let $S$ be a subset of a topological space $X$ . A point $x \in X$ is a limit point of $S$ if every neighborhood of $x$ contains at least one $s \in S$ with $x \neq s$ .

limit superior Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\limsuperior {a} {b}$
mathml	2	$\bar{{lim}_{a \to \infty}} b$
mathml	2	${lim sup}_{a \to \infty} b$
mathml	2	$lim {sup}_{a \to \infty} b$
mathml	2	$\bar{{lim}_{a \to \infty}} b$

Ist $⟨ M, d ⟩$ ein metrischer Raum und $(sequenceon [a] n)$ eine Folge mit $(a_{i}) \in M$ für $i \in ℕ$ , so ist der

•

Limes superior $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (schreibe auch $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) definiert durch

(fundefeq [a] \bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

•

Limes inferior $\underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (schreibe auch $\underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) definiert durch

(fundefeq [a] \underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

Let $⟨ M, d ⟩$ be a metric space and $(sequenceon [a] n)$ a sequence with $(a_{i}) \in M$ for all $i \in ℕ$ , then the

•

limit superior (also called supremum limit, superior limit, upper limit, or outer limit) $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (also written as $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) is defined as

(fundefeq [a] \bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

•

(fundefeq [a] \underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

line de

A graph is a pair $⟨ V, E ⟩$ such that $V$ is a set and $E \subseteq (V \times V)$ is a subset of the set of pairs from $V$ . We call $V$ the vertices (or nodes, points,junctions) and $E$ the edges (or lines, branches, arcs) of $G$ .
line
We call a triple $⟨ P, L, I ⟩$ an incidence structure (or incidence geometry), with points $P$ , lines $L$ , and incidence realation $I \subseteq (P \times L)$ (we say $p \in P$ is on $l$ , if $(⟨ p, l ⟩) \in I$ ), iff

•

There are at least two points in $P$ .

•

For any two points $p, q \in P$ , there is exactly one line $l \in L$ such that $(⟨ p, l ⟩) \in I$ and $(⟨ q, l ⟩) \in I$ .

•

For every line $l \in L$ there are at least two points on $l$ .

•

For every line $l \in L$ there is at least one point $p$ with $p \notin l$ .

line graph Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\linegraph {a}$
mathml	1	$L (a)$
mathml	1	$L (a)$

For a graph $G = (⟨ V, E ⟩)$ we call the graph $L (G)$ on $E$ , which has as its vertices the edges of $G$ and in which $x, y \in E$ are adjacent as vertices in $L G$ if and only if they are adjacent as edges in $G$ , the line graph of $G$ .

linear combination

Let $V$ be a vectorspace over a field $F$ and $({(v_{1}, \dots, v_{n})}) \subseteq V$ , then we call any sum of scalar multiples of the $v_{i}$ a linear combination of these.
linear order de

We call a partial ordering $R$ a total ordering (or simple order or linear order), iff $a \leq b$ or $b \leq a$ for all $a, b \in A$ .

We call a structure $⟨ S, pole ⟩$ of a set $S$ and a total ordering $pole$ an totally ordered set.
linearly dependent

Let $V$ be a vectorspace, then we call a set $L \subseteq V$ linearly independent (else linearly dependent), iff no $v \in L$ is a linear combination of finitely many vectors in $L$ .
linearly independent

Let $V$ be a vectorspace, then we call a set $L \subseteq V$ linearly independent (else linearly dependent), iff no $v \in L$ is a linear combination of finitely many vectors in $L$ .

Liouville constant de

The Liouville constant is a Liouville number defind by

(infinite-sum 1 [j] 10^{((j!))})

Liouville number de

Lobb number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\lobbnumber {a} {b}$
mathml	2	$L_{a, b}$

The Lobb number $L_{m, n}$ counts the number of ways that $n + m$ open parentheses and $n - m$ close parentheses can be arranged to form the start of a valid sequence of balanced parentheses.

(L_{m, n}) = ((\frac{((2 m) + 1)}{(m + n + 1)}) (𝒞_{(m + n)}^{(2 n)}))

where $m$ and $n$ are two integers with $(multi-relation-expression n methan m methan 0)$ .

logarithmic integral de

lower de

We define the product over a sequence $a_{i}$ by

	$(\prod_{i = n}^{m} a_{i}) :, = (defined-piecewise (1 wenn (n = m)) ((a_{n}) sonst))$
1	wenn(n=m)
(an)	sonst

The variable $i$ is called the index of multiplication and $n$ and $m$ the lower and upper bounds of the product respectively, together the specify the range of multiplication.

lower de

Summation is iterated addition, we define the sum over a sequnce $a_{i}$ by

	$(\sum_{i = n}^{m} a_{i}) :, = (defined-piecewise (0 wenn (n = m)) ((a_{n}) sonst))$
0	wenn(n=m)
(an)	sonst

The variable $i$ is called the index of summation and $n$ and $m$ the lower and upper bound of the sum respectively, together the specify the range of summation.

lower bound

Let $⟨ S ⟩$ be a proset and $T \subseteq S$ , then we call $b \in S$ an upper bound of $T$ , iff $(lessthan)$ for all $t \in T$ and an lower bound, iff $(lessthan)$ for all $t \in T$ .

lower limit Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\liminferior {a} {b}$
mathml	2	$\underline{{lim}_{a \to \infty}} b$
mathml	2	${lim inf}_{a \to \infty} b$
mathml	2	$lim {inf}_{a \to \infty} b$
mathml	2	$\underline{{lim}_{a \to \infty}} b$

Ist $⟨ M, d ⟩$ ein metrischer Raum und $(sequenceon [a] n)$ eine Folge mit $(a_{i}) \in M$ für $i \in ℕ$ , so ist der

•

Limes superior $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (schreibe auch $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) definiert durch

(fundefeq [a] \bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

•

Limes inferior $\underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (schreibe auch $\underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) definiert durch

(fundefeq [a] \underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

Let $⟨ M, d ⟩$ be a metric space and $(sequenceon [a] n)$ a sequence with $(a_{i}) \in M$ for all $i \in ℕ$ , then the

•

limit superior (also called supremum limit, superior limit, upper limit, or outer limit) $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (also written as $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) is defined as

(fundefeq [a] \bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

•

(fundefeq [a] \underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

lowest common multiple Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\leastcommonmultipleOp$
mathml	0	$kgV$
mathml	0	$lcm$

The least common multiple (lcm) (also called the lowest common multiple or smallest common multiple) of two or more integers is the smallest positive integer that is divisible by all given integers.

Lucas numbers Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\lucnum {a}$
mathml	1	$L_{a}$

The Lucas numbers are defined as follows:

$L_{0}$	$equal$	$2$
$L_{1}$	$equal$	$1$
$L_{n}$	$equal$	$(L_{(n - 1)}) + (L_{(n - 2)})$

Lucas polynomials Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\lucpol {a}$
mathml	1	$L_{a} (x)$

The Lucas polynomials are defined by the recurrence relation

	$((L_{n} (x)) x) = (defined-piecewise (2 wenn (n = 0)) (x wenn (n = 1)) (((x (L_{(n - 1)} (x)) x) + ((L_{(n - 2)} (x)) x)) wenn (n \geq 2)))$
2	wenn(n=0)
x	wenn(n=1)
((x⁢(L(n-1)⁢(x))⁢x)+((L(n-2)⁢(x))⁢x))	wenn(n≥2)

The first few Lucas polynomials are:

$((L_{0} (x)) x) = 2$

$((L_{1} (x)) x) = x$

$((L_{2} (x)) x) = ((x^{2}) + 2)$

$((L_{3} (x)) x) = ((x^{3}) + (3 x))$

$((L_{4} (x)) x) = ((x^{4}) + (4 (x^{2})) + 2)$

$((L_{5} (x)) x) = ((x^{5}) + (5 (x^{3})) + (5 x))$

lucky numbers of Euler de

The lucky numbers of Euler are positive integers $n$ such that $((x^{2}) - x) + n$ is a prime number for $x = 0 = 1 = \dots = (n - 1)$ .
Lychrel number de

A Lychrel number is a natural number that cannot form a palindromic number through the iterative process of repeatedly reversing its digits and adding the resulting numbers.
mantissa

In scientific notation all numbers are written in the form of $a \times 10^{b}$ , ( $a \in ℝ$ times 10 raised to the power of $b \in ℤ$ ), $a$ is called the significand or mantissa.

$a \times 10^{b}$ is called normalized, iff $1 \leq (| a |) < 10$
matrix Show Notations
Languages Arguments Rendering
stex/tex 1 $\nmatrix {a}$
mathml 0

Let $V$ be a vector space over a field $K$ , then a matrix is a rectangular arrangement of members of $K$ .

maximum Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	3	$\bmaxval {a} {b} {c}$
mathml	2	$\underset{a}{max b} b c$
mathml	2	$\underset{a}{max b} (b c) b$
mathml	2	$\underset{a}{max b} (b c) b$
mathml	2	$\underset{a}{max b} b c$

The minimum $(minimum S)$ (maximum $(maximum S)$ ) of an ordered set $S$ is that element $m$ (if it exists), such that all other membes of $S$ are smaller (larger) than $m$ .

If $e$ is an expression and $φ$ a condition (in a variable $x$ ), we write $(bmaxval φ [x] e)$ for $(maximum (bsetst [x] e))$ and call it the maximum for $e$ over $φ$ . Analogously, we write $(bminval φ [x] e)$ for $(minimum (bsetst [x] φ))$ and call it the minimum for $e$ over $φ$

maximum Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\maxval {a}$
stex/tex	0	$\maxvalFN$
mathml	0	$max$

The minimum $(minimum S)$ (maximum $(maximum S)$ ) of an ordered set $S$ is that element $m$ (if it exists), such that all other membes of $S$ are smaller (larger) than $m$ .

maximum length de

For a graph $G$ , the minimum length of a cycle contained in $G$ is the girth $g (G)$ of $G$ . The maximum length of a cycle contained in $G$ is the circumference of $G$ . For a graph which does not contain a cycle the girth is set to $(g (G)) = \infty$ , its circumference is set to zero.

Mclaurin series Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	3	$\taylorserieswrtat {a} {b} {c}$
mathml	3	$𝑇 a (b; c)$

Let $f$ be a real-or complex-valued function that is smooth at a limit point $a$ of the domain of $f$ , then we call the infinite series given by

(fundefeq [f x a] 𝑇 f (x; a))

the Taylor series for $f$ around $a$ . If $a = 0$ , then the series is known as the Mclaurin series.

Meertens number de

A Meertens number is an integer that is its own Gödel number. Only one Meertens number is known:

81312000 = ((2^{8}) (3^{1}) (5^{3}) (7^{1}) (11^{2}) (13^{0}) (17^{0}) (19^{0}))

Mercator series de

The Mercator series or Newton-Mercator series is the Taylor series for the natural logarithm:

$ln ((1 + x))$

The series converges whenever $(multi-relation-expression 1 lethan x lessthan 1)$ .

Mersenne number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\Mnumber {a}$
mathml	1	$M_{a}$
mathml	1	$M_{a}$

A Mersenne number is a natural number of the form $(M_{n}) = ((2^{n}) - 1)$

Mersenne prime Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\Mprime {a}$
mathml	1	$M_{a}$
mathml	1	$M_{a}$

A Mersenne prime is a prime number of the form $(M_{n}) = ((2^{n}) - 1)$ . Then $n$ is prime too.

Mertens function

Mertens function is defined for all positive integers $n$ as $M$ where $μ k$ is the Moebius function. The function is named in honour of Franz Mertens.

The above definition can be extended to real numbers as follows:

$M$
metric de
Let $M$ be a set, then we call a function $d : (M \times M) \to ℝ$ a distance function (or metric ) on $M$ , iff for all $x, y, z \in M$ the following three identities hold:

1.

$(d) = 0$ iff $x = y$ (identity of indiscernibles),

2.

$(d) = (d)$ (symmetry), and

3.

$(d) \leq ((d) + (d))$ (triangle inequality).

We call $⟨ M, d ⟩$ a metric space with base set $M$ and metric $d$ .
metric ) de
Let $M$ be a set, then we call a function $d : (M \times M) \to ℝ$ a distance function (or metric ) on $M$ , iff for all $x, y, z \in M$ the following three identities hold:

1.

$(d) = 0$ iff $x = y$ (identity of indiscernibles),

2.

$(d) = (d)$ (symmetry), and

3.

$(d) \leq ((d) + (d))$ (triangle inequality).

We call $⟨ M, d ⟩$ a metric space with base set $M$ and metric $d$ .
metric space de
Let $M$ be a set, then we call a function $d : (M \times M) \to ℝ$ a distance function (or metric ) on $M$ , iff for all $x, y, z \in M$ the following three identities hold:

1.

$(d) = 0$ iff $x = y$ (identity of indiscernibles),

2.

$(d) = (d)$ (symmetry), and

3.

$(d) \leq ((d) + (d))$ (triangle inequality).

We call $⟨ M, d ⟩$ a metric space with base set $M$ and metric $d$ .

minimum Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	3	$\bminval {a} {b} {c}$
mathml	2	$\underset{a}{min b} b c$
mathml	2	$\underset{a}{min b} (b c) b$
mathml	2	$\underset{a}{min b} (b c) b$
mathml	2	$\underset{a}{min b} b c$

The minimum $(minimum S)$ (maximum $(maximum S)$ ) of an ordered set $S$ is that element $m$ (if it exists), such that all other membes of $S$ are smaller (larger) than $m$ .

minimum Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\minval {a}$
stex/tex	0	$\minvalFN$
mathml	0	$min$

The minimum $(minimum S)$ (maximum $(maximum S)$ ) of an ordered set $S$ is that element $m$ (if it exists), such that all other membes of $S$ are smaller (larger) than $m$ .

minimum length de

For a graph $G$ , the minimum length of a cycle contained in $G$ is the girth $g (G)$ of $G$ . The maximum length of a cycle contained in $G$ is the circumference of $G$ . For a graph which does not contain a cycle the girth is set to $(g (G)) = \infty$ , its circumference is set to zero.
modulus

The integer division operator computes the integer quotient (or modulus) $n div m$ of two natural numbers. $n div m$ is defined as that $q \in ℕ$ , such that $n = ((m q) + r)$ for some $0 \leq r < m$ . The number $r$ is called the remainder and is written as $n mod m$ .

Motzkin number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\motzkinrec {a}$
mathml	1	$M_{a}$

Motzkin numbers $M_{n}$ are defind by the recurrence relation:

M_{(n + 1)}

where $(multi-relation-expression M_{0} equal M_{1} equal 1)$ .

Motzkin number

Motzkin numbers $M_{n}$ for natural numbers $n$ can be expressed in terms of Catalan numbers $C_{k}$ :

$M_{n}$

Motzkin number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\motzkin {a}$
mathml	1	$M_{a}$
mathml	1	$M_{a}$

The Motzkin number $M_{n}$ for a given number $n$ is the number of different ways of drawing non-intersecting chords on a circle between $n$ points.

The first Motzkin numbers are $1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, ...$ .

Motzkin prime de

A Motzkin prime is a Motzkin number that is prime.
multi-relation expression Show Notations
Languages Arguments Rendering
stex/tex 1 $\multirelation {a}$
de

A multi-relation expression is built up from binary relations via conjunction: $(multi-relation-expression a R b S c \dots)$ holds, iff $(R)$ holds and also $(multi-relation-expression b S c \dots)$ .
multiperfect de

A number $n$ is called multiperfect or $k$ -perfect for a given natural numbers $k$ , if and only if the sum of all positive divisors of $n$ is equal to $k n$ .
multiple de

Let $⟨ R ⟩$ be a ring and $m \neq 0$ , then we say that $m$ is a left divisor of $n$ (or $m$ left divides $n$ ) and that $n$ is a left multiple of $m$ , if there is a $k \in R$ such that $(multiplication) = n$ .

Analogously we say that $m$ is a right divisor of $n$ (or $m$ right divides $n$ ) and that $n$ is a right multiple of $m$ , if there is a $k \in R$ such that $(multiplication) = n$ .

If $R$ is commxutative, then left and right divisors coincide and we simply speak of divisor and multiple and write $m | n$ .

$1$ , $1$ , $n$ , and $n$ are known as the trivial divisors of $n$ . A divisor of $n$ that is not a trivial divisor is known as a proper or non-trivial divisor.
multiple Harshad number de

A multiple Harshad number is a Harshad number that, when divided by the sum of its digits, produces another Harshad number.
multiplicative digital root de

The multiplicative persistence is the number of steps required to reach a single digit.

The multiplicative digital root of a positive integer $n$ is found by multiplying the digits of $n$ together, then repeating this operation until only a single digit remains. This single-digit number is called the multiplicative digital root of $n$ .
multiplicative persistence de

The multiplicative persistence is the number of steps required to reach a single digit.
multiplicative structure de

A structure $⟨ R ⟩$ is called a ring, if $⟨ R ⟩$ is a Abelian group (called the additive structure), $⟨ R ⟩$ is a monoid (called the multiplicative structure), and $⟨ R ⟩$ is a ringoid.

We call $0$ the zero of the ring and $1$ the one of the ring.
mutually disjoint ro de tr

A family of sets is called pairwise disjoint or mutually disjoint, if any two of them are disjoint.
mutually prime Show Notations
Languages Arguments Rendering
stex/tex 0 $\coprime$
mathml 0 $⊥$
de

Two integers are said to be coprime (also spelled co-prime), relatively prime or mutually prime if their greatest common divisor is $1$ .
Münchhausen number

A Münchhausen number is a number that is equal to the sum of its digits powered to itself.

If $n = (a_{k} a_{k - 1} \dots a_{0})$ is the decimal representation of $n$ then

$n$
n-minex
n-plex

n-plex is defind as the integer $10^{n}$ .

Napier’s constant Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\enumb$
mathml	0	$e$

The number $e$ , sometimes called Euler’s constant (also known as Napier’s constant) is an important mathematical constant.

e

e = 2.718281828459045 ...

Narayana number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\narayananumber {a} {b}$
stex/tex	0	$\narayananumberOp$
mathml	2	$N (a, b)$
mathml	0	$N$

The Narayana numbers $N (n, k)$ count the number of paths from $⟨ 0, 0 ⟩$ to $⟨ (2 n), 0 ⟩$ , with steps only northeast and southeast, not straying below the $x$ -axis, with $k$ peaks(maxima).

(N (n, k)) = ((\frac{1}{n}) (𝒞_{k}^{n}) (𝒞_{(k - 1)}^{n}))

where $n$ and $k$ are natural number with $k \leq 1 \leq n$ .

natural density de

A subset $A$ of positive integers has an asymptotic density (or natural density) $d (A)$ , where $(multi-relation-expression 0 lessthan d (A) lessthan 1)$ , if the limit exists

$d (A)$

$a n$ is the number of elements of $A$ less than or equal to $n$ .

natural logarithm Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\natlog {a}$
stex/tex	0	$\natlogOp$
mathml	1	$ln (a)$
mathml	0
mathml	0	$ln$

The natural logarithm is the logarithm to the base $e$ .

natural number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\NaturalNumbers$
mathml	0	$ℕ$

The set $ℕ$ of natural numbers is the set ${(0, 1, 2, \dots)}$ .

The set of positive natural numbers is the set ${(1, 2, 3, \dots)}$ .

near Wilson prime de

negative integers Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\NegativeIntegerNumbers$
mathml	0

The set negative integers of is the set ${(\dots, (- (3)), (- (2)), (- (1)))}$ .

negative real number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\NegativeRealNumbers$
mathml	0

The set $ℝ$ of real numbers is defined as the completion of $ℚ$ .

We use and for the sets of negative real numbers and positive real numbers.

neighborhood de

Let $⟨ X, O ⟩$ be a topological space and $p \in X$ , then we call any open set $N \in O$ a neighborhood of $p$ , iff $p \in N$ .
neighbour de

Two distinct edges $e$ and $f$ are adjacent if they have an end in common.

Two vertices $x$ and $y$ in a graph $G$ are adjacent, or neighbours, if $⟨ x, y ⟩$ is an edge of $G$ .

Newman-Shanks-Williams prime de

A Newman-Shanks-Williams prime, or NSW prime, is a prime number $p$ which can be written in the form

p = (\frac{(({(1 + (\sqrt{2}))}^{((2 m) + 1)}) + ({(1 - (\sqrt{2}))}^{((2 m) + 1)}))}{2})

where $m$ is a natural numbers.

Newton-Mercator series de

The Mercator series or Newton-Mercator series is the Taylor series for the natural logarithm:

$ln ((1 + x))$

The series converges whenever $(multi-relation-expression 1 lethan x lessthan 1)$ .
Newton’s de

If $f : M \to N$ is differentiable on $M$ , then the derivative function $(D_{x} f) : M \to N$ of $f$ (with respect to $x$ ) is defined as

$(fundefeq [f x a] D_{x} f (a))$

The dependency of $D_{x} f$ on $x$ is left implicit in this notation (Lagrange’s notation). In Leibniz’s notation we write the derivative of $f$ with respect to $x$ as $D_{x} f$ and the derivative of $f$ at $a$ as $D_{x} f (a)$ or $D_{x} f (a)$ . In Euler’s notation, this is written as $D_{x} f (a)$ and in Newton’snotation as $D_{x} f (a)$ .

ninth smarandache constant Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\smarandacheconstnine$
mathml	0

The ninth smarandache constant is defind by

where $S (n)$ is the smarandache function.

The sum converges.

Niven number de

A Harshad number or Niven number in a given number base is an integer that is divisible by the sum of its digits when written in that base.
Niven’s constant de

We define $(H 1) = 1$ and $H n$ is the largest exponent appearing in the prime factorization of a natural number $n > 1$ .

Then Niven’s constant is given by

${lim}_{n \to \infty} (\frac{1}{n})$
node de

A directed graph (also called digraph or oriented graph) is a pair $⟨ V, E ⟩$ such that $V$ is a set and $E \subseteq (V \times V)$ . We call $V$ the vertices (or nodes) and $E$ the edges of $G$ .
node de

A graph is a pair $⟨ V, E ⟩$ such that $V$ is a set and $E \subseteq (V \times V)$ is a subset of the set of pairs from $V$ . We call $V$ the vertices (or nodes, points,junctions) and $E$ the edges (or lines, branches, arcs) of $G$ .
non-trivial divisor de

$1$ , $1$ , $n$ , and $n$ are known as the trivial divisors of $n$ . A divisor of $n$ that is not a trivial divisor is known as a proper or non-trivial divisor.
normal

$x$ is said to be normal in base $b$ if its digits in base $b$ follow a uniform distribution.

A real number $x$ is said to be normal if its digits in every base follow a uniform distribution: all digits are equally likely, all pairs of digits equally likely, all triplets of digits equally likely, etc.
normal in base de

$x$ is said to be normal in base $b$ if its digits in base $b$ follow a uniform distribution.
normalized

In scientific notation all numbers are written in the form of $a \times 10^{b}$ , ( $a \in ℝ$ times 10 raised to the power of $b \in ℤ$ ), $a$ is called the significand or mantissa.

$a \times 10^{b}$ is called normalized, iff $1 \leq (| a |) < 10$

NSW prime de

A Newman-Shanks-Williams prime, or NSW prime, is a prime number $p$ which can be written in the form

p = (\frac{(({(1 + (\sqrt{2}))}^{((2 m) + 1)}) + ({(1 - (\sqrt{2}))}^{((2 m) + 1)}))}{2})

where $m$ is a natural numbers.

nullary product Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\emptyprod$
mathml	0

An empty product, or nullary product, is the result of multiplying no factors. It is equal to the multiplicative identity $1$ .

nullary sum Show Notations
Languages Arguments Rendering
stex/tex 0 $\emptysum$
mathml 0
de

An empty sum, or nullary sum, is a summation involving no terms at all. The value of any empty sum of numbers is conventionally taken to be zero.

For example, if $n \leq m$ then

$\sum_{i = m}^{n} a_{i}$

number of edges Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\graphnumberofedges {a}$
mathml	1	$∥ a ∥$
mathml	1	$∥ a ∥$

The number of edges of a graph $G$ is written as $∥ G ∥$ .

number of vertices Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\graphnumberofvertices {a}$
mathml	1	$\| a \|$
mathml	1	$\| a \|$

The number of vertices of a graph $G$ , called its order, is written as $| G |$ .

Number theory de

Number theory is a branch of pure mathematics devoted primarily to the study of the integers.

oblong number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\pronicnumber {a}$
mathml	1	$P_{a}$
mathml	1	$P_{a}$

A pronic number $P_{n}$ , oblong number, rectangular number or heteromecic number, is a number which is the product of two consecutive natural numbers.

(multi-relation-expression P_{n} equal (\cdot n n + 1) equal (n^{2}) + n)

on
We call a triple $⟨ P, L, I ⟩$ an incidence structure (or incidence geometry), with points $P$ , lines $L$ , and incidence realation $I \subseteq (P \times L)$ (we say $p \in P$ is on $l$ , if $(⟨ p, l ⟩) \in I$ ), iff

•

There are at least two points in $P$ .

•

For any two points $p, q \in P$ , there is exactly one line $l \in L$ such that $(⟨ p, l ⟩) \in I$ and $(⟨ q, l ⟩) \in I$ .

•

For every line $l \in L$ there are at least two points on $l$ .

•

For every line $l \in L$ there is at least one point $p$ with $p \notin l$ .
one de

A structure $⟨ R ⟩$ is called a ring, if $⟨ R ⟩$ is a Abelian group (called the additive structure), $⟨ R ⟩$ is a monoid (called the multiplicative structure), and $⟨ R ⟩$ is a ringoid.

We call $0$ the zero of the ring and $1$ the one of the ring.

open ball Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\openball {a} {b}$
mathml	2	$𝐵 (a, b)$
mathml	2	$𝐵_{a} (b)$
mathml	2	$𝐵_{a} (b)$
mathml	2	$𝐵 (a, b)$

open set de
A topological space $⟨ X, O ⟩$ is a set $X$ together with a collection $O \subseteq (𝒫 (X))$ , such that

1.

$, X \in O$ .

2.

$(⋃_{S \in S} s) \in O$ if $S \subseteq S$ .

3.

$(⋂_{S \in S} s) \in O$ if $S \subseteq S$ is finite.

$O$ is called an open set topology (or just topology) on $X$ . Members of a topology $O$ are called open sets and their complements closed sets. A subset of $X$ may be neither closed nor open, either closed or open, or both. A set that is both closed and open is called a clopen set.
open set topology de
A topological space $⟨ X, O ⟩$ is a set $X$ together with a collection $O \subseteq (𝒫 (X))$ , such that

1.

$, X \in O$ .

2.

$(⋃_{S \in S} s) \in O$ if $S \subseteq S$ .

3.

$(⋂_{S \in S} s) \in O$ if $S \subseteq S$ is finite.

$O$ is called an open set topology (or just topology) on $X$ . Members of a topology $O$ are called open sets and their complements closed sets. A subset of $X$ may be neither closed nor open, either closed or open, or both. A set that is both closed and open is called a clopen set.
order de

The number of vertices of a graph $G$ , called its order, is written as $| G |$ .
order geometry
We call a set of points a ternary relation $between$ an order geometry , iff

1.
If $A * B * C$ , then

(a)
$A \neq C$ .

(b)
${A, B, C}$ is a collinear set.

(c)
$B * B * A$ .

2.
If $B$ and $D$ are distinct points, then there is at least one point $A$ , such that $A * B * D$ .

3.
If $A$ , $B$ and $C$ are distinct collinear points, then $A * B * C$ , or $A * C * B$ , or $B * A * C$ .

4.
$A * B * C$ and $A * C * B$ cannot hold at the same time.

If $A * B * C$ , we say that $B$ is between $A$ and $C$ .
ordered set de

We call a partial ordering $R$ a total ordering (or simple order or linear order), iff $a \leq b$ or $b \leq a$ for all $a, b \in A$ .

We call a structure $⟨ S, pole ⟩$ of a set $S$ and a total ordering $pole$ an totally ordered set.

We call a structure $⟨ S, pole ⟩$ of a set $S$ and a partial ordering $pole$ an ordered set.
Ore number de

A harmonic divisor number, or Ore number, is a positive integer whose divisors have a harmonic mean that is an integer.
oriented graph de

A directed graph (also called digraph or oriented graph) is a pair $⟨ V, E ⟩$ such that $V$ is a set and $E \subseteq (V \times V)$ . We call $V$ the vertices (or nodes) and $E$ the edges of $G$ .
outdegree
Let $G = (⟨ V, E ⟩)$ be a directed graph and $v \in V$ a vertex in $G$ , then we define

•
indegree $indeg (v)$ of $v$ as $# ((bsetst [w] w))$

•
outdegree $outdeg (v)$ of $v$ as $# ((bsetst [w] w))$

outer limit Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\limsuperior {a} {b}$
mathml	2	$\bar{{lim}_{a \to \infty}} b$
mathml	2	${lim sup}_{a \to \infty} b$
mathml	2	$lim {sup}_{a \to \infty} b$
mathml	2	$\bar{{lim}_{a \to \infty}} b$

Ist $⟨ M, d ⟩$ ein metrischer Raum und $(sequenceon [a] n)$ eine Folge mit $(a_{i}) \in M$ für $i \in ℕ$ , so ist der

•

Limes superior $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (schreibe auch $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) definiert durch

(fundefeq [a] \bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

•

Limes inferior $\underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (schreibe auch $\underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) definiert durch

(fundefeq [a] \underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

Let $⟨ M, d ⟩$ be a metric space and $(sequenceon [a] n)$ a sequence with $(a_{i}) \in M$ for all $i \in ℕ$ , then the

•

limit superior (also called supremum limit, superior limit, upper limit, or outer limit) $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (also written as $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) is defined as

(fundefeq [a] \bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

•

(fundefeq [a] \underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

Padovan number de

The Padovan numbers are defined by the recurrence relation

	$(multi-relation-expression P_{0} equal P_{1} equal P_{2} equal 1)$
	$(P_{n}) = ((P_{(n - 2)}) + (P_{(n - 3)}))$

pair Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\pair {a} {b}$
mathml	2	$⟨ a, b ⟩$
mathml	2	$⟨ a, b ⟩$

tr ro de

Let $A$ and $B$ be sets, then the set of pairs $A \times B$ of $A$ and $B$ is defined as $(bsetst [a b] ⟨ a, b ⟩)$ , we call $(⟨ a, b ⟩) \in (A \times B)$ a pair.

pairs Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\pairs {a} {b}$
stex/tex	0	$\pairsFN$
mathml	2	$a \times b$
mathml	2	$a \times b$
mathml	0	$\times$

tr ro de

Let $A$ and $B$ be sets, then the set of pairs $A \times B$ of $A$ and $B$ is defined as $(bsetst [a b] ⟨ a, b ⟩)$ , we call $(⟨ a, b ⟩) \in (A \times B)$ a pair.

pairwise disjoint ro de tr

A family of sets is called pairwise disjoint or mutually disjoint, if any two of them are disjoint.
panarithmic number de

A practical number or panarithmic number is a positive integer $n$ such that all smaller positive integers can be represented as sums of distinct divisors of $n$ .
parent
A tree is a directed acyclic graph $G = (⟨ V, E ⟩)$ such that

•
there is exactly one initialnode $v_{r} \in V$ (called the root), and

•
all nodes but the root have indegree 1.

We call $v$ the parent of $w$ , iff $(⟨ v, w ⟩) \in E$ ( $w$ is a child of $v$ ). We call a node $v$ a leaf of $G$ , iff it is terminal, i.e. if it does not have children.
partial function de

A relation $f \subseteq (X \times Y)$ , is called a partial function with domain $X$ (write $𝐝𝐨𝐦 (f)$ ) and codomain $Y$ (write $𝐜𝐨𝐝𝐨𝐦 (f)$ ), iff for all $x \in X$ there is at most one $y \in Y$ with $(⟨ x, y ⟩) \in f$ .

We write $f : X ⇀ Y; x \mapsto y$ and $(f) = y$ instead of $(⟨ x, y ⟩) \in f$ .
partial order de

We call a partial ordering $R$ a total ordering (or simple order or linear order), iff $a \leq b$ or $b \leq a$ for all $a, b \in A$ .

We call a structure $⟨ S, pole ⟩$ of a set $S$ and a total ordering $pole$ an totally ordered set.

We call a preorder $pole \subseteq (A \times A)$ on $A$ a partial ordering (or partial order), iff it is antisymmetric. We associate with $pole$ a strict ordering $poless :, = (bsetst [a b] (⟨ a, b ⟩) \in pole)$ .

We often also use the converse relations $pome$ and $pomore$ .

We call a structure $⟨ S, pole ⟩$ of a set $S$ and a partial ordering $pole$ an ordered set.
partial ordering de

We call a partial ordering $R$ a total ordering (or simple order or linear order), iff $a \leq b$ or $b \leq a$ for all $a, b \in A$ .

We call a structure $⟨ S, pole ⟩$ of a set $S$ and a total ordering $pole$ an totally ordered set.

We call a preorder $pole \subseteq (A \times A)$ on $A$ a partial ordering (or partial order), iff it is antisymmetric. We associate with $pole$ a strict ordering $poless :, = (bsetst [a b] (⟨ a, b ⟩) \in pole)$ .

We often also use the converse relations $pome$ and $pomore$ .

We call a structure $⟨ S, pole ⟩$ of a set $S$ and a partial ordering $pole$ an ordered set.

partial sum Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\partialsum {a} {b}$
mathml	2	$s_{b}$
mathml	2	$s_{b}$

For any sequence $(sequenceon [a] n)$ with $(a_{n}) \in ℝ$ or $(a_{n}) \in ℂ$ we define the $n$ -th partial sum $(fundefeq [a n] s_{n})$ .

The series induced by $(n_{a})$ is the sequence of partial sums $(sequenceon [a n] n)$ .

path Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\gpath {a}$
mathml	1	$⟨ a ⟩$
mathml	1	$⟨ a ⟩$

Given a directed graph $G = (⟨ V, E ⟩)$ we call a vector $(p = (⟨ (v_{0}, \dots, v_{n}) ⟩)) \in (V^{(n + 1)})$ a path in $G$ iff $(⟨ v_{i - 1}, v_{i} ⟩) \in E$ for all $1 \leq i \leq n$ , $n > 0$ .

•

$v_{0}$ is called the start of $p$ (write $start (p)$ )
•

$v_{n}$ is called the end of $p$ (write $end (p)$ )
•

$n$ is called the length of $p$ (write $len (p)$ )

Pell number de

The Pell numbers are defined by the recurrence relation

$P_{0}$	$equal$	$0$
$P_{1}$	$equal$	$1$
$P_{n}$	$equal$	$(2 (P_{(n - 1)})) + (P_{(n - 2)})$

perfect number de

A perfect number is a positive integer that is equal to the sum of its aliquot sum.
permutable prime de

A permutable prime is a prime that is prime for all permutations of its digits.

For example:

$131$

Perrin number de

The Perrin numbers are defined by the recurrence relation

$P_{0}$	$equal$	$3$
$P_{1}$	$equal$	$0$
$P_{2}$	$equal$	$2$
$P_{n}$	$equal$	$(P_{(n - 2)}) + (P_{(n - 3)})$

Perrin pseudoprime de

A Perrin pseudoprime is a composite number $n$ that divides the Perrin number $P_{n}$ .

Pierpont prime de

A Pierpont prime is a prime number of the form

((2^{u}) (3^{v})) + 1

for some nonnegative integers $u$ and $v$ .

plastic constant Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\plasticnum$
mathml	0	$ρ$

The plastic number $ρ$ (also known as the plastic constant) is a mathematical constant which is the unique real solution of the cubic equation $(x^{3}) = (x + 1)$ . It has the value

ρ = (\frac{((\sqrt{(108 + (12 (\sqrt{69})))} 3) + (\sqrt{(108 - (12 (\sqrt{69})))} 3))}{6})

ρ = 1.324717957244746 ...

plastic number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\plasticnum$
mathml	0	$ρ$

The plastic number $ρ$ (also known as the plastic constant) is a mathematical constant which is the unique real solution of the cubic equation $(x^{3}) = (x + 1)$ . It has the value

ρ = (\frac{((\sqrt{(108 + (12 (\sqrt{69})))} 3) + (\sqrt{(108 - (12 (\sqrt{69})))} 3))}{6})

ρ = 1.324717957244746 ...

point de

A graph is a pair $⟨ V, E ⟩$ such that $V$ is a set and $E \subseteq (V \times V)$ is a subset of the set of pairs from $V$ . We call $V$ the vertices (or nodes, points,junctions) and $E$ the edges (or lines, branches, arcs) of $G$ .
point
We call a triple $⟨ P, L, I ⟩$ an incidence structure (or incidence geometry), with points $P$ , lines $L$ , and incidence realation $I \subseteq (P \times L)$ (we say $p \in P$ is on $l$ , if $(⟨ p, l ⟩) \in I$ ), iff

•

There are at least two points in $P$ .

•

For any two points $p, q \in P$ , there is exactly one line $l \in L$ such that $(⟨ p, l ⟩) \in I$ and $(⟨ q, l ⟩) \in I$ .

•

For every line $l \in L$ there are at least two points on $l$ .

•

For every line $l \in L$ there is at least one point $p$ with $p \notin l$ .
pointwise convergent

Let $A$ be a set, $⟨ B, d ⟩$ a metric space, and $(sequenceon [f] n)$ a sequence of functions $(f_{i}) : A \to B$ , then we call $(sequenceon [f] n)$ pointwise convergent to $f : A \to B$ on $A^{'} \subseteq A$ , iff ${lim}_{i \to \infty} (f_{i})$ for all $x \in A^{'}$ .

Ist $A$ eine Menge, $⟨ B, d ⟩$ ein metrischer Raum und $(sequenceon [f] n)$ eine Folge von Funktionen $(f_{i}) : A \to B$ , dann nennen wir $(sequenceon [f] n)$ punktweise konvergent gegen $f : A \to B$ auf $A^{'} \subseteq A$ , falls ${lim}_{i \to \infty} (f_{i})$ für alle $x \in A^{'}$ .
polite number de

A polite number is a positive integer that can be written as the sum of two or more consecutive positive integers.

positive natural number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\PositiveNaturalNumbers$
mathml	0

The set of positive natural numbers is the set ${(1, 2, 3, \dots)}$ .

positive real number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\PositiveRealNumbers$
mathml	0

The set $ℝ$ of real numbers is defined as the completion of $ℚ$ .

We use and for the sets of negative real numbers and positive real numbers.

Poulet number de

Poulet numbers are Fermat pseudoprimes to base $2$ .
powerful number de

A powerful number is a positive integer $m$ such that for every prime number $p$ dividing $m$ , $p^{2}$ also divides $m$ .

A powerful number is the product of a square and a cube. Powerful numbers are also known as squareful numbers, square-full numbers, or 2-full numbers.
pq number de
practical number de

A practical number or panarithmic number is a positive integer $n$ such that all smaller positive integers can be represented as sums of distinct divisors of $n$ .
pre-image Show Notations
Languages Arguments Rendering
stex/tex 2 $\PreImage {a} {b}$
mathml 2 $a^{- 1} (b)$
de
Let $f : A \to B$ be a function, $A^{'} \subseteq A$ , and $B^{'} \subseteq B$ , then we call

•

$(fundefeq [f name.cvar.2] f (A^{'}))$ the image of $A^{'}$ under $f$ ,

•

$(fundefeq [f] 𝐈𝐦 (f))$ the image of $f$ , and

•

$(fundefeq [f name.cvar.6] f^{- 1} (B^{'}))$ the pre-image of $B^{'}$ under $f$ .
preorder

We call a structure $⟨ S, r ⟩$ of a set $S$ equipped with a preorder $r$ an preordered set or proset.

We call a binary relation $r \subseteq (A \times A)$ on $A$ a preorder (or quasiorder), iff it is reflexive and transitive.
preordered set

We call a structure $⟨ S, r ⟩$ of a set $S$ equipped with a preorder $r$ an preordered set or proset.
prime factor de

A prime number $p$ is called a prime factor of the natural number $n$ , if $p$ is a divisor of $n$ .

prime gap Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\primegap {a}$
mathml	1	$g_{a}$

A prime gap is the difference between two successive prime numbers. The $n$ -th prime gap, denoted $g_{n}$ or $g_{(p_{n})}$ is the difference between the $n + 1$ -th and the $n$ -th prime number.

(g_{n}) = ((p_{(n + 1)}) - (p_{n}))

prime number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\nPrimeNumber {a}$
stex/tex	0	$\PrimeNumber$
mathml	1	$p_{a}$
mathml	1	$p_{a}$
mathml	0	$p$

The number of prime numbers not greater than $n$ is written as $π (n)$ .

A prime number is a natural number greater than $1$ that has no positive divisors other than $1$ and itself.

prime quadruple de

A prime quadruplet (sometimes called prime quadruple) is a set of four primes of the form ${p, (p + 2), (p + 6), (p + 8)}$ .

For example:

${5, 7, 11, 13}$

${11, 13, 17, 19}$

${101, 103, 107, 109}$
prime quadruplet de

A prime quadruplet (sometimes called prime quadruple) is a set of four primes of the form ${p, (p + 2), (p + 6), (p + 8)}$ .

For example:

${5, 7, 11, 13}$

${11, 13, 17, 19}$

${101, 103, 107, 109}$
prime quintuplet de

If ${p, (p + 2), (p + 6), (p + 8)}$ is a prime quadruplet and $p - 4$ or $p + 12$ is also prime, then the five primes form a prime quintuplet.

For example:

${5, 7, 11, 13, 17}$

${7, 11, 13, 17, 19}$

${11, 13, 17, 19, 23}$
prime sextuplet de

If ${p, (p + 2), (p + 6), (p + 8)}$ is a prime quadruplet and both $p - 4$ and $p + 12$ are also primes, then the six primes form a prime sextuplet.

For example:

${7, 11, 13, 17, 19, 23}$

${97, 101, 103, 107, 109, 113}$

${16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073}$
prime twin de

A prime twin is a pair of prime numbers with a difference of $2$ .
primitive Pythagorean triple de

A Pythagorean triple consists of three natural numbers $a$ , $b$ and $c$ , such that $((a^{2}) + (b^{2})) = (c^{2})$ . A primitive Pythagorean triple is one in which $a$ , $b$ and $c$ are coprime.
primitive root de

A number $g$ is a primitive root modulo $n$ if every number coprime to $n$ is congruent modulo to a power of $g$ modulo $n$ .

primorial Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\primorial {a}$
mathml	1	$p_{a}$
mathml	1	$p_{a}$

The primorial of a natural numbers $n$ , denoted by $n #$ , is the product of all prime numbers less than or equal to $n$ .

product de

We define the product over a sequence $a_{i}$ by

	$(\prod_{i = n}^{m} a_{i}) :, = (defined-piecewise (1 wenn (n = m)) ((a_{n}) sonst))$
1	wenn(n=m)
(an)	sonst

The variable $i$ is called the index of multiplication and $n$ and $m$ the lower and upper bounds of the product respectively, together the specify the range of multiplication.

projection Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\csprojection {a} {b}$
stex/tex	1	$\csprojectionFN {a}$
mathml	2	$π_{a} (b)$
mathml	2	$π_{a} (b)$
mathml	1	$π_{a}$
mathml	1	$π_{a}$

We call the function $(projection i) : (A_{1} \times ... \times A_{n}) \to A_{i}; (⟨ (a_{1}, \dots, a_{n}) ⟩) \mapsto a_{i}$ the ( $i$ ^th ) projection.

projection Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\quotientprojection {a} {b}$
stex/tex	1	$\quotientprojectionFN {a}$
mathml	2	$π_{a} (b)$
mathml	1	$π_{a}$

The mapping $(projection R) : S \to (\frac{S}{_} R); x \mapsto ({[x]}_{R})$ is called the projection of $S$ to $\frac{S}{_} R$ .

pronic number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\pronicnumber {a}$
mathml	1	$P_{a}$
mathml	1	$P_{a}$

A pronic number $P_{n}$ , oblong number, rectangular number or heteromecic number, is a number which is the product of two consecutive natural numbers.

(multi-relation-expression P_{n} equal (\cdot n n + 1) equal (n^{2}) + n)

proper de

$1$ , $1$ , $n$ , and $n$ are known as the trivial divisors of $n$ . A divisor of $n$ that is not a trivial divisor is known as a proper or non-trivial divisor.

proper subset Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\sset {a} {b}$
stex/tex	0	$\ssetOp$
mathml	2	$a \subset b$
mathml	2	$a \subset b$
mathml	0	$\subset$

ro de tr

A set $A$ is a proper subset of a set $B$ (written $A \subseteq B$ ), iff $A \subset B$ but $A ≢ B$ .

proper superset Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\superset {a} {b}$
stex/tex	0	$\supersetOp$
mathml	2	$a \supset b$
mathml	2	$a \supset b$
mathml	0	$\supset$

ro tr

A set $A$ is a proper superset of a set $B$ (written $A \supseteq B$ ), iff $B \subseteq A$ .

proset

We call a structure $⟨ S, r ⟩$ of a set $S$ equipped with a preorder $r$ an preordered set or proset.
Proth number de

A Proth number is a number of the form $(k (2^{n})) + 1$ where $k$ is an odd positive integer and $n$ is a positive integer such that $(2^{n}) > k$ .

The Cullen numbers $(\cdot n 2^{n}) + 1$ and Fermat numbers $(2^{(2^{n})}) + 1$ are special cases of Proth numbers.
Proth prime de

A Proth prime is a prime number of the form $(\cdot k 2^{n}) + 1$ where $k$ is an odd positive integer and $n$ is a positive integer such that $(2^{n}) > k$ .
punktweise konvergent

Let $A$ be a set, $⟨ B, d ⟩$ a metric space, and $(sequenceon [f] n)$ a sequence of functions $(f_{i}) : A \to B$ , then we call $(sequenceon [f] n)$ pointwise convergent to $f : A \to B$ on $A^{'} \subseteq A$ , iff ${lim}_{i \to \infty} (f_{i})$ for all $x \in A^{'}$ .

Ist $A$ eine Menge, $⟨ B, d ⟩$ ein metrischer Raum und $(sequenceon [f] n)$ eine Folge von Funktionen $(f_{i}) : A \to B$ , dann nennen wir $(sequenceon [f] n)$ punktweise konvergent gegen $f : A \to B$ auf $A^{'} \subseteq A$ , falls ${lim}_{i \to \infty} (f_{i})$ für alle $x \in A^{'}$ .
Pythagorean box de

A Pythagorean box is a quadruple $⟨ a, b, c, d ⟩$ of natural numbers those define a cuboid with side lengths $a$ , $b$ , $c$ and the space diagonal length $d$ .
Pythagorean prime de

A Pythagorean prime is a prime number of the form

$(4 n) + 1$

Pythagorean quadruple de

A Pythagorean quadruple $(a, b, c, d)$ is a tuple of integers $a$ , $b$ , $c$ and $d$ , such that $d > 0$ and

((a^{2}) + (b^{2}) + (c^{2})) = (d^{2})

Pythagorean triple de

A Pythagorean triple consists of three natural numbers $a$ , $b$ and $c$ , such that $((a^{2}) + (b^{2})) = (c^{2})$ . A primitive Pythagorean triple is one in which $a$ , $b$ and $c$ are coprime.
quasiorder

We call a structure $⟨ S, r ⟩$ of a set $S$ equipped with a preorder $r$ an preordered set or proset.

We call a binary relation $r \subseteq (A \times A)$ on $A$ a preorder (or quasiorder), iff it is reflexive and transitive.

quotient space Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\quotientspace {a} {b}$
mathml	2	$\frac{a}{_} b$

The mapping $(projection R) : S \to (\frac{S}{_} R); x \mapsto ({[x]}_{R})$ is called the projection of $S$ to $\frac{S}{_} R$ .

Ramanujan 6-10-8 identity de

Let $(a d) = (b c)$ for real numbers $a$ , $b$ , $c$ , and $d$ , then the Ramanujan 6-10-8 identity is given by

((64 ((((({(a + b + c)}^{6}) + ({(b + c + d)}^{6})) - ({(c + d + a)}^{6}) - ({(d + a + b)}^{6})) + ({(a - d)}^{6})) - ({(b - c)}^{6}))) ((((({(a + b + c)}^{10}) + ({(b + c + d)}^{10})) - ({(c + d + a)}^{10}) - ({(d + a + b)}^{10})) + ({(a - d)}^{10})) - ({(b - c)}^{10}))) = (45 ({((((({(a + b + c)}^{8}) + ({(b + c + d)}^{8})) - ({(c + d + a)}^{8}) - ({(d + a + b)}^{8})) + ({(a - d)}^{8})) - ({(b - c)}^{8}))}^{2}))

Ramanujan-Soldner constant Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\ramanujanSoldnerConstant$
mathml	0	$μ$

The Ramanujan-Soldner constant is defined as the unique positive zero of the logarithmic integral $li (x)$ .

μ = 1.451369234883381 ...

Ramanujan’s constant Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\ramanujan$
mathml	0	$R$

Ramanujan’s constant is the irrational number $R :, = (e^{(π (\sqrt{163}))})$ . It is very close to an integer: $R = 2.62537412640768736E17 ...$ .

range of multiplication de

We define the product over a sequence $a_{i}$ by

	$(\prod_{i = n}^{m} a_{i}) :, = (defined-piecewise (1 wenn (n = m)) ((a_{n}) sonst))$
1	wenn(n=m)
(an)	sonst

The variable $i$ is called the index of multiplication and $n$ and $m$ the lower and upper bounds of the product respectively, together the specify the range of multiplication.

range of multiplication de

We define the product over a sequence $a_{i}$ by

	$(\prod_{i = n}^{m} a_{i}) :, = (defined-piecewise (1 wenn (n = m)) ((a_{n}) sonst))$
1	wenn(n=m)
(an)	sonst

The variable $i$ is called the index of multiplication and $n$ and $m$ the lower and upper bounds of the product respectively, together the specify the range of multiplication.

range of summation de

Summation is iterated addition, we define the sum over a sequnce $a_{i}$ by

	$(\sum_{i = n}^{m} a_{i}) :, = (defined-piecewise (0 wenn (n = m)) ((a_{n}) sonst))$
0	wenn(n=m)
(an)	sonst

The variable $i$ is called the index of summation and $n$ and $m$ the lower and upper bound of the sum respectively, together the specify the range of summation.

ray Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\ray {a} {b}$
mathml	2	$\vec{a b}$
mathml	2	$\vec{a b}$

For distinct points $A$ and $B$ , we call the set

(fundefeq [A B] \vec{A B})

the ray from $A$ through $B$ . We call $A$ the end point of $\vec{A B}$ .

real function

A real function, also real-valued function, $f$ , is a function $f$ whose values $f x$ are real numbers: $(f x) \in ℝ$ .

real number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\RealNumbers$
mathml	0	$ℝ$

The set $ℝ$ of real numbers is defined as the completion of $ℚ$ .

We use and for the sets of negative real numbers and positive real numbers.

real-valued function

A real function, also real-valued function, $f$ , is a function $f$ whose values $f x$ are real numbers: $(f x) \in ℝ$ .

rectangular number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\pronicnumber {a}$
mathml	1	$P_{a}$
mathml	1	$P_{a}$

A pronic number $P_{n}$ , oblong number, rectangular number or heteromecic number, is a number which is the product of two consecutive natural numbers.

(multi-relation-expression P_{n} equal (\cdot n n + 1) equal (n^{2}) + n)

reflexive de
A relation $R \subseteq (A \times A)$ is called

•

reflexive on $A$ , iff $(⟨ a, a ⟩) \in R$ for all $a \in A$ , and

•

irreflexive (or anti-reflexive) on $A$ , iff $(⟨ a, a ⟩) \notin R$ for all $a \in A$ .
regular de

If in a graph $G$ all the vertices have the same degree, say $k$ , then $G$ is called $k$ -regular, or simply regular.

A 3-regular graph is called cubic graph.
Regular number de

Regular numbers are numbers that evenly divide powers of $60$ .
relation de

$R \subseteq (A \times B)$ is a (binary) relation between $A$ and $B$ .

If $A = B$ then $R$ is called a relation on $A$ .
relation on de

$R \subseteq (A \times B)$ is a (binary) relation between $A$ and $B$ .

If $A = B$ then $R$ is called a relation on $A$ .
relatively prime Show Notations
Languages Arguments Rendering
stex/tex 0 $\coprime$
mathml 0 $⊥$
de

Two integers are said to be coprime (also spelled co-prime), relatively prime or mutually prime if their greatest common divisor is $1$ .
remainder

The integer division operator computes the integer quotient (or modulus) $n div m$ of two natural numbers. $n div m$ is defined as that $q \in ℕ$ , such that $n = ((m q) + r)$ for some $0 \leq r < m$ . The number $r$ is called the remainder and is written as $n mod m$ .
repdigit de

A repdigit is a number that contains only the same digit.

The representation of the repdigits in base $b$ is $(\cdot m \frac{((b^{n}) - 1)}{(b - 1)})$ for $b \geq 2$ $n \geq 1$ , and $(multi-relation-expression 0 lethan m lethan b)$ .
repeated digital sum

The number of times the digits must be summed to reach the digital sum is called a number’s additive persistence.

repunit Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\repunit {a}$
mathml	1	$R_{a}$
mathml	1	$R_{a}$

A repunit is a natural number that contains only the digit $1$ .

The base-b repunits are defined as $(R_{n}^{(b)}) = (\frac{((b^{n}) - 1)}{(b - 1)})$ for $b \geq 2$ and $n \geq 1$ .

A repunit prime is a repunit that is also a prime number.

repunit prime de

A repunit is a natural number that contains only the digit $1$ .

The base-b repunits are defined as $(R_{n}^{(b)}) = (\frac{((b^{n}) - 1)}{(b - 1)})$ for $b \geq 2$ and $n \geq 1$ .

A repunit prime is a repunit that is also a prime number.

restriction Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\restrict {a} {b}$
mathml	2	${a \|}_{b}$
mathml	2	${a \|}_{b}$

Let $f : A \to B$ be a function and $C \subseteq A$ , then we call the function $(fundefeq [f C] {f |}_{C})$ the restriction of $f$ to $C$ .

reversal de

The reversal of a decimal number $a b c \dots$ is $\dots c b a$ .
Riemann hypothesis de

The Riemann hypothesis is the conjecture that the nontrivial zeros of the Riemann zeta function all have real part $\frac{1}{2}$ .

Riemann integral Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	4	$\riemint {a} {b} {c} {d}$
mathml	2	$\int_{b}^{a} d d c$
mathml	2	$\int_{b}^{a} d d c$

The Riemann integral of a function $f$ over the interval $[a, b]$ is the limit of the Riemann sums.

Riesel number de

A Riesel number is an odd natural number $k$ such that $(\cdot k 2^{n}) - 1$ is composite, for all natural numbers $n$ .

right coset Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\rightcos {a} {b}$
mathml	2	$b a$
mathml	2	$b a$

right divides de

Let $⟨ R ⟩$ be a ring and $m \neq 0$ , then we say that $m$ is a left divisor of $n$ (or $m$ left divides $n$ ) and that $n$ is a left multiple of $m$ , if there is a $k \in R$ such that $(multiplication) = n$ .

Analogously we say that $m$ is a right divisor of $n$ (or $m$ right divides $n$ ) and that $n$ is a right multiple of $m$ , if there is a $k \in R$ such that $(multiplication) = n$ .

If $R$ is commxutative, then left and right divisors coincide and we simply speak of divisor and multiple and write $m | n$ .

$1$ , $1$ , $n$ , and $n$ are known as the trivial divisors of $n$ . A divisor of $n$ that is not a trivial divisor is known as a proper or non-trivial divisor.
right divisor de

Let $⟨ R ⟩$ be a ring and $m \neq 0$ , then we say that $m$ is a left divisor of $n$ (or $m$ left divides $n$ ) and that $n$ is a left multiple of $m$ , if there is a $k \in R$ such that $(multiplication) = n$ .

Analogously we say that $m$ is a right divisor of $n$ (or $m$ right divides $n$ ) and that $n$ is a right multiple of $m$ , if there is a $k \in R$ such that $(multiplication) = n$ .

If $R$ is commxutative, then left and right divisors coincide and we simply speak of divisor and multiple and write $m | n$ .

$1$ , $1$ , $n$ , and $n$ are known as the trivial divisors of $n$ . A divisor of $n$ that is not a trivial divisor is known as a proper or non-trivial divisor.
right multiple de

Let $⟨ R ⟩$ be a ring and $m \neq 0$ , then we say that $m$ is a left divisor of $n$ (or $m$ left divides $n$ ) and that $n$ is a left multiple of $m$ , if there is a $k \in R$ such that $(multiplication) = n$ .

Analogously we say that $m$ is a right divisor of $n$ (or $m$ right divides $n$ ) and that $n$ is a right multiple of $m$ , if there is a $k \in R$ such that $(multiplication) = n$ .

If $R$ is commxutative, then left and right divisors coincide and we simply speak of divisor and multiple and write $m | n$ .

$1$ , $1$ , $n$ , and $n$ are known as the trivial divisors of $n$ . A divisor of $n$ that is not a trivial divisor is known as a proper or non-trivial divisor.
right-truncatable prime de

A two-sided prime is both left-truncatable and right-truncatable.

For example: $3137$

A right-truncatable prime is a prime number which remains prime when the last (“right”) digit is successively removed.

For example: $3793$

rightsided limit Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	3	$\rightlimfun {a} {b} {c}$
mathml	2	${lim}_{b ↗ a} c$
mathml	2	${lim}_{b ↑ a} c$
mathml	2	${lim}_{b \to a^{+}} c$
mathml	2	${lim}_{b \to a^{+}} c$
mathml	2	${lim}_{b ↑ a} c$
mathml	2	${lim}_{b ↗ a} c$

Let $f : S \to T$ with $S, T \subseteq ℝ$ and $a \in ℝ$ .

ring de

A structure $⟨ R ⟩$ is called a ring, if $⟨ R ⟩$ is a Abelian group (called the additive structure), $⟨ R ⟩$ is a monoid (called the multiplicative structure), and $⟨ R ⟩$ is a ringoid.

We call $0$ the zero of the ring and $1$ the one of the ring.
ring de

A ring is a semiring $⟨ S ⟩$ such that $⟨ S ⟩$ forms an Abelian group.
root
A tree is a directed acyclic graph $G = (⟨ V, E ⟩)$ such that

•
there is exactly one initialnode $v_{r} \in V$ (called the root), and

•
all nodes but the root have indegree 1.

We call $v$ the parent of $w$ , iff $(⟨ v, w ⟩) \in E$ ( $w$ is a child of $v$ ). We call a node $v$ a leaf of $G$ , iff it is terminal, i.e. if it does not have children.

root mean square Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\rootmean$
mathml	0
mathml	0

The root mean square of a set ${(x_{1}, \dots, x_{n})}$ is given by:

= (\sqrt{((\frac{1}{n}) (({x_{1}}^{2}) + ({x_{2}}^{2}) + \dots + ({x_{n}}^{2})))})

safe prime de

A safe prime $p$ is a prime number where $\frac{(p - 1)}{2}$ is also a prime.
Sarrus number de

Sarrus numbers are Fermat pseudoprimes to base $2$ .
Schröder number de

A Schröder number is the number of paths from the southwest corner $⟨ 0, 0 ⟩$ of an $n n$ grid to the northeast corner $⟨ n, n ⟩$ , using only single steps north, northeast, or east, that do not rise above the SW-NE diagonal.

The first few Schröder numbers are $1, 2, 6, 22, 90, 394, 1806, 8558, ...$

Schröder-Hipparchus number de

The Schröder-Hipparchus number (or super-Catalan number) $S (n)$ is for natural numbers $n$ defind by the recurrence relation:

	$S (1)$	$equal$	$(S (2)) = 1$
	$S (n)$	$equal$	$(\frac{1}{n}) ((((6 n) - 9) (S ((n - 1)))) - ((n - 3) (S ((n - 2)))))$

Schröder-Hipparchus number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\schroederhippform {a}$
stex/tex	0	$\schroederhippformOp$
mathml	1	$S (a)$
mathml	1	$S (a)$
mathml	0	$S$

The Schröder-Hipparchus number (or super-Catalan number) $S (n)$ is for natural numbers $n$ defined by

S (n)

Schröder-Hipparchus number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\schroederhipp {a}$
stex/tex	0	$\schroederhippOp$
mathml	1	$S (a)$
mathml	1	$S (a)$
mathml	0	$S$

The Schröder-Hipparchus number (or super-Catalan number) $S (n)$ is the number of plane trees with $n$ leaves.

The first Schröder-Hipparchus numbers are: $1, 1, 3, 11, 45, 197, 903, 4279, 20793, 103049, ...$

scientific notation Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\scinotation {a} {b}$
mathml	2	$a \times 10^{b}$
mathml	2	$a \times 10^{b}$

In scientific notation all numbers are written in the form of $a \times 10^{b}$ , ( $a \in ℝ$ times 10 raised to the power of $b \in ℤ$ ), $a$ is called the significand or mantissa.

$a \times 10^{b}$ is called normalized, iff $1 \leq (| a |) < 10$

second Chebyshev de

second derivative de

For any $n \in ℕ$ we define the $n$ th derivative of a function $f : M \to N$ as

(fundefeq [n f x a] {\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a})

$f$ is called infinitely differentiable or smooth at $a \in M$ or on $M$ , iff ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ and $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ exist for all $n \in ℕ$ respectively.

second Skewes number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\skewesnumber$
mathml	0

The second Skewes number is the number above which $(π (n)) \leq (Li (n))$ must fail assuming that the Riemann hypothesis is false.

= (10^{(10^{(10^{1000})})})

second smarandache constant Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\smarandacheconsttwo$
mathml	0

The second smarandache constant is defind by

where $S (n)$ is the smarandache function.

segment Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\segment {a} {b}$
stex/tex	0	$\segmentOp$
mathml	2	$a b$
mathml	2	$a b$
mathml	0

For distinct points $A$ and $B$ , we call the set

(fundefeq [A B] A B)

the segment between $A$ and $B$ .

self prime de
semiprime de
semiring de

A semiring is a ringoid $⟨ S ⟩$ such that $⟨ S ⟩$ and $⟨ S ⟩$ are monoids and $addition$ is commutative.
sequence of partial sums de

For any sequence $(sequenceon [a] n)$ with $(a_{n}) \in ℝ$ or $(a_{n}) \in ℂ$ we define the $n$ -th partial sum $(fundefeq [a n] s_{n})$ .

The series induced by $(n_{a})$ is the sequence of partial sums $(sequenceon [a n] n)$ .
sequence of partial sums de

For any sequence $(sequenceon [a] n)$ with $(a_{n}) \in ℝ$ or $(a_{n}) \in ℂ$ we define the $n$ -th partial sum $(fundefeq [a n] s_{n})$ .

The series induced by $(n_{a})$ is the sequence of partial sums $(sequenceon [a n] n)$ .
series de

For any sequence $(sequenceon [a] n)$ with $(a_{n}) \in ℝ$ or $(a_{n}) \in ℂ$ we define the $n$ -th partial sum $(fundefeq [a n] s_{n})$ .

The series induced by $(n_{a})$ is the sequence of partial sums $(sequenceon [a n] n)$ .

seventh smarandache constant Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\smarandacheconstseven$
mathml	0

The seventh smarandache constant is defind for a natural number $k$ by

where $S (n)$ is the smarandache function.

The sum converges.

Sexy primes de

Sexy primes are prime numbers that differ from each other by six.
Sierpinski number de

A Sierpinski number is an odd natural numbers $k$ such that $(\cdot k 2^{n}) + 1$ is composite, for all natural numbers $n$ .
significand

In scientific notation all numbers are written in the form of $a \times 10^{b}$ , ( $a \in ℝ$ times 10 raised to the power of $b \in ℤ$ ), $a$ is called the significand or mantissa.

$a \times 10^{b}$ is called normalized, iff $1 \leq (| a |) < 10$
simple de
Given a directed graph $G = (⟨ V, E ⟩)$ ,

•
a path $p$ is called cyclic (or a cycle) iff $(start (p)) = (end (p))$ .

•
a cycle $⟨ (v_{0}, \dots, v_{n}) ⟩$ is called simple, iff $v_{i} \neq v_{j}$ for $i, j \leq 1 \leq n$ with $i \neq j$ .

•
$G$ is called acyclic (or a DAG (directed acyclic graph)) iff there is no cycle in $G$ .
simple order de

We call a partial ordering $R$ a total ordering (or simple order or linear order), iff $a \leq b$ or $b \leq a$ for all $a, b \in A$ .

We call a structure $⟨ S, pole ⟩$ of a set $S$ and a total ordering $pole$ an totally ordered set.
simply normal

A real numbers $x$ is said to be simply normal if its digits in every base are equally likely.

A number is absolutely non-normal or absolutely abnormal if it is not simply normal in any base.

$x$ is said to be simply normal in base $b$ if its digits in base $b$ are equally likely.
simply normal in base de

A number is absolutely non-normal or absolutely abnormal if it is not simply normal in any base.

$x$ is said to be simply normal in base $b$ if its digits in base $b$ are equally likely.
sixteenth smarandache constant de

The sixteenth smarandache constant $sixteenth-smarandache-constant$ is defind by

$s_{16} (α)$

where $S (n)$ is the smarandache function.

The sum converges for all real numbers $α > 1$ .

sixth smarandache constant Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\smarandacheconstsix$
mathml	0

The sixth smarandache constant is defind by

where $S (n)$ is the smarandache function.

The sum converges.

(multi-relation-expression 0.218282 lethan lethan 0.5)

size Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\card {a}$
stex/tex	0	$\cardOp$
mathml	1	$# (a)$
mathml	1	$# (a)$
mathml	0	$#$

We say that a set $A$ is finite and has cardinality (or size) $(# (A)) \in ℕ$ , iff there is a bijective function $f : A \to ({n \in ℕ | (n < (# (A)))})$ .

The cardinality of a set $A$ is also written as $# (A)$ , $# (A)$ , $# (A)$ , or $# (A)$ .

Skewes number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\skewesnumberriemann$
mathml	0

The second Skewes number is the number above which $(π (n)) \leq (Li (n))$ must fail assuming that the Riemann hypothesis is false.

= (10^{(10^{(10^{1000})})})

small set de

A small set of positive integers

S = ({(s_{0}, s_{1}, s_{2}, s_{3}, \dots)})

is a set for that the infinite sum

(\frac{1}{s_{0}}) + (\frac{1}{s_{1}}) + (\frac{1}{s_{2}}) + (\frac{1}{s_{3}}) + \dots

converges.

smallest common multiple Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\leastcommonmultipleOp$
mathml	0	$kgV$
mathml	0	$lcm$

The least common multiple (lcm) (also called the lowest common multiple or smallest common multiple) of two or more integers is the smallest positive integer that is divisible by all given integers.

Smarandache function de

The Smarandache function $S (n)$ is defined for a given positive integer $n$ to be the smallest number such that $n$ divides its factorial.

$S (n)$
smooth de

We call $f$ $n$ times differentiable at $a \in M$ , iff ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ exists as a limit. Analogously, $f$ is $n$ times differentiable on $M$ , iff $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ exists and is total on $M$ .

$f$ is called infinitely differentiable or smooth at $a \in M$ or on $M$ , iff ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ and $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ exist for all $n \in ℕ$ respectively.
Sophie Germain prime de

A prime number $p$ is a Sophie Germain prime if $(2 p) + 1$ is also prime.
sphenic number de

A sphenic number is a natural number that is the product of three distinct prime numbers.
square-full number de

A powerful number is a positive integer $m$ such that for every prime number $p$ dividing $m$ , $p^{2}$ also divides $m$ .

A powerful number is the product of a square and a cube. Powerful numbers are also known as squareful numbers, square-full numbers, or 2-full numbers.
squareful number de

A powerful number is a positive integer $m$ such that for every prime number $p$ dividing $m$ , $p^{2}$ also divides $m$ .

A powerful number is the product of a square and a cube. Powerful numbers are also known as squareful numbers, square-full numbers, or 2-full numbers.
start de
Given a directed graph $G = (⟨ V, E ⟩)$ we call a vector $(p = (⟨ (v_{0}, \dots, v_{n}) ⟩)) \in (V^{(n + 1)})$ a path in $G$ iff $(⟨ v_{i - 1}, v_{i} ⟩) \in E$ for all $1 \leq i \leq n$ , $n > 0$ .

•

$v_{0}$ is called the start of $p$ (write $start (p)$ )

•

$v_{n}$ is called the end of $p$ (write $end (p)$ )

•

$n$ is called the length of $p$ (write $len (p)$ )

Stern prime de

If for a prime $q$ there is no smaller prime $p$ and nonzero integer $b$ such that

q = (p + (2 (b^{2})))

then $q$ is a Stern prime.

Stoneham number de

For coprime numbers $(morethan b c 1)$ , the Stoneham number $α_{b, c}$ is defined as

$α_{b, c}$
strict ordering de

We call a partial ordering $R$ a total ordering (or simple order or linear order), iff $a \leq b$ or $b \leq a$ for all $a, b \in A$ .

We call a structure $⟨ S, pole ⟩$ of a set $S$ and a total ordering $pole$ an totally ordered set.

We call a preorder $pole \subseteq (A \times A)$ on $A$ a partial ordering (or partial order), iff it is antisymmetric. We associate with $pole$ a strict ordering $poless :, = (bsetst [a b] (⟨ a, b ⟩) \in pole)$ .

We often also use the converse relations $pome$ and $pomore$ .

We call a structure $⟨ S, pole ⟩$ of a set $S$ and a partial ordering $pole$ an ordered set.

strong prime de

A strong prime is a prime number that is greater than the arithmetic mean of the nearest primes above and below.

(p_{n}) > (\frac{((p_{(n - 1)}) + (p_{(n + 1)}))}{2})

where $p_{n}$ is the $n$ th prime number.

structure Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\mvstructure {a}$
mathml	1	$⟨ a ⟩$
mathml	1	$⟨ a ⟩$

A structure combines multiple mathematical objects (the components) into a new object. Structures are usually given as finite enumerations, where the components have names by which they can be referenced.

subcover de

A cover of a set $X$ is a collection $C$ of sets, such that $X \subseteq (⋃_{a \in A} U_{a})$ . A subset $C^{'} \subseteq C$ is called a subcover of $X$ , iff it still covers $X$ .
subharmonic series de

Let $M \subseteq ℕ$ , then an infinite series $\sum_{n \in M} (\frac{1}{n})$ is called a subharmonic series.

subset Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\sseteq {a} {b}$
stex/tex	0	$\sseteqOp$
mathml	2	$a \subseteq b$
mathml	2	$a \subseteq b$
mathml	0	$\subseteq$

ro de tr

A set $A$ is a subset of a set $B$ (written $A \subset B$ ), iff all $x \in A$ are members of $B$ .

sum Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	4	$\Sumfromto {a} {b} {c} {d}$
mathml	2	$\sum_{c = b}^{a} d$
mathml	2	$\sum_{c = b}^{a} d$

Summation is iterated addition, we define the sum over a sequnce $a_{i}$ by

	$(\sum_{i = n}^{m} a_{i}) :, = (defined-piecewise (0 wenn (n = m)) ((a_{n}) sonst))$
0	wenn(n=m)
(an)	sonst

The variable $i$ is called the index of summation and $n$ and $m$ the lower and upper bound of the sum respectively, together the specify the range of summation.

sum of squares function Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\sumsquarefunc {a} {b}$
mathml	2	$r_{a} (b)$
mathml	2	$r_{a} (b)$

The function $r_{n} (k)$ is called sum of squares function.

(r_{n} (k)) = (# ((bsetst [a n] (⟨ a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} ⟩) \in (ℤ^{n}))))

sum-of-divisors function Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\sumdiv {a}$
mathml	1	$σ_{1} (a)$
mathml	1	$σ (a)$
mathml	1	$σ (a)$
mathml	1	$σ_{1} (a)$

The sum-of-divisors function $σ_{1} (n)$ (also written as $σ_{1} (n)$ ) is defined as the sum of the positive divisors of $n$ , i.e. $σ_{1} (n)$

summatory von Mangoldt function de

The summatory von Mangoldt function, also known as the Chebyshev function, is defined as

$ψ$

super-Catalan number de

The Schröder-Hipparchus number (or super-Catalan number) $S (n)$ is for natural numbers $n$ defind by the recurrence relation:

	$S (1)$	$equal$	$(S (2)) = 1$
	$S (n)$	$equal$	$(\frac{1}{n}) ((((6 n) - 9) (S ((n - 1)))) - ((n - 3) (S ((n - 2)))))$

super-Catalan number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\schroederhippform {a}$
stex/tex	0	$\schroederhippformOp$
mathml	1	$S (a)$
mathml	1	$S (a)$
mathml	0	$S$

The Schröder-Hipparchus number (or super-Catalan number) $S (n)$ is for natural numbers $n$ defined by

S (n)

super-Catalan number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\schroederhipp {a}$
stex/tex	0	$\schroederhippOp$
mathml	1	$S (a)$
mathml	1	$S (a)$
mathml	0	$S$

The Schröder-Hipparchus number (or super-Catalan number) $S (n)$ is the number of plane trees with $n$ leaves.

The first Schröder-Hipparchus numbers are: $1, 1, 3, 11, 45, 197, 903, 4279, 20793, 103049, ...$

superior limit Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\limsuperior {a} {b}$
mathml	2	$\bar{{lim}_{a \to \infty}} b$
mathml	2	${lim sup}_{a \to \infty} b$
mathml	2	$lim {sup}_{a \to \infty} b$
mathml	2	$\bar{{lim}_{a \to \infty}} b$

Ist $⟨ M, d ⟩$ ein metrischer Raum und $(sequenceon [a] n)$ eine Folge mit $(a_{i}) \in M$ für $i \in ℕ$ , so ist der

•

Limes superior $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (schreibe auch $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) definiert durch

(fundefeq [a] \bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

•

Limes inferior $\underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (schreibe auch $\underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) definiert durch

(fundefeq [a] \underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

Let $⟨ M, d ⟩$ be a metric space and $(sequenceon [a] n)$ a sequence with $(a_{i}) \in M$ for all $i \in ℕ$ , then the

•

limit superior (also called supremum limit, superior limit, upper limit, or outer limit) $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (also written as $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) is defined as

(fundefeq [a] \bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

•

(fundefeq [a] \underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

superset Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\superseteq {a} {b}$
stex/tex	0	$\superseteqOp$
mathml	2	$a \supseteq b$
mathml	2	$a \supseteq b$
mathml	0	$\supseteq$

ro de tr

A set $A$ is a superset of a set $B$ (written $A \supset B$ ), iff $B \subset A$ .

supremum Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\supremum {a}$
stex/tex	0	$\supremumFN$
mathml	1	$sup (a)$
mathml	0	$sup$

supremum limit Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\limsuperior {a} {b}$
mathml	2	$\bar{{lim}_{a \to \infty}} b$
mathml	2	${lim sup}_{a \to \infty} b$
mathml	2	$lim {sup}_{a \to \infty} b$
mathml	2	$\bar{{lim}_{a \to \infty}} b$

Ist $⟨ M, d ⟩$ ein metrischer Raum und $(sequenceon [a] n)$ eine Folge mit $(a_{i}) \in M$ für $i \in ℕ$ , so ist der

•

Limes superior $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (schreibe auch $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) definiert durch

(fundefeq [a] \bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

•

Limes inferior $\underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (schreibe auch $\underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) definiert durch

(fundefeq [a] \underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

Let $⟨ M, d ⟩$ be a metric space and $(sequenceon [a] n)$ a sequence with $(a_{i}) \in M$ for all $i \in ℕ$ , then the

•

limit superior (also called supremum limit, superior limit, upper limit, or outer limit) $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (also written as $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) is defined as

(fundefeq [a] \bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

•

(fundefeq [a] \underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

surjective de

A function $f : S \to T$ is called surjective iff for all $y \in T$ there is a $x \in S$ with $(f) = y$ .
symmetric de
A relation $R \subseteq (A \times A)$ is called

•
symmetric on $A$ , iff $(⟨ b, a ⟩) \in R$ for all $a, b \in A$ with $(⟨ a, b ⟩) \in R$ .

•
asymmetric on $A$ , iff $(⟨ b, a ⟩) \notin R$ for all $a, b \in A$ with $(⟨ a, b ⟩) \in R$ .

•
antisymmetric on $A$ , iff $(⟨ a, b ⟩) \in R$ and $(⟨ b, a ⟩) \in R$ imply $a = b$ .
symmetry de
Let $M$ be a set, then we call a function $d : (M \times M) \to ℝ$ a distance function (or metric ) on $M$ , iff for all $x, y, z \in M$ the following three identities hold:

1.

$(d) = 0$ iff $x = y$ (identity of indiscernibles),

2.

$(d) = (d)$ (symmetry), and

3.

$(d) \leq ((d) + (d))$ (triangle inequality).

We call $⟨ M, d ⟩$ a metric space with base set $M$ and metric $d$ .

taxicab number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\taxicab {a}$
stex/tex	0	$\taxicabOp$
mathml	1	$Ta (a)$
mathml	0	$Ta$

The $n$ th taxicab number $Ta (n)$ is defined as the smallest number that can be expressed as a sum of two positive cubes in $n$ distinct ways.

For example:

(multi-relation-expression Ta (3) equal 87539319 equal (167^{3}) + (436^{3}))

equal

equal

Taylor series Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	3	$\taylorserieswrtat {a} {b} {c}$
mathml	3	$𝑇 a (b; c)$

Let $f$ be a real-or complex-valued function that is smooth at a limit point $a$ of the domain of $f$ , then we call the infinite series given by

(fundefeq [f x a] 𝑇 f (x; a))

the Taylor series for $f$ around $a$ . If $a = 0$ , then the series is known as the Mclaurin series.

tenth smarandache constants

The tenth smarandache constants are defind by

$s_{10} (α)$

where $S (n)$ is the smarandache function.

The sum converges for all real number $α > 1$ .

th derivative de

For any $n \in ℕ$ we define the $n$ th derivative of a function $f : M \to N$ as

(fundefeq [n f x a] {\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a})

$f$ is called infinitely differentiable or smooth at $a \in M$ or on $M$ , iff ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ and $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ exist for all $n \in ℕ$ respectively.

Thabit number de

A Thabit number is an integer of the form

$(\cdot 3 2^{n}) - 1$

for a non-negative integer $n$ .

third derivative de

For any $n \in ℕ$ we define the $n$ th derivative of a function $f : M \to N$ as

(fundefeq [n f x a] {\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a})

$f$ is called infinitely differentiable or smooth at $a \in M$ or on $M$ , iff ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ and $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ exist for all $n \in ℕ$ respectively.

third smarandache constant Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\smarandacheconstthree$
mathml	0

The third smarandache constant is defind by

where $S (n)$ is the smarandache function.

thirteenth smarandache constant Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\smarandacheconstthirteen$
mathml	0

The thirteenth smarandache constant is defind by

where $S (n)$ is the smarandache function.

The sum converges.

times differentiable de

We call $f$ $n$ times differentiable at $a \in M$ , iff ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ exists as a limit. Analogously, $f$ is $n$ times differentiable on $M$ , iff $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ exists and is total on $M$ .

$f$ is called infinitely differentiable or smooth at $a \in M$ or on $M$ , iff ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ and $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ exist for all $n \in ℕ$ respectively.
topological space de
A topological space $⟨ X, O ⟩$ is a set $X$ together with a collection $O \subseteq (𝒫 (X))$ , such that

1.

$, X \in O$ .

2.

$(⋃_{S \in S} s) \in O$ if $S \subseteq S$ .

3.

$(⋂_{S \in S} s) \in O$ if $S \subseteq S$ is finite.

$O$ is called an open set topology (or just topology) on $X$ . Members of a topology $O$ are called open sets and their complements closed sets. A subset of $X$ may be neither closed nor open, either closed or open, or both. A set that is both closed and open is called a clopen set.
topology de
A topological space $⟨ X, O ⟩$ is a set $X$ together with a collection $O \subseteq (𝒫 (X))$ , such that

1.

$, X \in O$ .

2.

$(⋃_{S \in S} s) \in O$ if $S \subseteq S$ .

3.

$(⋂_{S \in S} s) \in O$ if $S \subseteq S$ is finite.

$O$ is called an open set topology (or just topology) on $X$ . Members of a topology $O$ are called open sets and their complements closed sets. A subset of $X$ may be neither closed nor open, either closed or open, or both. A set that is both closed and open is called a clopen set.
total function de

If $f : X ⇀ Y$ is a total relation (i.e. for all $x \in X$ there is a unique $y \in Y$ with $(⟨ x, y ⟩) \in f$ ), we call $f$ a total function and write $f : X \to Y$ .
total ordering de

We call a partial ordering $R$ a total ordering (or simple order or linear order), iff $a \leq b$ or $b \leq a$ for all $a, b \in A$ .

We call a structure $⟨ S, pole ⟩$ of a set $S$ and a total ordering $pole$ an totally ordered set.
totally ordered set de

We call a partial ordering $R$ a total ordering (or simple order or linear order), iff $a \leq b$ or $b \leq a$ for all $a, b \in A$ .

We call a structure $⟨ S, pole ⟩$ of a set $S$ and a total ordering $pole$ an totally ordered set.
transitive de

A relation $R \subseteq (A \times A)$ is called transitive on $A$ , iff $(⟨ a, c ⟩) \in R$ for all $a, b, c \in A$ with $(⟨ a, b ⟩) \in R$ and $(⟨ b, c ⟩) \in R$ .

transitive-reflexive closure Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\transitiveclosure {a}$
mathml	1	$a^{*}$

Let $R$ be a binary relation, then we call the smallest transitive, reflexive relation that contains $R$ the transitive-reflexive closure of $R$ we denote it with $R^{*}$ .

tree de
A tree is a directed acyclic graph $G = (⟨ V, E ⟩)$ such that

•
there is exactly one initialnode $v_{r} \in V$ (called the root), and

•
all nodes but the root have indegree 1.

We call $v$ the parent of $w$ , iff $(⟨ v, w ⟩) \in E$ ( $w$ is a child of $v$ ). We call a node $v$ a leaf of $G$ , iff it is terminal, i.e. if it does not have children.
triangle inequality de
Let $M$ be a set, then we call a function $d : (M \times M) \to ℝ$ a distance function (or metric ) on $M$ , iff for all $x, y, z \in M$ the following three identities hold:

1.

$(d) = 0$ iff $x = y$ (identity of indiscernibles),

2.

$(d) = (d)$ (symmetry), and

3.

$(d) \leq ((d) + (d))$ (triangle inequality).

We call $⟨ M, d ⟩$ a metric space with base set $M$ and metric $d$ .
trivial divisor de

$1$ , $1$ , $n$ , and $n$ are known as the trivial divisors of $n$ . A divisor of $n$ that is not a trivial divisor is known as a proper or non-trivial divisor.

twelfth Smarandache constants

Let $(: f (\to N R))$ be a function which satisfies the condition

(f t) < (\frac{c}{((\cdot t^{α} τ ((t!))) - (τ (((n - 1)!))))})

for a natural numbers $t > 0$ , the given constants $α > 1$ , $c > 12$ and $τ (n)$ is the number of divisors of $n$ . The twelfth Smarandache constants are defind by:

s_{12} (f)

The sum converges.

two-sided prime

A two-sided prime is both left-truncatable and right-truncatable.

For example: $3137$
undefined at de

We call a partial function $f : X ⇀ Y$ undefined at $x \in X$ (write $(f) = ⊥$ ), iff $(⟨ x, y ⟩) \notin f$ for all $y \in Y$ .
uniformly convergent

Let $A$ be a set, $⟨ B, d ⟩$ a metric space, and $(sequenceon [f] n)$ a sequence of functions $(f_{i}) : A \to B$ , then we call $(sequenceon [f] n)$ uniformly convergent to $f : A \to B$ on $A^{'} \subseteq A$ , iff for every $ϵ \geq 0$ , there exists a $N \in ℕ$ , such that for all $x \in A^{'}$ and all $n \geq N$ we have $(d) < ϵ$ .

Ist $A$ eine Menge, $⟨ B, d ⟩$ ein metrischer Raum und $(sequenceon [f] n)$ eine Folge von Funktionen $(f_{i}) : A \to B$ , dann nennen wir $(sequenceon [f] n)$ gleichmäïg konvergent gegen $f : A \to B$ auf $A^{'} \subseteq A$ , falls zu jedem $ϵ \geq 0$ ein $N \in ℕ$ existiert, so dass $(d) < ϵ$ für alle $x \in A^{'}$ und alle $n \geq N$ .
unit fraction de
upper bound

Let $⟨ S ⟩$ be a proset and $T \subseteq S$ , then we call $b \in S$ an upper bound of $T$ , iff $(lessthan)$ for all $t \in T$ and an lower bound, iff $(lessthan)$ for all $t \in T$ .

upper bound de

We define the product over a sequence $a_{i}$ by

	$(\prod_{i = n}^{m} a_{i}) :, = (defined-piecewise (1 wenn (n = m)) ((a_{n}) sonst))$
1	wenn(n=m)
(an)	sonst

The variable $i$ is called the index of multiplication and $n$ and $m$ the lower and upper bounds of the product respectively, together the specify the range of multiplication.

upper bound de

Summation is iterated addition, we define the sum over a sequnce $a_{i}$ by

	$(\sum_{i = n}^{m} a_{i}) :, = (defined-piecewise (0 wenn (n = m)) ((a_{n}) sonst))$
0	wenn(n=m)
(an)	sonst

The variable $i$ is called the index of summation and $n$ and $m$ the lower and upper bound of the sum respectively, together the specify the range of summation.

upper limit Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\limsuperior {a} {b}$
mathml	2	$\bar{{lim}_{a \to \infty}} b$
mathml	2	${lim sup}_{a \to \infty} b$
mathml	2	$lim {sup}_{a \to \infty} b$
mathml	2	$\bar{{lim}_{a \to \infty}} b$

Ist $⟨ M, d ⟩$ ein metrischer Raum und $(sequenceon [a] n)$ eine Folge mit $(a_{i}) \in M$ für $i \in ℕ$ , so ist der

•

Limes superior $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (schreibe auch $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) definiert durch

(fundefeq [a] \bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

•

Limes inferior $\underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (schreibe auch $\underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) definiert durch

(fundefeq [a] \underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

Let $⟨ M, d ⟩$ be a metric space and $(sequenceon [a] n)$ a sequence with $(a_{i}) \in M$ for all $i \in ℕ$ , then the

•

limit superior (also called supremum limit, superior limit, upper limit, or outer limit) $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ (also written as $\bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i})$ ) is defined as

(fundefeq [a] \bar{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

•

(fundefeq [a] \underline{{lim}_{i \to \infty}} (a_{i}))

vector de

Let $A$ be a set, then the $n$ -dim Cartesian space $A^{n}$ over $A$ is $(bsetst [a n] ⟨ (a_{1}, \dots, a_{n}) ⟩)$ . We call $(⟨ (a_{1}, \dots, a_{n}) ⟩) \in (A^{n})$ a vector.

vector product Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\vectorproduct {a}$
stex/tex	0	$\vectorproductOp$
mathml	0	$\times$

Let $V$ be an $n$ -dimensional vector space and ${(v_{1}, \dots, v_{n})}$ be a basis of $V$ , we then define the vector product of the vectors $w_{1}, ..., w_{(n - 1)}$ as

(nfundefeqli [w] 1)

vertex

A pair of rays $\vec{A B}$ and $\vec{A C}$ is called an angle with vertex $A$ . We write $⟨ (\vec{A B}), (\vec{A C}) ⟩$ as $∠ A B C$ .
vertices de

A directed graph (also called digraph or oriented graph) is a pair $⟨ V, E ⟩$ such that $V$ is a set and $E \subseteq (V \times V)$ . We call $V$ the vertices (or nodes) and $E$ the edges of $G$ .
vertices de

A graph is a pair $⟨ V, E ⟩$ such that $V$ is a set and $E \subseteq (V \times V)$ is a subset of the set of pairs from $V$ . We call $V$ the vertices (or nodes, points,junctions) and $E$ the edges (or lines, branches, arcs) of $G$ .

Wagstaff prime de

A Wagstaff prime is a prime number $p$ of the form

p = (\frac{((2^{q}) + 1)}{3})

where $q$ is another prime.

weakly prime de

A prime number is called weakly prime if it becomes composite when any one of its digits is changed to every single other digit.
Wieferich prime de

A Wieferich prime is a prime number $p$ such that $p^{2}$ divides $(2^{(p - 1)}) - 1.0$

Wilbraham-Gibbs constant

The sine integral of $π$ is called the Wilbraham-Gibbs constant.

(startswith Si (π) 1 851937)

Wilson number de

A Wilson number is an integer $n$ such that $(W (n)) \equiv 0 mod n$ where $W (n)$ denotes the Wilson quotient $\frac{(((n - 1)!) + 1)}{n}$ .
Wilson prime de

A Wilson prime is a prime number $p$ such that $p^{2}$ divides $((p - 1)!) + 1$ .

Wilson quotient de

For an integer $m$ the Wilson quotient $W (m)$ is defind by

(W (m)) = (\frac{(((m - 1)!) + 1)}{m})

Wolstenholme prime de

A prime $p$ is called a Wolstenholme prime iff the following condition holds:

(𝒞_{(p - 1)}^{((2 p) - 1)}) \equiv 1 mod (p^{4})

Woodall number Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\woodnumber {a}$
mathml	1	$W_{a}$

zero de

A structure $⟨ R ⟩$ is called a ring, if $⟨ R ⟩$ is a Abelian group (called the additive structure), $⟨ R ⟩$ is a monoid (called the multiplicative structure), and $⟨ R ⟩$ is a ringoid.

We call $0$ the zero of the ring and $1$ the one of the ring.
zero de

Let $K$ be a field, $0 \in K$ its additive unit, and $f : D \to K$ for a set $D$ , then we call any $z \in (f^{- 1} (0))$ a zero of $f$ .
zerofree de

An integer whose decimal digits contain no zeros is said to be zerofree.

alt Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\sseteq {a} {b}$
stex/tex	0	$\sseteqOp$
mathml	2	$a \subseteq b$
mathml	2	$a \subseteq b$
mathml	0	$\subseteq$

ro de en

$A$ kümesi, $B$ kümesinin alt kümesidir ( $A \subset B$ olarak yazılır), eğer her bir $x \in A$ $B$ ’nin de elemanı ise.

ayrık de ro en

İki küme $A$ ve $B$ ’ye, ayrık denir, eğer $(A \cap B) =$ ise.

Bir mümeler ailesi çift olarak ayrık ya da karşılıklı olarak ayrık dır, eğer herhangi iki tanesi ayrık ise.

birleşim Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	3	$\munionCollection {a} {b} {c}$
mathml	2	$⋃_{b \in a} c$
mathml	2	$⋃_{b \in a} c$

de ro ru

$I$ bir küme ve $(bsetst [i] S_{i})$ bir kümeler ailesi olsun. Bu durumda, $S$ topluluğu üzerindeki birleşim $⋃_{i \in I} S_{i}$ şudur: $(bsetst [x] x)$ için.

birleşim Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\union {a}$
stex/tex	0	$\unionOp$
mathml	1	$a$
mathml	1	$a$
mathml	0	$\cup$

de ro ru

$A$ ve $B$ iki küme olsun. Bu durumda, $A$ ve $B$ ’nin birleşimi $A \cup B$ , $(bsetst [x] x)$ olarak tanımlanır.

Boş küme Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\eset$
mathml	0	$\emptyset$
mathml	0

en de ro

Boş küme ( olarak da yazılır) hiç elemanı olmayan k umedir.

düzgün alt küme Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\superset {a} {b}$
stex/tex	0	$\supersetOp$
mathml	2	$a \supset b$
mathml	2	$a \supset b$
mathml	0	$\supset$

ro en

$A$ kümesi, $B$ kümesinin bir düzgün alt kümesidir ( $A \supseteq B$ olarak yazılır), eğer $B \subseteq A$ ise.

düzgün alt küme Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\sset {a} {b}$
stex/tex	0	$\ssetOp$
mathml	2	$a \subset b$
mathml	2	$a \subset b$
mathml	0	$\subset$

ro de en

$A$ kümesi, $B$ kümesinin düzgün alt kümesidir ( $A \subseteq B$ olarak yazılır), eğer $A \subset B$ ise ama $A ≢ B$ ise.

eşit Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\setequal {a}$
stex/tex	0	$\setequalOp$
mathml	1	$a$
mathml	1	$a$
mathml	0	$\equiv$

ro de ru

İki küme $A$ ve $B$ eşittir ( $A \equiv B$ olarak yazılır), eğer her ikisi de aynı elemanlara sahip iseler.

fark kümesi Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\setdiff {a} {b}$
stex/tex	0	$\setdiffOp$
mathml	2	$a \ b$
mathml	2	$a \ b$
mathml	0	$\$

de ro bg

$A$ ve $B$ iki küme olsun. Bu durumda, $A$ ve $B$ ’nin fark kümesi $A \ B$ $(bsetst [x] x)$ dir.

karşılıklı olarak ayrık ro de en

Bir mümeler ailesi çift olarak ayrık ya da karşılıklı olarak ayrık dır, eğer herhangi iki tanesi ayrık ise.

kesişim Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	3	$\mintersectCollection {a} {b} {c}$
mathml	2	$⋂_{b \in a} c$
mathml	2	$⋂_{b \in a} c$

de ro en

$I$ bir küme ve $S_{i}$ $I$ tarafından indekslenmiş bir küme ailesi olsun. Bu durumda $I$ üzerine kesişim $(bsetst [x] x)$ $⋂_{i \in I} S_{i}$ dir.

kesişim Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\intersect {a}$
stex/tex	0	$\intersectOp$
mathml	1	$a$
mathml	1	$a$
mathml	0	$\cap$

de ro en

$A$ ve $B$ iki küme olsun. Bu durumda, $A$ ve $B$ ’nin kesişim i $A \cap B$ , $(bsetst [x] x)$ dir.

çift Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\pairs {a} {b}$
stex/tex	0	$\pairsFN$
mathml	2	$a \times b$
mathml	2	$a \times b$
mathml	0	$\times$

en ro de

$A$ ve $B$ iki küme olsun. Bu durumda, $A$ ve $B$ çifti $A \times B$ , $(bsetst [a b] ⟨ a, b ⟩)$ olarak tanımlanır, $(⟨ a, b ⟩) \in (A \times B)$ ’ya bir çift denir.

çift Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\pair {a} {b}$
mathml	2	$⟨ a, b ⟩$
mathml	2	$⟨ a, b ⟩$

en ro de

$A$ ve $B$ iki küme olsun. Bu durumda, $A$ ve $B$ çifti $A \times B$ , $(bsetst [a b] ⟨ a, b ⟩)$ olarak tanımlanır, $(⟨ a, b ⟩) \in (A \times B)$ ’ya bir çift denir.

çift olarak ayrık ro de en

Bir mümeler ailesi çift olarak ayrık ya da karşılıklı olarak ayrık dır, eğer herhangi iki tanesi ayrık ise.

üssü küme Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\powerset {a}$
stex/tex	0	$\powersetFN$
mathml	1	$𝒫 (a)$
mathml	1	$𝒫 (a)$
mathml	0	$𝒫$

de ro bg

$A$ bir küme olsun. Bu durumda, $A$ ’nin üssü kümesi $𝒫 (A)$ , $(bsetst [S] S)$ dir.

üst küme Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\superseteq {a} {b}$
stex/tex	0	$\superseteqOp$
mathml	2	$a \supseteq b$
mathml	2	$a \supseteq b$
mathml	0	$\supseteq$

ro de en

$A$ kümesi, $B$ kümesinin bir üst kümesidir ( $A \supset B$ olarak yazılır), eğer $B \subset A$ ise.

mal differeinzierbar en

Wir nennen $f$ $n$ mal differeinzierbar in $a \in M$ , falls ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ als Grenzwert existiert. Analog nennen wir $f$ $n$ mal differenzierbar auf $M$ , falls $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ existiert und auf $M$ total ist.

Wir nennen $f$ unendlich differenzierbar oder glatt auf $a \in M$ oder $M$ , wenn ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ beziehungsweise $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ für alle $n \in ℕ$ existieren.
mal differenzierbar en

Wir nennen $f$ $n$ mal differeinzierbar in $a \in M$ , falls ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ als Grenzwert existiert. Analog nennen wir $f$ $n$ mal differenzierbar auf $M$ , falls $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ existiert und auf $M$ total ist.

Wir nennen $f$ unendlich differenzierbar oder glatt auf $a \in M$ oder $M$ , wenn ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ beziehungsweise $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ für alle $n \in ℕ$ existieren.
-Abschluss en

Ist $p$ eine Eigenschaft und $R \subseteq (A \times B)$ eine Relation, dann nennen wir die kleinste (bezüglich $subset$ ) Relation $R^{'} \supseteq R$ die Eigenschaft $p$ hat den $p$ -Abschluss von $R$ .
-additiv

Eine Folge von Zahlen ist $s$ -additiv, wenn jede Zahl der Folge, nach den $2 s$ Anfangsgliedern, auf genau $s$ Arten als Summe zweier vorheriger Zahlen der Folge dargestellt werden kann.

-dimenionale Cartesische Raum Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\ndim {a} {b}$
mathml	2	$a^{b}$
mathml	2	$a^{b}$

Der $n$ -dimenionale Cartesische Raum $A^{n}$ über einer Menge $A$ ist definiert als $(bsetst [a n] ⟨ (a_{1}, \dots, a_{n}) ⟩)$ . Wir nennen ein element $(⟨ (a_{1}, \dots, a_{n}) ⟩) \in (A^{n})$ einen Vektor.

-fache Cartesische Product Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\cart {a}$
stex/tex	0	$\cartFN$
mathml	1	$a$
mathml	1	$a$
mathml	0	$\times$

Sei $A$ eine Familie von Mengen dann definieren wir das $n$ -fache Cartesische Product $A_{1} \times ... \times A_{n}$ als $(bsetst [a n] ⟨ (a_{1}, \dots, a_{n}) ⟩)$ , und nennen $(⟨ (a_{1}, \dots, a_{n}) ⟩) \in (A_{1} \times ... \times A_{n})$ $n$ -Tupel.

Wir nennen die Funktion $(projection i) : (A_{1} \times ... \times A_{n}) \to A_{i}; (⟨ (a_{1}, \dots, a_{n}) ⟩) \mapsto a_{i}$ die $i$ te Projektion.

-gleich en

Wir nennen eine Formel $A$ eine alphabetische Variante von $B$ (oder -gleich; schreibe $(alphaeq A) B$ ), wenn $B$ aus $A$ hervorgeht durch systematische Umbenennung gebundener Variablen.
-perfekt en
-potente Zahl en

Eine $k$ -potente Zahl ist eine natürliche Zahl $m$ , so dass für jeden Primteiler $p$ von $m$ auch $p^{k}$ Teiler von $m$ ist.
-potenzglatt en

Eine natürliche Zahl heißt $S$ -potenzglatt bezüglich einer Schranke $S$ , wenn in ihrer Primfaktorzerlegung nur Primpotenzen kleiner oder gleich $S$ vorkommen. Das heißt, für jeden Primfaktor $p$ , der $k$ mal vorkommt, gilt: $(p^{k}) < S$ .
-regulär en

Wenn in einem Graph $G$ alle Ecken denselben Grad aufweisen, sagen wir $k$ , dann nennt man $G$ $k$ -regulär, oder schlicht regulär.

Ein 3-regulärer Graph wird auch kubischer Graph genannt.
-Simplex en

Ein $k$ -Simplex ist ein $k$ -dimensionales Polytop das als die konvexe Hülle von $k + 1$ affin unabhängigen Punkten in $ℝ^{k}$ gegeben ist.

-Tupel Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\tup {a}$
mathml	1	$⟨ a ⟩$
mathml	1	$⟨ a ⟩$

Wir nennen die Funktion $(projection i) : (A_{1} \times ... \times A_{n}) \to A_{i}; (⟨ (a_{1}, \dots, a_{n}) ⟩) \mapsto a_{i}$ die $i$ te Projektion.

-Ulam-Folge en

Die $⟨ u, v ⟩$ -Ulam-Zahlen $U_{n}$ bilden eine ganzzahlige Folge. Die $⟨ u, v ⟩$ -Ulam-Folge beginnt mit $(U_{1}) = u$ und $(U_{2}) = v$ . Für $n > 2$ wird dann $U_{n}$ definiert als die kleinste ganze Zahl, die sich auf genau eine Weise als Summe zweier verschiedener vorhergehender Ulam-Zahlen darstellen lässt.
-Ulam-Zahlen en

Die $⟨ u, v ⟩$ -Ulam-Zahlen $U_{n}$ bilden eine ganzzahlige Folge. Die $⟨ u, v ⟩$ -Ulam-Folge beginnt mit $(U_{1}) = u$ und $(U_{2}) = v$ . Für $n > 2$ wird dann $U_{n}$ definiert als die kleinste ganze Zahl, die sich auf genau eine Weise als Summe zweier verschiedener vorhergehender Ulam-Zahlen darstellen lässt.
abgeschlossen o en
Ein topologischer Raum $⟨ X, O ⟩$ ist eine Menge $X$ zusammen mit einer Familie $O \subseteq (𝒫 (X))$ , so daß

1.
$, X \in O$ .

2.
$(⋃_{S \in S} s) \in O$ falls $S \subseteq S$ .

3.
$(⋂_{S \in S} s) \in O$ falls $S \subseteq S$ endlich.

Dann heißt $O$ eine Topologie) auf $X$ . Elemente der Topologie $O$ heißen offene Mengen und ihre Komplemente abgeschlossen oder einfach geschlossen . Eine Teilmenge von $X$ kann weder gesclossen noch offen, oder gesclossen, oder offen oder beides.

Ableitung Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\derivativefunction {a}$
mathml	1	$D a$
mathml	1	$\dot{a}$
mathml	1	$a^{'}$
mathml	1	$a^{'}$
mathml	1	$\dot{a}$
mathml	1	$D a$

Ist $f : M \to N$ differenzierbar auf $M$ , so definieren wir die Ableitungsfunktion $(D_{x} f) : M \to N$ von $f$ nach $x$ als

(fundefeq [f x a] D_{x} f (a))

Die Abhängigkeit von $x$ ist bleibt dieser Notation (Lagrange Notation) implizit. In Leibniz Notation schreiben wir die Ableitungsfunktion von $f$ nach $x$ als $D_{x} f$ . In Eulers Notation schreiben wir $D_{x} f (a)$ und in Newtonnotation $D_{x} f (a)$ .

Wir nennen $f : M \to N$ differenzierbar an einem Häufungspunkt $p \in M$ , falls der Grenzwert

d :, = ({lim}_{x \to p} (\frac{(d_{B})}{(d_{A})}))

existiert. Dieser Grenzwert heißt Ableitung von $f$ nach $x$ an der Stelle $p$ . Wir nennen $f$ differenzierbar auf $M$ , falls $f$ differenzierbar an jedem $m \in M$ ist.

Ableitungsfunktion en

Ist $f : M \to N$ differenzierbar auf $M$ , so definieren wir die Ableitungsfunktion $(D_{x} f) : M \to N$ von $f$ nach $x$ als

$(fundefeq [f x a] D_{x} f (a))$

Die Abhängigkeit von $x$ ist bleibt dieser Notation (Lagrange Notation) implizit. In Leibniz Notation schreiben wir die Ableitungsfunktion von $f$ nach $x$ als $D_{x} f$ . In Eulers Notation schreiben wir $D_{x} f (a)$ und in Newtonnotation $D_{x} f (a)$ .

Abrundung Show Notations

Languages

Arguments

Rendering

stex/tex

\floor {a}

mathml

http://mathhub.info/smglom/numberfields/ceilingfloor.omdoc?ceilingfloor?floora

mathml

[a]

mathml

⌊ a ⌋

mathml

⌊ a ⌋

mathml

[a]

mathml

http://mathhub.info/smglom/numberfields/ceilingfloor.omdoc?ceilingfloor?floora

Die Abrundung (oder der ganze Teil)

http://mathhub.info/smglom/numberfields/ceilingfloor.omdoc?ceilingfloor?floorr einer reellen Zahl

r

ist die größte ganze Zahl, die nicht größer ist als

r

. Die Aufrundungsfunktion wird auch die Gaussklammer genannt; dann wird sie als

http://mathhub.info/smglom/numberfields/ceilingfloor.omdoc?ceilingfloor?floorr geschrieben.

absolut nicht-normal en

Eine reelle Zahl ist absolut nicht-normal oder absolut unnormal, wenn sie in keiner Basis einfach normal ist.
absolut unnormal en

Eine reelle Zahl ist absolut nicht-normal oder absolut unnormal, wenn sie in keiner Basis einfach normal ist.

Absolutbetrag Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\absolutevalue {a}$
mathml	1	$\| a \|$
mathml	1	$\| a \|$

Der Absolutbetrag $| r |$ einer reellen Zahl $r$ ist definiert als $(defined-piecewise (r wenn (r \geq 0)) ((r) sonst))$ .

Abstandsfunktion en
Für eine Mente $M$ nennen wir eine Funktion $d : (M \times M) \to ℝ$ eine Abstandsfunktion (or Metrik ) auf $M$ , falls die folgenden drei Eigenschaften für alle $x, y, z \in M$ gelten:

1.

$(d) = 0$ gdw. $x = y$ (Definitheit),

2.

$(d) = (d)$ (Symmetrie) und

3.

$(d) \leq ((d) + (d))$ (Dreiecksungleichung).

Wir nennen $⟨ M, d ⟩$ einen metrischen Raum mit Grundmenge $M$ und Metrik $d$ .
Abundancy en

Die Abundancy einer ganzen Zahl $n$ ist das Verhältnis $\frac{(σ_{1} (n))}{n}$ . Dabei ist $σ_{1} (n)$ die Teilersummenfunktion.
Abundanz en

Die Abundanz einer positiven ganzen Zahl $n$ ist der Wert $(σ_{1} (n)) - (2 n)$ .
abzählbar en

Wir nennen eine Menge $A$ abzählbar, wenn es eine surjektive Function $f : A \to ℕ$ gibt.
abzählbar unendlich en

Wir nennen eine Menge $A$ abzählbar unendlich, wenn es eine bijektive Function $f : A \to ℕ$ gibt.
Achilles Zahl en

Eine Achilles Zahl ist eine potente Zahl aber keine perfekte Potenz.

achte Smarandache-Konstante Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\smarandacheconsteight$
mathml	0

Die achte Smarandache-Konstante ist für eine natürliche Zahl $k$ definiert als

Dabei ist $S (n)$ die Smarandache-Funktion.

Die Summe konvergiert.

Addition Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\aplus {a}$
stex/tex	0	$\aplusOp$
mathml	1	$a$
mathml	1	$a$
mathml	0	$+$

Die arithmetischen Operationen sind Addition $addition$ , Subtraktion, $subtraction$ , Multiplikation $multiplication$ , Division $division$ und Exponentiation.

additive Struktur en

Eine Struktur $⟨ R ⟩$ heißt Ring, wenn $⟨ R ⟩$ eine Abelsch e Gruppe ist (die additive Struktur), $⟨ R ⟩$ ein Monoid (die multiplikative Struktur) ist, sowie $⟨ R ⟩$ is a Ringoid.

Wir nennen $0$ die Null des Rings und entsprechend $1$ die Eins.
adjazent en

Zwei Ecken $x$ und $y$ in einem Graph $G$ sind adjazent, oder Nachbarn, wenn $⟨ x, y ⟩$ eine Kante von $G$ ist.

Zwei Kanten $e \neq f$ sind adjazent, wenn sie ein Ende gemeinsam haben.
affin unabhängig en

Wir nennen eine Menge $(bsetst [i] u_{i})$ von Punkten in $ℝ^{n}$ affin unabhängig, wenn die Menge $(bsetst [i] u_{0} - u_{i})$ linear unabhängig sind.
Aliquot-Folge en

Eine Aliquot-Folge startet mit einer positiven ganzen Zahl $k$ . Jedes weitere Glied ist die Summe der echtenTeiler des vorhergehenden Gliedes.
all-Harshad-Zahl en

Eine all-Harshad-Zahl oder eine all-Niven-Zahl ist eine ganze Zahl, die in jeder beliebigen Zahlenbasis eine Harshad-Zahl ist. Es gibt nur vier all-Harshad-Zahlen: 1, 2, 4, und 6.
all-Niven-Zahl en

Eine all-Harshad-Zahl oder eine all-Niven-Zahl ist eine ganze Zahl, die in jeder beliebigen Zahlenbasis eine Harshad-Zahl ist. Es gibt nur vier all-Harshad-Zahlen: 1, 2, 4, und 6.
alphabetische Variante en

Wir nennen eine Formel $A$ eine alphabetische Variante von $B$ (oder -gleich; schreibe $(alphaeq A) B$ ), wenn $B$ aus $A$ hervorgeht durch systematische Umbenennung gebundener Variablen.

alternierende harmonische Serie en

Die alternierende harmonische Serie ist die Serie

(infinite-sum 1 [n] (multi-relation-expression \frac{({(1)}^{(n + 1)})}{n} equal ((((1 - (\frac{1}{2})) + (\frac{1}{3})) - (\frac{1}{4})) + (\frac{1}{5})) - \dots equal ln (2)))

annährend gleich Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\approxeq {a}$
mathml	1	$a$

Wir nennen zwei mathematische Objekte $a$ and $b$ annährend gleich, (schreibe $a \sim b$ ), wenn die einzigen Eigenschaften, die sie auseinanderhalten, weniger relevant sind in der aktuellen Situation.

antireflexiv en
Eine Relation $R \subseteq (A \times A)$ heißt

•

reflexiv auf $A$ , wenn $(⟨ a, a ⟩) \in R$ für alle $a \in A$ , und

•

irreflexiv (or antireflexiv) auf $A$ , wenn $(⟨ a, a ⟩) \notin R$ für alle $a \in A$ .
antisymmetrisch en
Eine Relation $R \subseteq (A \times A)$ heißt

•
symmetrisch auf $A$ , falls $(⟨ b, a ⟩) \in R$ für alle $a, b \in A$ mit $(⟨ a, b ⟩) \in R$ .

•
asymmetrisch auf $A$ , falls $(⟨ b, a ⟩) \notin R$ für alle $a, b \in A$ mit $(⟨ a, b ⟩) \in R$ .

•
antisymmetrisch auf $A$ , falls $a = b$ wenn $(⟨ a, b ⟩) \in R$ und $(⟨ b, a ⟩) \in R$ .

Argumentbereich Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\domain {a}$
stex/tex	0	$\domainFN$
mathml	1	$𝐝𝐨𝐦 (a)$
mathml	1	$𝐝𝐨𝐦 (a)$
mathml	0	$𝐝𝐨𝐦$

Eine Relation $f \subseteq (X \times Y)$ , heißt partielle Funktion mit Argumentbereich $X$ (schreibe $𝐝𝐨𝐦 (f)$ ) und Wertebereich $Y$ (schreibe $𝐜𝐨𝐝𝐨𝐦 (f)$ ), wenn es für jedes $x \in X$ höchstens ein $y \in Y$ gibt mit $(⟨ x, y ⟩) \in f$ .

Wir schreiben $f : X ⇀ Y; x \mapsto y$ und $(f) = y$ wenn $(⟨ x, y ⟩) \in f$ .

arithmetische Mittel Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\arithmean {a}$
mathml	1	$A_{a}$

Das arithmetische Mittel einer Menge $M = ({(a_{1}, \dots, a_{n})})$ ist definiert als $A_{M}$ .

arithmetischen Operationen

Die arithmetischen Operationen sind Addition $addition$ , Subtraktion, $subtraction$ , Multiplikation $multiplication$ , Division $division$ und Exponentiation.
arithmetischen Operationen

Die arithmetischen Operationen sind Addition $addition$ , Subtraktion, $subtraction$ , Multiplikation $multiplication$ , Division $division$ und Exponentiation.
asymmetrisch en
Eine Relation $R \subseteq (A \times A)$ heißt

•
symmetrisch auf $A$ , falls $(⟨ b, a ⟩) \in R$ für alle $a, b \in A$ mit $(⟨ a, b ⟩) \in R$ .

•
asymmetrisch auf $A$ , falls $(⟨ b, a ⟩) \notin R$ für alle $a, b \in A$ mit $(⟨ a, b ⟩) \in R$ .

•
antisymmetrisch auf $A$ , falls $a = b$ wenn $(⟨ a, b ⟩) \in R$ und $(⟨ b, a ⟩) \in R$ .

asymptotische Dichte Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\asdensity {a}$
stex/tex	0	$\asdensityOp$
mathml	1	$d (a)$
mathml	1	$d (a)$
mathml	0	$d$

Eine Teilmenge $A$ der positiven ganzen Zahlen hat eine asymptotische Dichte (oder natürliche Dichte) $d (A)$ , wobei $(multi-relation-expression 0 lessthan d (A) lessthan 1)$ gilt, wenn der Grenzwert existiert

d (A)

$a n$ ist die Anzahl der Elemente von $A$ , die nicht größer als $n$ sind.

Aufrundung Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\ceiling {a}$
mathml	1	$]] a [[$
mathml	1	$] a [$
mathml	1	$⌈ a ⌉$
mathml	1	$⌈ a ⌉$
mathml	1	$] a [$
mathml	1	$]] a [[$

Die Abrundung (oder der ganze Teil)

http://mathhub.info/smglom/numberfields/ceilingfloor.omdoc?ceilingfloor?floorr einer reellen Zahl

r

ist die größte ganze Zahl, die nicht größer ist als

r

. Die Aufrundungsfunktion wird auch die Gaussklammer genannt; dann wird sie als

http://mathhub.info/smglom/numberfields/ceilingfloor.omdoc?ceilingfloor?floorr geschrieben.

Die Aufrundung $]] r [[$ einer reellen Zahl $r$ ist die kleinste ganze Zahl, die nicht kleiner ist als $r$ .

azyklisch
Ist $G = (⟨ V, E ⟩)$ ein gerichteter Graph, so nennen wir

•
einen Pfad $p$ in $G$ zyklisch (auch einen Zykel oder eine Schleife), falls $(start (p)) = (end (p))$ .

•
einen Zykel $⟨ (v_{0}, \dots, v_{n}) ⟩$ einfach, wenn $v_{i} \neq v_{j}$ für alle $i, j \leq 1 \leq n$ mit $i \neq j$ .

•
$G$ azyklisch, wenn $G$ keinen Zykel enthält.
Bailey-Borwein-Plouffe-Formel en

Die Bailey-Borwein-Plouffe-Formel (BBP-Formel) ist eine Reihe zur Berechnung von $π$ :

$π$

Balance-Primzahl en

Eine Balance-Primzahl ist eine Primzahl, die gleich dem arithmetischen Mittel der nächstkleineren und der nächstgrößeren Primzahl ist.

(p_{n}) = (\frac{((p_{(n - 1)}) + (p_{(n + 1)}))}{2})

Dabei ist $p_{n}$ die $n$ -te Primzahl.

Barriere en

Eine reelle Zahl $n$ wird Barriere Qeiner zahlentheoretischen Funktion $f m$ genant, wenn $(m + (f m)) < n$ für alle $m > n$ .
Baum en

Baxter-Hickerson-Funktion

Die Baxter-Hickerson-Funktion ist für nicht-negative ganze Zahlen $n$ definiert als

(f n) = ((\frac{1}{3}) (((\cdot 2 10^{(5 n)}) - (10^{(4 n)})) + (\cdot 2 10^{(3 n)}) + (10^{(2 n)}) + (10^{n}) + 1))

Sie erzeugt Zahlen, deren Kuben nicht die Ziffer $0$ enthalten.

BBP-Formel en

Die Bailey-Borwein-Plouffe-Formel (BBP-Formel) ist eine Reihe zur Berechnung von $π$ :

$π$
Befreundete Zahlen en

Befreundete Zahlen sind ein Paar natürlicher Zahlen, deren Summen ihrer Teiler (außer den Zahlen selbst) jeweils die andere Zahl ergibt.
Beharrlichkeit en

Die Anzahl der notwendigen Schritte, um durch wiederholte Querprodukte zu einer einstelligen Zahl zu gelangen, nennt man Beharrlichkeit der Zahl.
Beidseitig trunkierbare Primzahlen

Beidseitig trunkierbare Primzahlen sind sowohl links- als auch rechtstrunkierbare Primzahlen.

Zum Beispiel: $3137$

Beschränkung Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\restrict {a} {b}$
mathml	2	${a \|}_{b}$
mathml	2	${a \|}_{b}$

Ist $f : A \to B$ eine Funktion und $C \subseteq A$ , so nennen wir $(fundefeq [f C] {f |}_{C})$ die Beschränkung von $f$ auf $C$ .

bijektiv en

Eine Funktion $f : S \to T$ heißt bijektiv, wenn $f$ injektiv and surjektiv ist.

Bild Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\image {a}$
stex/tex	0	$\imageOp$
mathml	1	$𝐈𝐦 (a)$
mathml	0	$Im$

Sei $f : A \to B$ eine Funktion, $A^{'} \subseteq A$ und $B^{'} \subseteq B$ , dann nennen wir

•
$(fundefeq [f name.cvar.2] f (A^{'}))$ das Bild von $A^{'}$ unter $f$ ,
•
$(fundefeq [f] 𝐈𝐦 (f))$ das Bild von $f$ , und
•
$(fundefeq [f name.cvar.6] f^{- 1} (B^{'}))$ das Urbild von $B^{'}$ unter $f$ .

Bild Show Notations
Languages Arguments Rendering
stex/tex 2 $\Image {a} {b}$
mathml 2 $a (b)$
en
Sei $f : A \to B$ eine Funktion, $A^{'} \subseteq A$ und $B^{'} \subseteq B$ , dann nennen wir

•
$(fundefeq [f name.cvar.2] f (A^{'}))$ das Bild von $A^{'}$ unter $f$ ,

•
$(fundefeq [f] 𝐈𝐦 (f))$ das Bild von $f$ , und

•
$(fundefeq [f name.cvar.6] f^{- 1} (B^{'}))$ das Urbild von $B^{'}$ unter $f$ .

Binomialkoeffizient Show Notations

Languages

Arguments

Rendering

stex/tex

\binomcoeff {a} {b}

mathml

𝒞_{b}^{a}

mathml

(

)

http://mathhub.info/smglom/smglom/binomialcoefficient.omdoc?binomialcoefficient?binomial-coefficientab

mathml

(

)

http://mathhub.info/smglom/smglom/binomialcoefficient.omdoc?binomialcoefficient?binomial-coefficientab

mathml

𝒞_{b}^{a}

Der Binomialkoeffizient $𝒞_{k}^{n}$ ist definiert als die Anzahl der $k$ -elementigen Teilmengen einer $n$ -elementigen Menge.

binäre Logarithmus en

Der binäre Logarithmus is der Logarithmus zur Basis 2.
Bögen en

Ein gerichteter Graph (auch Digraph) ist ein Paar $⟨ V, E ⟩$ aus einer Menge $V$ und einer Menge $E \subseteq (⟨ V, V ⟩)$ geordneter Paare über $V$ . Wir nennen $V$ die Knoten und $E$ die Kanten (auch Bögen) von $G$ .

Cabtaxi-Zahl Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\cabtaxi {a}$
stex/tex	0	$\cabtaxiOp$
mathml	1	$Cabtaxi (a)$
mathml	0	$Cabtaxi$

Die $n$ -te Cabtaxi-Zahl $Cabtaxi (n)$ ist definiert als die kleinste positive ganze Zahl, die auf $n$ verschiedene Arten als Summe oder Differenz zweier Kubikzahlen (einschließlich $0$ ) dargestellt werden kann.

Zum Beispiel:

(multi-relation-expression Cabtaxi (2) equal 91 equal (3^{3}) + (4^{3}) equal (6^{3}) + (5^{3}))

Cahen-Konstante

Sei $s_{n}$ die Sylvester-Folge.

Die Cahen-Konstante $C$ ist ein ägyptischerBruch, gebildet aus einer unendlichen Reihe von Stammbrüchen, deren Nenner die geradzahligen Elemente der Sylvester-Folge sind:

$C$

Cahen-Konstante i Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\cahenconst$
mathml	0	$𝐶$

Sei $s_{n}$ die Sylvester-Folge.

Die Cahen-Konstante ist eine unendliche Reihe von Stammbrüchen mit alternierenden Vorzeichen

𝐶 :, = (infinite-sum 0 [i] \frac{({(1)}^{i})}{((s_{i}) - 1)})

Carmichael-Zahl

Eine zusammengesetzte natürliche Zahl $n$ heißt Carmichael-Zahl, falls für alle zu $n$ teilerfremden Zahlen $a$ die folgende Kongruenz erfüllt ist:

(a^{(n - 1)}) \equiv 1 mod n

Carol-Zahl en

Eine Carol-Zahl ist eine ganze Zahl der Form

((4^{n}) - (2^{(n + 1)}) - 1) = (({((2^{n}) - 1)}^{2}) - 2)

mit der positiven ganzen Zahl $n$ .

Cassini-Identität en

Die Cassini-Identität ist eine Identität für ganze Zahlen $n > 0$ und die Fibonacci-Zahlen.

(((F_{(n - 1)}) (F_{(n + 1)})) - ({(F_{n})}^{2})) = ({(1)}^{n})

Catalan-Identität en

Die Catalan-Identität ist eine Identität für ganze Zahlen $(multi-relation-expression n morethan r morethan 0)$ , und die Fibonacci-Zahlen.

(({(F_{n})}^{2}) - ((F_{(n - r)}) (F_{(n + r)}))) = (({(1)}^{(n - r)}) ({(F_{r})}^{2}))

Catalan-Mersenne-Zahlen en

Die Catalan-Mersenne-Zahlen sind Mersenne-Zahlen, der Form $(c_{n}) :, = (2^{(c_{(n - 1)})})$ .

Catalan-Zahlen en

Die Catalan-Zahlen bilden eine Folge von natürlichen Zahlen, die wie folgt definiert ist

(multi-relation-expression C_{n} equal (𝒞_{n}^{(2 n)}) - (𝒞_{(n + 1)}^{(2 n)}) equal (\frac{1}{(n + 1)}) (𝒞_{n}^{(2 n)}) equal \frac{((2 n)!)}{((n + 1)!)})

für $n \geq 0$ .

Cauchyfolge en

In einem metrischen Raum $⟨ M, d ⟩$ nennen wir eine Folge $(sequenceon [name.cvar.0] n)$ eine Cauchyfolge, falls es für jedes $ϵ > 0$ ein $n_{0} \in ℕ$ gibt, so dass $(d) < ϵ$ für alle $n, m \geq n_{0}$ .
Cousin-Primzahlen en

Cousin-Primzahlen sind Primzahlen, die um 4 differieren.

Cullen-Zahl Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\cullnumber {a}$
stex/tex	0	$\cullnumberOp$
mathml	1	$C_{a}$
mathml	1	$C_{a}$
mathml	0	$C$

Eine Cullen-Zahl ist eine natürliche Zahl der Form $(C_{n}) = ((n (2^{n})) + 1)$ .

Cullen-Zahlen der zweiten Art

Eine Woodall-Zahl ist eine natürliche Zahl der Form

(W_{n}) = ((\cdot n 2^{n}) - 1)

mit einer natürlichen Zahl $n$ . Woodall-Zahlen werden manchmal auch als Cullen-Zahlen der zweiten Art bezeichnet.

Woodall-Zahlen die Primzahlen sind werden als Woodall-Primzahlen bezeichnet.

Definiendum en

Wir nennen ein Paar $a :, = A$ eine a definitionale Gleichung mit Definiendum $a$ und Definiens $A$ , wenn $a$ ein neues Symbol ist, das nicht in $A$ vorkommt.
Definiens en

Wir nennen ein Paar $a :, = A$ eine a definitionale Gleichung mit Definiendum $a$ und Definiens $A$ , wenn $a$ ein neues Symbol ist, das nicht in $A$ vorkommt.
Definitheit en
Für eine Mente $M$ nennen wir eine Funktion $d : (M \times M) \to ℝ$ eine Abstandsfunktion (or Metrik ) auf $M$ , falls die folgenden drei Eigenschaften für alle $x, y, z \in M$ gelten:

1.

$(d) = 0$ gdw. $x = y$ (Definitheit),

2.

$(d) = (d)$ (Symmetrie) und

3.

$(d) \leq ((d) + (d))$ (Dreiecksungleichung).

Wir nennen $⟨ M, d ⟩$ einen metrischen Raum mit Grundmenge $M$ und Metrik $d$ .

definitionale Gleichung Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\defeq {a} {b}$
mathml	2	$a :, = b$
mathml	2	$a :, = b$

Wir nennen ein Paar $a :, = A$ eine a definitionale Gleichung mit Definiendum $a$ und Definiens $A$ , wenn $a$ ein neues Symbol ist, das nicht in $A$ vorkommt.

dekadische Logarithmus Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\logten {a}$
stex/tex	0	$\logtenFN$
mathml	1	${log}_{10} (a)$
mathml	1	${log}_{10} (a)$
mathml	0	$Log$
mathml	0

Der dekadische Logarithmus (oder Zehnerlogarithmus) ist der Logarithmus zur Basis 10.

Delannoy-Zahl Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\delannoynumber {a} {b}$
stex/tex	0	$\delannoynumberOp$
mathml	2	$D (a, b)$
mathml	0	$D$

Eine Delannoy-Zahl $D (m, n)$ ist die Anzahl der Wege von der südwest-Ecke $⟨ 0, 0 ⟩$ eines rechteckigen Gitters zur nordost-Ecke $⟨ m, n ⟩$ , unter Verwendung von Einzelschritten in Richtung Nord, Nordost oder Ost.

Es folgt $(multi-relation-expression D (0, n) equal D (m, 0) equal 1)$ und

$(D (m, n)) = ((D ((m - 1), n)) + (D ((m - 1), (n - 1))) + (D (m, (n - 1))))$ für alle $(mnotequal m n 0)$ .

Differenz Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\setdiff {a} {b}$
stex/tex	0	$\setdiffOp$
mathml	2	$a \ b$
mathml	2	$a \ b$
mathml	0	$\$

ro bg tr

Die Differenz $A \ B$ von Mengen $A$ und $B$ ist definiert als $(bsetst [x] x)$ .

differenzierbar en

Ist $f : M \to N$ differenzierbar auf $M$ , so definieren wir die Ableitungsfunktion $(D_{x} f) : M \to N$ von $f$ nach $x$ als

(fundefeq [f x a] D_{x} f (a))

Wir nennen $f : M \to N$ differenzierbar an einem Häufungspunkt $p \in M$ , falls der Grenzwert

d :, = ({lim}_{x \to p} (\frac{(d_{B})}{(d_{A})}))

existiert. Dieser Grenzwert heißt Ableitung von $f$ nach $x$ an der Stelle $p$ . Wir nennen $f$ differenzierbar auf $M$ , falls $f$ differenzierbar an jedem $m \in M$ ist.

differenzierbar auf en

Ist $f : M \to N$ differenzierbar auf $M$ , so definieren wir die Ableitungsfunktion $(D_{x} f) : M \to N$ von $f$ nach $x$ als

(fundefeq [f x a] D_{x} f (a))

Wir nennen $f : M \to N$ differenzierbar an einem Häufungspunkt $p \in M$ , falls der Grenzwert

d :, = ({lim}_{x \to p} (\frac{(d_{B})}{(d_{A})}))

existiert. Dieser Grenzwert heißt Ableitung von $f$ nach $x$ an der Stelle $p$ . Wir nennen $f$ differenzierbar auf $M$ , falls $f$ differenzierbar an jedem $m \in M$ ist.

Digraph

Ein gerichteter Graph (auch Digraph) ist ein Paar $⟨ V, E ⟩$ aus einer Menge $V$ und einer Menge $E \subseteq (⟨ V, V ⟩)$ geordneter Paare über $V$ . Wir nennen $V$ die Knoten und $E$ die Kanten (auch Bögen) von $G$ .
Diophantische Gleichung en

Eine Diophantische Gleichung ist eine Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten, deren Variablen nur ganzzahlige Werte annehmen dürfen.
disjunkt ro en tr

Zwei Mengen $A$ und $B$ heißen disjunkt, falls $(A \cap B) =$ .

Eine Familie von Mengen heißt paarweise disjunkt, wenn je zwei Mengen disjunkt sind.

Division Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\adivide {a} {b}$
stex/tex	0	$\adivideOp$
mathml	2	$\frac{a}{b}$
mathml	2	$\frac{a}{b}$
mathml	0

Die arithmetischen Operationen sind Addition $addition$ , Subtraktion, $subtraction$ , Multiplikation $multiplication$ , Division $division$ und Exponentiation.

Doppel-Mersenne-Primzahl en

Eine Doppel-Mersenne-Primzahl ist eine Doppel-Mersenne-Zahl, die auch Primzahl ist.

Doppel-Mersenne-Zahl Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\doubleMnumber {a}$
mathml	1	$M_{a}$
mathml	1	$M_{a}$

Eine Doppel-Mersenne-Zahl ist eine Mersenne-Zahl der Form

(M_{p}) = ((2^{((2^{p}) - 1)}) - 1)

Dabei ist $p$ der Exponent einer Mersenne-Primzahl.

Dreiecksungleichung en
Für eine Mente $M$ nennen wir eine Funktion $d : (M \times M) \to ℝ$ eine Abstandsfunktion (or Metrik ) auf $M$ , falls die folgenden drei Eigenschaften für alle $x, y, z \in M$ gelten:

1.

$(d) = 0$ gdw. $x = y$ (Definitheit),

2.

$(d) = (d)$ (Symmetrie) und

3.

$(d) \leq ((d) + (d))$ (Dreiecksungleichung).

Wir nennen $⟨ M, d ⟩$ einen metrischen Raum mit Grundmenge $M$ und Metrik $d$ .

dreizehnte Smarandache-Konstante Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\smarandacheconstthirteen$
mathml	0

Die dreizehnte Smarandache-Konstante ist definiert als

Dabei ist $S (n)$ die Smarandache-Funktion.

Die Summe konvergiert.

dritte Ableitung en

Wir nennen $f$ $n$ mal differeinzierbar in $a \in M$ , falls ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ als Grenzwert existiert. Analog nennen wir $f$ $n$ mal differenzierbar auf $M$ , falls $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ existiert und auf $M$ total ist.

Wir nennen $f$ unendlich differenzierbar oder glatt auf $a \in M$ oder $M$ , wenn ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ beziehungsweise $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ für alle $n \in ℕ$ existieren.

Für ein $n \in ℕ$ definieren wir die $n$ te Ableitung einer Funktion $f : M \to N$ durch

(fundefeq [n f x a] {\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a})

Die erste Ableitung $\frac{d^{1}}{d x^{1}} f$ von $f$ ist $D_{x} f$ , $\frac{d^{2}}{d x^{2}} f$ ist die zweite Ableitung von $f$ , $\frac{d^{3}}{d x^{3}} f$ die dritte Ableitung von $f$ , usw. In der Leibniz Notation wird die $n$ te Ableiguntsfunktion von $f$ als $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ geschrieben.

dritte Smarandache-Konstante Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\smarandacheconstthree$
mathml	0

Die dritte Smarandache-Konstante ist definiert als

Dabei ist $S (n)$ die Smarandache-Funktion.

Durchschnitt Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\intersect {a}$
stex/tex	0	$\intersectOp$
mathml	1	$a$
mathml	1	$a$
mathml	0	$\cap$

tr ro en

Sind $A$ und $B$ Mengen, so ist der Durchschnitt $A \cap B$ von $A$ und $B$ gegeben als $(bsetst [x] x)$ .

echte Obermenge Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\sset {a} {b}$
stex/tex	0	$\ssetOp$
mathml	2	$a \subset b$
mathml	2	$a \subset b$
mathml	0	$\subset$

ro tr en

Eine Menge $A$ ist eine echte Obermenge einer Menge $B$ (schreibe $A \supseteq B$ ), wenn $B \subseteq A$ .

Eine Menge $A$ heißt echte Teilmenge einer Menge $B$ (schreibe $A \subseteq B$ ), wenn $A \subset B$ aber $A ≢ B$ .

echte Teilmenge Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\sset {a} {b}$
stex/tex	0	$\ssetOp$
mathml	2	$a \subset b$
mathml	2	$a \subset b$
mathml	0	$\subset$

ro tr en

Eine Menge $A$ ist eine echte Obermenge einer Menge $B$ (schreibe $A \supseteq B$ ), wenn $B \subseteq A$ .

Eine Menge $A$ heißt echte Teilmenge einer Menge $B$ (schreibe $A \subseteq B$ ), wenn $A \subset B$ aber $A ≢ B$ .

echter Teiler en

Wir nennen $1$ , $1$ , $n$ und $n$ triviale divisoren von $n$ . Ein Teiler von $n$ , der nicht trivial ist, heißt echter Teiler von $n$ .
Ecken en

Ein Graph ist ein Paar $⟨ V, E ⟩$ , so dass $V$ eine Menge ist und $E \subseteq (⟨ V, V ⟩)$ eine Teilmenge der Menge der Paare aus $V$ . Wir nennen $V$ die Ecken (oder Punkte, Knoten) and $E$ die Kanten (oder Linien, Pfeile) von $G$ .

Eckenanzahl Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\graphnumberofvertices {a}$
mathml	1	$\| a \|$
mathml	1	$\| a \|$

Die Eckenanzahl (Anzahl der Ecken eines Graphen) $G$ wird seine Ordnung genannt, man schreibt $| G |$ .

einfach en
Ist $G = (⟨ V, E ⟩)$ ein gerichteter Graph, so nennen wir

•
einen Pfad $p$ in $G$ zyklisch (auch einen Zykel oder eine Schleife), falls $(start (p)) = (end (p))$ .

•
einen Zykel $⟨ (v_{0}, \dots, v_{n}) ⟩$ einfach, wenn $v_{i} \neq v_{j}$ für alle $i, j \leq 1 \leq n$ mit $i \neq j$ .

•
$G$ azyklisch, wenn $G$ keinen Zykel enthält.
einfach normale Zahl zur Basis en

$x$ ist eine einfach normale Zahl zur Basis $b$ , wenn ihre Ziffern in der Darstellung zur Basis $b$ gleich häufig auftreten.

Eine reelle Zahl ist absolut nicht-normal oder absolut unnormal, wenn sie in keiner Basis einfach normal ist.
einfache Ordnung en

Eine partielle Ordnung $R$ heißt totale Ordnung (or einfache Ordnung oder lineare Ordnung), falls $a \leq b$ oder $b \leq a$ für alle $a, b \in A$ .

Wir nennen eine Struktur $⟨ S, pole ⟩$ aus einer Menge $S$ und einer totalen Ordnung $pole$ eine total geordnete Menge.
Eins en

Eine Struktur $⟨ R ⟩$ heißt Ring, wenn $⟨ R ⟩$ eine Abelsch e Gruppe ist (die additive Struktur), $⟨ R ⟩$ ein Monoid (die multiplikative Struktur) ist, sowie $⟨ R ⟩$ is a Ringoid.

Wir nennen $0$ die Null des Rings und entsprechend $1$ die Eins.

elften Smarandache-Konstanten Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\smarandacheconsteleven {a}$
stex/tex	0	$\smarandacheconstelevenOp$
mathml	1	$s_{11} (a)$
mathml	1	$s_{11} (a)$
mathml	0

Die elften Smarandache-Konstanten $eleventh-smarandache-constant$ sind definiert als

s_{11} (α)

Dabei ist $S (n)$ die Smarandache-Funktion.

Die Summe konvergiert für alle reellen Zahlen $α > 1$ .

Endknoten en
Ist $G = (⟨ V, E ⟩)$ gerichteter Graph, so nennen wir einen Vektor $(p = (⟨ (v_{0}, \dots, v_{n}) ⟩)) \in (V^{(n + 1)})$ einen Pfad in $G$ wenn $(⟨ v_{i - 1}, v_{i} ⟩) \in E$ für alle $1 \leq i \leq n$ mit $n > 0$ .

•
$v_{0}$ heißt der Startknoten von $p$ (schreibe $start (p)$ )

•
$v_{n}$ heißt der Endknoten von $p$ (schreibe $end (p)$ )

•
$n$ heißt die Länge von $p$ (schreibe $len (p)$ )
endlich en

Wir nennen eine Menge $A$ is endlich mit Kardinalität $(# (A)) \in ℕ$ , wenn es eine bijektive Funktion $f : A \to ({n \in ℕ | (n < (# (A)))})$ gibt.

Die Kardinalität einer Menge $A$ wird oft auch als $# (A)$ , $# (A)$ , $# (A)$ oder $# (A)$ geschrieben.

Endwert en

Wir definieren das Produkt über eine Folge $a_{i}$ durch

	$(\prod_{i = n}^{m} a_{i}) :, = (defined-piecewise (0 wenn (n = m)) ((a_{n}) sonst))$
0	wenn(n=m)
(an)	sonst

Die Variable $i$ wird der Laufindex oder Multiplikationsindex genannt, $n$ die untere (oder Startwert) und $m$ die obereGrenze (oder Endwert) des Produkts, zusammen bestimmen sie den Multiplikationsbereich.

Gebräuchlich sind auch die fogenden Varianten des Produktoperators: $\prod_{φ} a_{i}$ und $\prod_{i \in S} a_{i}$ . Der erste spezifiziert den Multiplikationsbereich durch eine Formel $φ$ über $i$ und der zweite gibt den Multiplikationsbereich direkt als eine Menge $S$ an.

Endwert en

Summation ist iterierte Addition. Wir definieren die Summe über eine Folge $a_{i}$ durch

	$(\sum_{i = n}^{m} a_{i}) :, = (defined-piecewise (0 wenn (n = m)) ((a_{n}) sonst))$
0	wenn(n=m)
(an)	sonst

Die Variable $i$ wird der Laufindex oder Summationsindex genannt, $n$ die untere (oder Startwert) und $m$ die obereGrenze (oder Endwert) der Summe, zusammen bestimmen sie den Summationsbereich.

Gebräuchlich sind auch die fogenden Varianten des Summenoperators: $(SumColl φ [i] a_{i})$ und $\sum_{i \in S} a_{i}$ . Der erste spezifiziert den Summationsbereich durch eine Formel $φ$ über $i$ und der zweite gibt den Summationsbereich als eine Menge $S$ an.

Erdös-Borwein-Konstante Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\erdoesborweinconst$
mathml	0	$E$

Die Erdös-Borwein-Konstante ist die Summe der Kehrwerte der Mersenne-Zahlen.

E

erste Ableitung en

Wir nennen $f$ unendlich differenzierbar oder glatt auf $a \in M$ oder $M$ , wenn ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ beziehungsweise $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ für alle $n \in ℕ$ existieren.

Für ein $n \in ℕ$ definieren wir die $n$ te Ableitung einer Funktion $f : M \to N$ durch

(fundefeq [n f x a] {\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a})

erste Skewes-Zahl Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\skewesnumberriemann$
mathml	0

Die zweite Skewes-Zahl ist eine Obergrenze bis zu der nicht immer $(π (n)) \leq (Li (n))$ gilt, vorausgesetzt, die Riemann-Hypothese ist falsch.

= (10^{(10^{(10^{1000})})})

erste Tschebyschow-Funktion en

Die erste Tschebyschow-Funktion $ϑ (x)$ oder $θ x$ ist die Summe der Logarithmen der Primzahlen bis $x$ .

$ϑ (x)$

Die zweite Tschebyschow-Funktion $ψ (x)$ ist die Summe der Logarithmen der Primzahlen über alle Primzahlpotenzen bis $x$ .

$ψ (x)$

Dabei ist $Λ$ die Mangoldt-Funktion.

Euklid-Zahlen Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\euclidnumb {a}$
mathml	1	$E_{a}$

Euklid-Zahlen sind ganze Zahlen der Form

(E_{n}) = ((p_{n} #) + 1)

wobei $p_{n} #$ das Produkt der ersten $n$ Primzahlen ist.

Euler-Mascheroni-Konstante Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\eulermasch$
mathml	0	$γ$

Die Euler-Mascheroni-Konstante (auch Eulersche Konstante) ist eine mathematische Konstante, die mit $γ$ bezeichnet wird.

γ

γ = 0.5772156649015329 ...

Eulers Notation en

Ist $f : M \to N$ differenzierbar auf $M$ , so definieren wir die Ableitungsfunktion $(D_{x} f) : M \to N$ von $f$ nach $x$ als

$(fundefeq [f x a] D_{x} f (a))$

Die Abhängigkeit von $x$ ist bleibt dieser Notation (Lagrange Notation) implizit. In Leibniz Notation schreiben wir die Ableitungsfunktion von $f$ nach $x$ als $D_{x} f$ . In Eulers Notation schreiben wir $D_{x} f (a)$ und in Newtonnotation $D_{x} f (a)$ .

Eulersche Konstante Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\eulermasch$
mathml	0	$γ$

Die Euler-Mascheroni-Konstante (auch Eulersche Konstante) ist eine mathematische Konstante, die mit $γ$ bezeichnet wird.

γ

γ = 0.5772156649015329 ...

Eulersche Zahl Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\enumb$
mathml	0	$e$

Die Eulersche Zahl $e$ (benannt nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler) ist eine mathematische Konstante.

e

e = 2.718281828459045 ...

Exponentiation Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\power {a} {b}$
mathml	2	$a^{b}$
mathml	2	$a^{b}$

Die arithmetischen Operationen sind Addition $addition$ , Subtraktion, $subtraction$ , Multiplikation $multiplication$ , Division $division$ und Exponentiation.

Factorion en

Ein Factorion ist eine natürliche Zahl, die gleich der Summe der Fakultäten ihrer Ziffern ist.

Zum Beispiel

(multi-relation-expression 145 equal 1 + 24 + 120 equal (1!) + (4!) + (5!))

Faktorielle Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\factorial {a}$
stex/tex	0	$\factorialOp$
mathml	1	$a!$
mathml	1	$a!$
mathml	0	$!$

Die Fakultät $n factorial$ (manchmal, besonders in Österreich, auch Faktorielle genannt) ist in der Mathematik eine Funktion, die einer natürlichen Zahl $n$ das Produkt aller natürlichen Zahlen kleiner und gleich dieser Zahl zuordnet.

Fakultät Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\factorial {a}$
stex/tex	0	$\factorialOp$
mathml	1	$a!$
mathml	1	$a!$
mathml	0	$!$

Farey-Folge en

Eine Farey-Folge ist eine geordnete Menge der gekürzten Brüche zwischen $0$ und $1$ , deren jeweiliger Nenner den Index $n$ nicht übersteigt. Jede Farey-Folge beginnt mit $0$ , dargestellt durch $\frac{0}{1}$ , und endet mit $1$ , dargestellt durch $\frac{1}{1}$ .

Die ersten Farey-Folgen sind

$(F_{1}) = ({(\frac{0}{1}), (\frac{1}{1})})$

$(F_{2}) = ({(\frac{0}{1}), (\frac{1}{2}), (\frac{1}{1})})$

$(F_{3}) = ({(\frac{0}{1}), (\frac{1}{3}), (\frac{1}{2}), (\frac{2}{3}), (\frac{1}{1})})$

$(F_{4}) = ({(\frac{0}{1}), (\frac{1}{4}), (\frac{1}{3}), (\frac{1}{2}), (\frac{2}{3}), (\frac{3}{4}), (\frac{1}{1})})$
Fastprimzahl en

Eine Halbprimzahl oder auch Fastprimzahl ist eine natürliche Zahl, die das Produkt aus zwei (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primzahlen ist.

Fermatsche Primzahl Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\Fprime {a}$
mathml	1	$F_{a}$
mathml	1	$F_{a}$

Eine Fermatsche Primzahl ist eine Primzahl der Form

(F_{n}) = ((2^{(2^{n})}) + 1)

Fermatsche Zahl Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\FNumber {a}$
mathml	1	$F_{a}$
mathml	1	$F_{a}$

Eine Fermatsche Zahl ist eine natürliche Zahl der Form $(fundefeq [n] F_{n})$ .

Feynman-Punkt en

Der Feynman-Punkt ist ein Bereich von 6 aufeinanderfolgenden Neunen in der Dezimaldarstellung der Zahl $π$ , beginnend mit der 762. Dezimalstelle.

Fibonacci Zahlen Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\fibnum {a}$
mathml	1	$F_{a}$
mathml	1	$F_{a}$

Die Fibonacci Zahlen werden rekursiv definiert:

	$(F_{n}) = (defined-piecewise (0 wenn (n = 0)) (1 wenn (n = 1)) (((F_{(n - 1)}) + (F_{(n - 2)})) sonst))$
0	wenn(n=0)
1	wenn(n=1)
((F(n-1))+(F(n-2)))	sonst

Fibonacci-Polynome en

Die Fibonacci-Polynome werden rekursiv definiert

	$((F_{n} (x)) x) = (defined-piecewise (0 wenn (n = 0)) (1 wenn (n = 1)) (((x (F_{(n - 1)} (x)) x) + ((F_{(n - 2)} (x)) x)) wenn (n \geq 2)))$
0	wenn(n=0)
1	wenn(n=1)
((x⁢(F(n-1)⁢(x))⁢x)+((F(n-2)⁢(x))⁢x))	wenn(n≥2)

Die ersten Fibonacci-Polynome sind:

$((F_{0} (x)) x) = 0$

$((F_{1} (x)) x) = 1$

$((F_{2} (x)) x) = x$

$((F_{3} (x)) x) = ((x^{2}) + 1)$

$((F_{4} (x)) x) = ((x^{3}) + (2 x))$

$((F_{5} (x)) x) = ((x^{4}) + (3 (x^{2})) + 1)$

Fortunate-Zahl en

Franel-Zahlen Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\franelnumber {a}$
mathml	1	${Fr}_{a}$
mathml	1	${Fr}_{a}$

Die Franel-Zahlen ${Fr}_{n}$ sind die ganzenZahlen

{Fr}_{n}

Franel-Zahlen en
freundliches -Tupel en

$n$ natürliche Zahlen mit der gleichen Abundancy bilden ein freundliches $n$ -Tupel.
Funktion en

Wenn wir nicht festlegen wollen, ob eine partielle Funktion total ist, sprechen wir einfach von einer Funktion.

fünfte Smarandache-Konstante Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\smarandacheconstfive$
mathml	0

Die fünfte Smarandache-Konstante ist definiert als

Dabei ist $S (n)$ die Smarandache-Funktion.

Die Summe konvergiert.

fünfzehnte Smarandache-Konstante en

Die fünfzehnte Smarandache-Konstante ist definiert als

Dabei ist $S (n)$ die Smarandache-Funktion.

Die Summe konvergiert.

ganze Teil Show Notations

Languages

Arguments

Rendering

stex/tex

\floor {a}

mathml

http://mathhub.info/smglom/numberfields/ceilingfloor.omdoc?ceilingfloor?floora

mathml

[a]

mathml

⌊ a ⌋

mathml

⌊ a ⌋

mathml

[a]

mathml

http://mathhub.info/smglom/numberfields/ceilingfloor.omdoc?ceilingfloor?floora

Die Abrundung (oder der ganze Teil)

http://mathhub.info/smglom/numberfields/ceilingfloor.omdoc?ceilingfloor?floorr einer reellen Zahl

r

ist die größte ganze Zahl, die nicht größer ist als

r

. Die Aufrundungsfunktion wird auch die Gaussklammer genannt; dann wird sie als

http://mathhub.info/smglom/numberfields/ceilingfloor.omdoc?ceilingfloor?floorr geschrieben.

ganze Zahl en

Die Menge $ℤ$ der ganzen Zahlen ist ${(\dots, (2), (1), 0, 1, 2, \dots)}$ . Ein Element von $ℤ$ wird als ganze Zahl bezeichnet.

Die Menge der negativen ganzen Zahlen ist ${(\dots, (3), (2), (1))}$ .

ganzen Zahlen Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\IntegerNumbers$
mathml	0	$ℤ$

Die Menge $ℤ$ der ganzen Zahlen ist ${(\dots, (2), (1), 0, 1, 2, \dots)}$ . Ein Element von $ℤ$ wird als ganze Zahl bezeichnet.

Die Menge der negativen ganzen Zahlen ist ${(\dots, (3), (2), (1))}$ .

ganzzahlige Intervall Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\integerinterval {a} {b}$
mathml	2	$[a, b]$
mathml	2	$[a, b]$

Wir definieren ein ganzzahlige Intervall als eine Menge konsekutiver ganzer Zahlen: $(fundefeq [a b] [a, b])$

Gaussklammer Show Notations

Languages

Arguments

Rendering

stex/tex

\floor {a}

mathml

http://mathhub.info/smglom/numberfields/ceilingfloor.omdoc?ceilingfloor?floora

mathml

[a]

mathml

⌊ a ⌋

mathml

⌊ a ⌋

mathml

[a]

mathml

http://mathhub.info/smglom/numberfields/ceilingfloor.omdoc?ceilingfloor?floora

Die Abrundung (oder der ganze Teil)

http://mathhub.info/smglom/numberfields/ceilingfloor.omdoc?ceilingfloor?floorr einer reellen Zahl

r

ist die größte ganze Zahl, die nicht größer ist als

r

. Die Aufrundungsfunktion wird auch die Gaussklammer genannt; dann wird sie als

http://mathhub.info/smglom/numberfields/ceilingfloor.omdoc?ceilingfloor?floorr geschrieben.

Gelfond-Schneider Konstante en

Die Gelfond-Schneider Konstante oder Hilbert-Zahl ist die folgende reelle Zahl

(2^{(\sqrt{2})}) = (2.665144142690225 \dots)

Gelfond’s Konstante en

Gelfond’s Konstante ist die folgende reelleZahl

(e^{π}) = 23.14069263277927 ...

geometrische Mittel Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\geomean {a}$
mathml	1	$G_{a}$
mathml	1	$G_{a}$

Das geometrische Mittel einer Menge $M = ({(a_{1}, \dots, a_{n})})$ ist definiert als:

((G_{equal}) ({(\prod_{i = 1}^{n} a_{i})}^{(\frac{1}{n})})) = (\sqrt{(a_{1} a_{2} \dots a_{n})} n)

geordnete Menge en

Wir nennen eine Struktur $⟨ S, pole ⟩$ aus einer Menge $S$ und einer partiellen Ordnung $pole$ eine geordnete Menge.

Eine partielle Ordnung $R$ heißt totale Ordnung (or einfache Ordnung oder lineare Ordnung), falls $a \leq b$ oder $b \leq a$ für alle $a, b \in A$ .

Wir nennen eine Struktur $⟨ S, pole ⟩$ aus einer Menge $S$ und einer totalen Ordnung $pole$ eine total geordnete Menge.
gerichteter Graph en

Ein gerichteter Graph (auch Digraph) ist ein Paar $⟨ V, E ⟩$ aus einer Menge $V$ und einer Menge $E \subseteq (⟨ V, V ⟩)$ geordneter Paare über $V$ . Wir nennen $V$ die Knoten und $E$ die Kanten (auch Bögen) von $G$ .
geschlossen . en
Ein topologischer Raum $⟨ X, O ⟩$ ist eine Menge $X$ zusammen mit einer Familie $O \subseteq (𝒫 (X))$ , so daß

1.
$, X \in O$ .

2.
$(⋃_{S \in S} s) \in O$ falls $S \subseteq S$ .

3.
$(⋂_{S \in S} s) \in O$ falls $S \subseteq S$ endlich.

Dann heißt $O$ eine Topologie) auf $X$ . Elemente der Topologie $O$ heißen offene Mengen und ihre Komplemente abgeschlossen oder einfach geschlossen . Eine Teilmenge von $X$ kann weder gesclossen noch offen, oder gesclossen, oder offen oder beides.

geschlossene Kugel Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\closedball {a} {b}$
mathml	2	$\bar{B} (a, b)$
mathml	2	$\bar{B_{a}} (b)$
mathml	2	$\bar{B_{a}} (b)$
mathml	2	$\bar{B} (a, b)$

In einem metrischen Raum $⟨ M, d ⟩$ nennen wir die Menge $(fundefeq [r x] 𝐵 (r, x))$ die offene Kugel nd $(fundefeq [r x] \bar{B} (r, x))$ die geschlossene Kugel um $x$ mit Radius $r$ . Wir schreiben auch $𝐵 (r, x)$ und $\bar{B} (r, x)$ .

glatt en

Wir nennen $f$ $n$ mal differeinzierbar in $a \in M$ , falls ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ als Grenzwert existiert. Analog nennen wir $f$ $n$ mal differenzierbar auf $M$ , falls $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ existiert und auf $M$ total ist.

Wir nennen $f$ unendlich differenzierbar oder glatt auf $a \in M$ oder $M$ , wenn ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ beziehungsweise $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ für alle $n \in ℕ$ existieren.

gleich Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\setequal {a}$
stex/tex	0	$\setequalOp$
mathml	1	$a$
mathml	1	$a$
mathml	0	$\equiv$

tr ro ru

Zwei Mengen $A$ and $B$ sind gleich (written $A \equiv B$ ), wenn sie die gleichen Elemente haben.

gleich Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\eq {a}$
stex/tex	0	$\eqFN$
mathml	1	$a$
mathml	1	$a$
mathml	0	$=$

Wir nennen zwei mathematische Objekte $a$ and $b$ gleich, (schreibe $a = b$ ), wenn es keine Eigenschaften gibt, die sie auseinanderhalten.

glücklichen Zahlen von Euler en

Die glücklichen Zahlen von Euler sind positive ganze Zahlen $n$ , für die $((x^{2}) - x) + n$ für $x = 0 = 1 = \dots = (n - 1)$ eine Primzahl ist.
Googol en

Googol ist die große Zahl $10^{100}$ .
Googolminex en

Googolminex ist der Kehrwert von Googolplex.

Googolplex en

Googolplexplex ist die Zahl

(G o o g o l p l e x p l e x) = (10^{(G o o g o l p l e x)})

Googolplexplexplex ist die Zahl

(G o o g o l p l e x p l e x p l e x) = (10^{(G o o g o l p l e x p l e x)})

Googolplex ist die Zahl

(multi-relation-expression G o o g o l p l e x equal 10^{(g o o g o l)} equal 10^{(10^{100})})

Googolplexian en

Googolplexian ist die Zahl

(multi-relation-expression G o o g o l p l e x i a n equal G o o g o l p l e x p l e x equal 10^{(G o o g o l p l e x)})

Googolplexplex

Googolplexplex ist die Zahl

(G o o g o l p l e x p l e x) = (10^{(G o o g o l p l e x)})

Googolplexplexplex ist die Zahl

(G o o g o l p l e x p l e x p l e x) = (10^{(G o o g o l p l e x p l e x)})

Googolplexplexplex

Googolplexplexplex ist die Zahl

(G o o g o l p l e x p l e x p l e x) = (10^{(G o o g o l p l e x p l e x)})

Graph en

Ein Graph ist ein Paar $⟨ V, E ⟩$ , so dass $V$ eine Menge ist und $E \subseteq (⟨ V, V ⟩)$ eine Teilmenge der Menge der Paare aus $V$ . Wir nennen $V$ die Ecken (oder Punkte, Knoten) and $E$ die Kanten (oder Linien, Pfeile) von $G$ .
Graph en

Der Graph einer Funktion $f$ ist die Menge aller Paare $⟨ x, (f x) ⟩$ .
Gregory-Zahl en

Eine Gregory-Zahl ist eine reelle Zahl der Form

$G_{x}$

Dabei ist $x$ eine rationale Zahl größer oder gleich $1$ .

Grenzwert Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	3	$\limfun {a} {b} {c}$
mathml	2	${lim}_{b \to a} c$
mathml	2	${lim}_{b \to a} c$

Seien $⟨ A, d_{A} ⟩$ und $⟨ B, d_{B} ⟩$ metrische Räume und $f : M \to N$ für $M \subseteq A$ und $N \subseteq B$ , dann nennen wir $l \in M$ en Grenzwert (oder Limes) von $f$ wenn $x$ gegen einen Häufungspunkt $p \in N$ strebt (schreibe ${lim}_{x \to p} (f)$ ), falls es für jedes $ϵ > 0$ ein $δ > 0$ gibt, so dass für alle $x$ mit $(multi-relation-expression 0 lethan (d_{B}) lethan δ)$ auch $(d_{A}) \leq ϵ$ gilt.

Grenzwert Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\limseq {a} {b}$
mathml	2	${lim}_{a \to \infty} b$
mathml	2	${lim}_{a \to \infty} b$

Ist $⟨ M, d ⟩$ ein metrischer Raum und $(sequenceon [a] n)$ eine Folge mit $(a_{i}) \in M$ für alle $i \in ℕ$ , so sagen wir daß $(sequenceon [name.cvar.0] n)$ gegen $g \in M$ konvergiert (wir nennen $g$ den Grenzwert oder limitLimes und schreiben ${lim}_{n \to \infty} a_{n}$ ), falls es für jedes $ϵ > 0$ ein $n_{0} \in ℕ$ , so daß $(d) < ϵ$ für alle $n \geq n_{0}$ .

Grundmenge en
Für eine Mente $M$ nennen wir eine Funktion $d : (M \times M) \to ℝ$ eine Abstandsfunktion (or Metrik ) auf $M$ , falls die folgenden drei Eigenschaften für alle $x, y, z \in M$ gelten:

1.

$(d) = 0$ gdw. $x = y$ (Definitheit),

2.

$(d) = (d)$ (Symmetrie) und

3.

$(d) \leq ((d) + (d))$ (Dreiecksungleichung).

Wir nennen $⟨ M, d ⟩$ einen metrischen Raum mit Grundmenge $M$ und Metrik $d$ .
Gruppe en

Ein Magma $⟨ G ⟩$ heißt Gruppe, wenn $(\frac{a}{a}) = (\frac{b}{b})$ , $(\frac{a}{(\frac{b}{b})}) = a$ , $(\frac{(\frac{a}{a})}{(\frac{b}{c})}) = (\frac{c}{b})$ und $(\frac{(\frac{a}{c})}{(\frac{b}{c})}) = (\frac{a}{b})$ für alle $a, b, c \in G$ .
größte gemeinsame Teiler en

Der größte gemeinsame Teiler von zwei oder mehr ganzen Zahlen, von denen mindestens eine nicht Null ist, ist die größte natürliche Zahl, die alle Zahlen ohne Rest teilt.

gut en

Ein Binomialkoeffizient $𝒞_{k}^{n}$ mit $k \geq 2$ ist gut, wenn für seinen kleinsten Primfaktor ( $leastprimefactor$ ) gilt

(lpf ((𝒞_{k}^{n}))) > k

gute Primzahl en

Die $n$ -te Primzahl $p_{n}$ heißt gute Primzahl, falls für alle Paare von Primzahlen $p_{(n - i)}$ und $p_{(n + i)}$ , wobei $i$ von $1$ bis $n - 1$ geht, gilt:

({(p_{n})}^{2}) > (\cdot p_{(n - i)} p_{(n + i)})

Halbprimzahl en

Eine Halbprimzahl oder auch Fastprimzahl ist eine natürliche Zahl, die das Produkt aus zwei (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primzahlen ist.
Halbring en

Ein Halbring ist ein Ringoid $⟨ S ⟩$ , so dass $⟨ S ⟩$ und $⟨ S ⟩$ Monoide sind und $addition$ kommutativ.

Hardy-Ramanujan-Zahl en

Die Hardy-Ramanujan-Zahl $1729$ ist die kleinste natürliche Zahl, für die es genau zwei Darstellungen als Summe zweier Kubikzahlen gibt.

(multi-relation-expression 1729 equal (1^{3}) + (12^{3}) equal (9^{3}) + (10^{3}))

harmonische Mittel Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\harmean {a}$
mathml	1	$H_{a}$

Das harmonische Mittel der reellen Zahlen $M = ({(x_{1}, \dots, x_{n})})$ ist definiert als

(multi-relation-expression H_{M} equal \frac{n}{((\frac{1}{x_{1}}) + (\frac{1}{x_{2}}) + \dots + (\frac{1}{x_{n}}))} equal \frac{n}{(\sum_{i = 1}^{n} (\frac{1}{x_{i}}))})

harmonische Reihe en

Die harmonische Reihe ist die divergente unendliche Reihe

$(infinite-sum 1 [n] \frac{1}{n})$
harmonische-Teiler-Zahl en

Eine harmonische-Teiler-Zahl, oder Ore-Zahl, ist eine positive ganze Zahl, deren Harmonisches Mittel ihrer Teiler eine ganze Zahl ist.
Harshad-Zahl en

Eine Harshad-Zahl oder Niven-Zahl in einer gegebenen Zahlenbasis ist eine ganze Zahl die durch die Summe ihrer Ziffern in dieser Zahlenbasis teilbar ist.

Hausdorff-Grenzwert Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\HDlimit {a} {b}$
mathml	2	${lim}_{a \to \infty} b$

Ist $⟨ X, O ⟩$ ein Hausdorff-Raum, so sagen wir dass eine Folge $(sequenceon [name.cvar.0] n)$ gegen $x \in X$ konvergiert (wir nennen $x$ den Hausdorff-Grenzwert und schreiben $x$ ), falls jede Umgebung von $x$ nur endlich viele $x_{i}$ enthält.

Hilbert-Primzahl en

Eine Hilbert-Primzahl ist eine Hilbert-Zahl, die nicht durch eine kleinere Hilbert-Zahl (außer der $1$ ) teilbar ist.

Hilbert-Zahl en

Die Gelfond-Schneider Konstante oder Hilbert-Zahl ist die folgende reelle Zahl

(2^{(\sqrt{2})}) = (2.665144142690225 \dots)

hochzusammengesetzte Zahl Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\highlycompositenumber$
mathml	0	$HCN$

Eine hochzusammengesetzte Zahl ist eine positive ganze Zahl, die mehr Teiler besitzt als jede kleinere positive ganze Zahl.

hyperbolische Integralkosinus en

Der hyperbolische Integralkosinus $Chi (x)$ oder $Chi (x)$ wird definiert durch

$Chi (x)$
hyperbolische Integralsinus en

Der hyperbolische Integralsinus $Shi (x)$ oder $Shi (x)$ wird definiert durch

$Shi (x)$
Häufungspunkt en

Sei $S$ eine Teilmenge eines topologischen Raums $X$ . Dann nennen wir $x \in X$ einen Häufungspunkt von $S$ , wenn jede Umgebung von $x$ mindestens einen Punkt $s \in S$ enthält mit $x \neq s$ .
höfliche Zahl en

Eine höfliche Zahl ist eine positive ganze Zahl, die als Summe von zwei oder mehr aufeinanderfolgenden positiven ganzen Zahlen dargestellt werden kann.

Identitätsfunktion Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\Idon {a}$
mathml	1	${Id}_{a}$

Für eine Menge $A$ bildet die Identitätsfunktion $({Id}_{A}) : A \to A$ auf $A$ jedes $a \in A$ auf sich selbst ab.

Idoneal-Zahl

Eine positive ganze Zahl $n$ ist eine Idoneal-Zahl genau dann, wenn sie nicht als $(a b) + (b c) + (a c)$ mit verschiedenen positiven ganzen Zahlen $a$ , $b$ , und $c$ geschrieben werden kann.

imaginäre Einheit Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\imagunit$
mathml	0	$𝑖$

Die Menge $ℂ$ der komplexen Zahlen besteht aus Zahlen der Form $a + (b 𝑖)$ , mit $a, b \in ℝ$ . Wir nennen $𝑖$ imaginäre Einheit.

infimum Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	3	$\binfimum {a} {b} {c}$
mathml	2	${inf b}_{a} b c$

Sei $⟨ S, pole ⟩$ eine geordnete Menge und $T \subseteq S$ , dann nennen wir die kleinste obere Schranke $sup (T)$ (größte untere Schranke $inf (T)$ ) von $T$ das Supremum (Infimum) von $T$ (falls dies existiert).

Ist $e$ ein Ausdruck und $φ$ eine Bedingung (in einer Variablen $x$ ), so schreiben wir $(bsupremum φ [x] e)$ für $sup ((bsetst [x] φ))$ und nennen es das supremum für $e$ über $φ$ . Analog schreiben wir $(binfimum φ [x] e)$ für $inf ((bsetst [x] φ))$ und nennen es das infimum für $e$ über $φ$ .

Infimum Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\infimum {a}$
stex/tex	0	$\infimumFN$
mathml	1	$inf (a)$
mathml	0	$inf$

initial
Sei $G = (⟨ V, E ⟩)$ ein gerichteter Graph, dann nennen wir einen Knoten $v \in V$

•
initial (oder eine Quelle) in $G$ , wenn es kein $w \in V$ gibt, so dass $(⟨ w, v ⟩) \in E$ .

•
terminal (oder Senke) in $G$ , wenn es kein $w \in V$ gibt, so dass $(⟨ v, w ⟩) \in E$ .
injektiv en

Eine Funktion $f : S \to T$ heißt injektiv, wenn für alle $x, y \in S$ mit $(f) = (f)$ gilt $x = y$ .

Integralkosinus Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\cosineintint {a}$
stex/tex	0	$\cosineintintOp$
mathml	1	$Cin (a)$
mathml	1	$Cin (a)$
mathml	0	$Cin$

Der Integralkosinus $Cin (x)$ wird definiert durch

Cin (x)

Integrallogarithmus en

Der Integrallogarithmus $Li (x)$ ist für alle positiven reellen Zahlen $x > 1$ definiert:

$Li (x)$

inverse Function Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\invfun {a}$
mathml	1	$a^{- 1}$

irrationale Zahl en

Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, aber keine rationale Zahl.
irreflexiv en
Eine Relation $R \subseteq (A \times A)$ heißt

•

reflexiv auf $A$ , wenn $(⟨ a, a ⟩) \in R$ für alle $a \in A$ , und

•

irreflexiv (or antireflexiv) auf $A$ , wenn $(⟨ a, a ⟩) \notin R$ für alle $a \in A$ .
iterierte Querprodukt en

Die Anzahl der notwendigen Schritte, um durch wiederholte Querprodukte zu einer einstelligen Zahl zu gelangen, nennt man Beharrlichkeit der Zahl.

Das iterierte Querprodukt einer Zahl erhält man, indem man von dem Querprodukt dieser Zahl so lange wieder das Querprodukt bildet, bis nur noch eine einstellige Zahl übrig bleibt.
iterierte Quersumme

Die iterierte Quersumme einer Zahl erhält man, indem man von der Quersumme dieser Zahl so lange wieder die Quersumme bildet, bis nur noch eine einstellige Zahl übrig bleibt.

Jacobi-Madden-Gleichung

Die Jacobi-Madden-Gleichung ist die DiophantischeGleichung

((a^{4}) + (b^{4}) + (c^{4}) + (d^{4})) = ({(a + b + c + d)}^{4})

Jacobsthal-Lucas-Zahlen w

Die Jacobsthal-Lucas-Zahlen werden rekursiv definiert:

	$(L_{n}) = (defined-piecewise (2 wenn (n = 0)) (1 wenn (n = 1)) (((L_{(n - 1)}) + (2 (L_{(n - 2)}))) sonst))$
2	wenn(n=0)
1	wenn(n=1)
((L(n-1))+(2⁢(L(n-2))))	sonst

Definition in geschlossener Form: $(L_{n}) = ((2^{n}) + ({(1)}^{n}))$

Jacobsthal-Zahlen en

Die Jacobsthal-Zahlen werden rekursiv definiert:

$J_{0}$	$equal$	$0$
$J_{1}$	$equal$	$1$
$J_{n}$	$equal$	$(J_{(n - 1)}) + (2 (J_{(n - 2)}))$

In geschlossener Form haben wir

(J_{n}) = (\frac{((2^{n}) - ({(1)}^{n}))}{3})

Kanten en

Ein gerichteter Graph (auch Digraph) ist ein Paar $⟨ V, E ⟩$ aus einer Menge $V$ und einer Menge $E \subseteq (⟨ V, V ⟩)$ geordneter Paare über $V$ . Wir nennen $V$ die Knoten und $E$ die Kanten (auch Bögen) von $G$ .
Kanten en

Ein Graph ist ein Paar $⟨ V, E ⟩$ , so dass $V$ eine Menge ist und $E \subseteq (⟨ V, V ⟩)$ eine Teilmenge der Menge der Paare aus $V$ . Wir nennen $V$ die Ecken (oder Punkte, Knoten) and $E$ die Kanten (oder Linien, Pfeile) von $G$ .

Kantenanzahl Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\graphnumberofedges {a}$
mathml	1	$∥ a ∥$
mathml	1	$∥ a ∥$

Die Kantenanzahl (Anzahl der Kanten eines Graphen) $G$ bezeichnet man mit $∥ G ∥$ .

Kantengraph Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\linegraph {a}$
mathml	1	$L (a)$
mathml	1	$L (a)$

Für einen Graph $G = (⟨ V, E ⟩)$ bezeichnen wir den Graph $L (G)$ auf $E$ , in dem $x, y \in E$ genau dann als Ecken benachbart sind, wenn sie es als Kanten in $G$ sind, als den Kantengraph von $G$ .

Kardinalität Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\card {a}$
stex/tex	0	$\cardOp$
mathml	1	$# (a)$
mathml	1	$# (a)$
mathml	0	$#$

Wir nennen eine Menge $A$ is endlich mit Kardinalität $(# (A)) \in ℕ$ , wenn es eine bijektive Funktion $f : A \to ({n \in ℕ | (n < (# (A)))})$ gibt.

Die Kardinalität einer Menge $A$ wird oft auch als $# (A)$ , $# (A)$ , $# (A)$ oder $# (A)$ geschrieben.

Kempner-Reihen Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\kempnerseries {a}$
mathml	1	$K_{a}$
mathml	1	$K_{a}$

Kempner-Reihen $K_{m}$ sind subharmonische Reihen, die aus der harmonischenReihe gebildet werden, indem alle Summanden weggelassen werden, deren Nenner im Zehnersystem die Ziffer $m$ (bzw. die Ziffernfolge der Zahl $m$ ) enthalten:

K_{m}

Zum Beispiel

(K_{9}) = (1 + (\frac{1}{2}) + (\frac{1}{3}) + (\frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{7}) + (\frac{1}{8}) + (\frac{1}{10}) + \dots + (\frac{1}{17}) + (\frac{1}{18}) + (\frac{1}{20}) + \dots + (\frac{1}{87}) + (\frac{1}{88}) + (\frac{1}{100}) + ((\frac{1}{101}) \dots))

$(K_{9}) = 22.92067 ...$

$(K_{314159}) = 2302582.3338637827 ...$

kleinste gemeinsame Vielfache Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\leastcommonmultipleOp$
mathml	0	$kgV$
mathml	0	$lcm$

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier oder mehrerer ganzer Zahlen ist die kleinste natürliche Zahl, die durch alle diese Zahlen teilbar ist.

kleinster Primfaktor Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\leastprimefactor {a}$
stex/tex	0	$\leastprimefactorOp$
mathml	1	$lpf (a)$
mathml	1	$lpf (a)$
mathml	0	$lpf$

Ein Primfaktor einer natürlichen Zahl $n$ ist ein kleinster Primfaktor $lpf (n)$ , wenn alle Primfaktoren von $n$ gleich oder größer als dieser sind.

Knoten en

Ein gerichteter Graph (auch Digraph) ist ein Paar $⟨ V, E ⟩$ aus einer Menge $V$ und einer Menge $E \subseteq (⟨ V, V ⟩)$ geordneter Paare über $V$ . Wir nennen $V$ die Knoten und $E$ die Kanten (auch Bögen) von $G$ .
Knoten en

Ein Graph ist ein Paar $⟨ V, E ⟩$ , so dass $V$ eine Menge ist und $E \subseteq (⟨ V, V ⟩)$ eine Teilmenge der Menge der Paare aus $V$ . Wir nennen $V$ die Ecken (oder Punkte, Knoten) and $E$ die Kanten (oder Linien, Pfeile) von $G$ .

Knödel-Zahl Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\knoednumber {a}$
mathml	1	$K_{a}$

Eine Knödel-Zahl für eine gegebene positive ganze Zahl $n$ ist eine zusammengesetzte Zahl $m$ , für die für jedes zu $m$ teilerfremde $i \leq m$ gilt

(i^{(m - n)}) \equiv 1 mod m

Die Menge aller Knödel-Zahlen einer Zahl $n$ wird mit $K_{n}$ bezeichnet.

Knödel-Zahlen Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\knoednumber {a}$
mathml	1	$K_{a}$

Eine Knödel-Zahl für eine gegebene positive ganze Zahl $n$ ist eine zusammengesetzte Zahl $m$ , für die für jedes zu $m$ teilerfremde $i \leq m$ gilt

(i^{(m - n)}) \equiv 1 mod m

Die Menge aller Knödel-Zahlen einer Zahl $n$ wird mit $K_{n}$ bezeichnet.

kommutativ en

Ein Ring $⟨ R ⟩$ heißt kommutativ, falls $⟨ R ⟩$ ein kommutativer Magma ist.

Kommutator Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\comm {a} {b}$
mathml	2	$[a, b]$

Ist $⟨ G ⟩$ eine Gruppe und $a, b \in G$ , so definieren wir den Kommutator von $a$ und $b$ als $(fundefeq [a b] [a, b])$ . Er ist identisch mit der Einheit der Gruppe, genau dann wenn $g$ und $h$ kommutieren.

komplexen Zahlen b Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\ComplexNumbers$
mathml	0	$ℂ$

Die Menge $ℂ$ der komplexen Zahlen besteht aus Zahlen der Form $a + (b 𝑖)$ , mit $a, b \in ℝ$ . Wir nennen $𝑖$ imaginäre Einheit.

Komponenten en

Eine Struktur fasst mehrere existierende mathematische Objekte (die Komponenten) zu einem neuen Objekt zusammen. Strukturen werden normalerweise als endliche Aufzählungen ihrer Komponenten gegeben, die durch spezielle Namen referenziert werden können.
konvergent en

Wir nennen eine Folge konvergent, falls sie gegen einen Grenzwert $g$ konvergiert.
konvergiert en

Ist $⟨ M, d ⟩$ ein metrischer Raum und $(sequenceon [a] n)$ eine Folge mit $(a_{i}) \in M$ für alle $i \in ℕ$ , so sagen wir daß $(sequenceon [name.cvar.0] n)$ gegen $g \in M$ konvergiert (wir nennen $g$ den Grenzwert oder limitLimes und schreiben ${lim}_{n \to \infty} a_{n}$ ), falls es für jedes $ϵ > 0$ ein $n_{0} \in ℕ$ , so daß $(d) < ϵ$ für alle $n \geq n_{0}$ .
konvergiert en

Ist $⟨ X, O ⟩$ ein Hausdorff-Raum, so sagen wir dass eine Folge $(sequenceon [name.cvar.0] n)$ gegen $x \in X$ konvergiert (wir nennen $x$ den Hausdorff-Grenzwert und schreiben $x$ ), falls jede Umgebung von $x$ nur endlich viele $x_{i}$ enthält.

konverse Relation Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\convrel {a}$
mathml	1	$a^{- 1}$
mathml	1	$a^{- 1}$

$(fundefeq [R] R^{- 1})$ ist die konverse Relation von $R \subseteq (A \times B)$ .

konvex en

Eine Menge $S \subseteq (ℝ^{n})$ heißt konvex, falls $(bsetst [t] (t a) + ((1 - t) b)) \subseteq S$ für alle $a, b \in S$ .
konvexe Hülle e en

Die konvexe Hülle einer Menge $S \subseteq (ℝ^{n})$ ist der Schnitt aller konvexen Mengen, die $S$ enthalten.
konvexes Polytop en

Ein konvexes Polytop ist definiert als die konvexe Hülle einer Menge von Punkten im Euklidischen Raum.

Kreuzprodukt Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\crossproduct {a} {b}$
stex/tex	0	$\crossproductOp$
mathml	2	$a \times b$
mathml	2	$a \times b$
mathml	0	$\times$

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren in $ℝ^{3}$ ist ihr Vektorprodukt .

Kronecker-Delta Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\kroneckerdelta {a} {b}$
mathml	2	$δ_{a b}$
mathml	2	$δ_{a b}$

Das Kronecker-Delta ist definiert als:

	$(δ_{i j}) = (defined-piecewise (1 wenn (i = j)) (0 wenn (i \neq j)))$
1	wenn(i=j)
0	wenn(i≠j)

Dabei können $i$ und $j$ Elemente einer beliebigen Indexmenge $I$ sein, meist jedoch einer endlichen Teilmenge der natürlichen Zahlen.

kubikfreie Taxicab-Zahl en

Eine kubikfreie Taxicab-Zahl ist eine Taxicab-Zahl, die durch keine Kubikzahl außer $1^{3}$ teilbar ist.
kubischer Graph en

Ein 3-regulärer Graph wird auch kubischer Graph genannt.

Kuchen-Zahl en

Die Kuchen-Zahl $C_{n}$ ist die grösste Zahl von Teilen, in die ein Würfel (oder ein 3-dimensionaler Raum) durch $n$ Ebenen geteilt werden kann.

(multi-relation-expression C_{n} equal (𝒞_{3}^{n}) + (𝒞_{2}^{n}) + (𝒞_{1}^{n}) + (𝒞_{0}^{n}) equal (\frac{1}{6}) ((n^{3}) + (5 n) + 6))

Kynea-Zahl en

Eine Kynea-Zahl ist eine ganze Zahl der Form

(((4^{n}) + (2^{(n + 1)})) - 1) = (({((2^{n}) + 1)}^{2}) - 2)

mit einer positiven ganzen Zahl $n$ .

Körper en

Ein Körper ist ein Ring in dem alle Elemente multiplikative Inverse haben.
Lagrange Notation en

Ist $f : M \to N$ differenzierbar auf $M$ , so definieren wir die Ableitungsfunktion $(D_{x} f) : M \to N$ von $f$ nach $x$ als

$(fundefeq [f x a] D_{x} f (a))$

Die Abhängigkeit von $x$ ist bleibt dieser Notation (Lagrange Notation) implizit. In Leibniz Notation schreiben wir die Ableitungsfunktion von $f$ nach $x$ als $D_{x} f$ . In Eulers Notation schreiben wir $D_{x} f (a)$ und in Newtonnotation $D_{x} f (a)$ .

Laufindex en

Wir definieren das Produkt über eine Folge $a_{i}$ durch

	$(\prod_{i = n}^{m} a_{i}) :, = (defined-piecewise (0 wenn (n = m)) ((a_{n}) sonst))$
0	wenn(n=m)
(an)	sonst

Laufindex en

Summation ist iterierte Addition. Wir definieren die Summe über eine Folge $a_{i}$ durch

	$(\sum_{i = n}^{m} a_{i}) :, = (defined-piecewise (0 wenn (n = m)) ((a_{n}) sonst))$
0	wenn(n=m)
(an)	sonst

Die Variable $i$ wird der Laufindex oder Summationsindex genannt, $n$ die untere (oder Startwert) und $m$ die obereGrenze (oder Endwert) der Summe, zusammen bestimmen sie den Summationsbereich.

Lebesgue-Identität en

Für alle Zahlen $m$ , $n$ , $p$ und $q$ gilt die Lebesgue-Identität:

({((m^{2}) + (n^{2}) + (p^{2}) + (q^{2}))}^{2}) = (({((2 m q) + (2 n p))}^{2}) + ({((2 n q) - (2 m p))}^{2}) + ({(((m^{2}) + (n^{2})) - (p^{2}) - (q^{2}))}^{2}))

leere Menge Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\eset$
mathml	0	$\emptyset$
mathml	0

en tr ro

Die leere Menge (schreibe auch ) ist die Menge ohne Elemente.

leere Produkt Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\emptyprod$
mathml	0

Das leere Produkt ist in der Mathematik der Sonderfall eines Produktes mit null Faktoren. Ihm wird der Wert $1$ zugewiesen.

leere Summe Show Notations
Languages Arguments Rendering
stex/tex 0 $\emptysum$
mathml 0
en

Die leere Summe ist in der Mathematik der Sonderfall einer Summe mit onull Summanden. Der leeren Summe wird der Wert $0$ , das neutrale Element der Addition, zugewiesen.

Zum Beispiel gilt für $m > n$

$\sum_{i = m}^{n} a_{i}$
leeren Summe Show Notations
Languages Arguments Rendering
stex/tex 0 $\emptysum$
mathml 0
en

Die leere Summe ist in der Mathematik der Sonderfall einer Summe mit onull Summanden. Der leeren Summe wird der Wert $0$ , das neutrale Element der Addition, zugewiesen.

Zum Beispiel gilt für $m > n$

$\sum_{i = m}^{n} a_{i}$
Leibniz Notation en

Ist $f : M \to N$ differenzierbar auf $M$ , so definieren wir die Ableitungsfunktion $(D_{x} f) : M \to N$ von $f$ nach $x$ als

$(fundefeq [f x a] D_{x} f (a))$

Die Abhängigkeit von $x$ ist bleibt dieser Notation (Lagrange Notation) implizit. In Leibniz Notation schreiben wir die Ableitungsfunktion von $f$ nach $x$ als $D_{x} f$ . In Eulers Notation schreiben wir $D_{x} f (a)$ und in Newtonnotation $D_{x} f (a)$ .

Leyland-Zahl en

Eine Leyland-Zahl ist eine ganze Zahl der Form

(x^{y}) + (y^{x})

Dabei sind $x$ und $y$ ganze Zahlen größer als $1$ .

Die ersten Leyland-Zahlen sind $8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368, 512, ...$

Limes Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	3	$\limfun {a} {b} {c}$
mathml	2	${lim}_{b \to a} c$
mathml	2	${lim}_{b \to a} c$

limit Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\limseq {a} {b}$
mathml	2	${lim}_{a \to \infty} b$
mathml	2	${lim}_{a \to \infty} b$

lineare Ordnung en

Eine partielle Ordnung $R$ heißt totale Ordnung (or einfache Ordnung oder lineare Ordnung), falls $a \leq b$ oder $b \leq a$ für alle $a, b \in A$ .

Wir nennen eine Struktur $⟨ S, pole ⟩$ aus einer Menge $S$ und einer totalen Ordnung $pole$ eine total geordnete Menge.
Linien en

Ein Graph ist ein Paar $⟨ V, E ⟩$ , so dass $V$ eine Menge ist und $E \subseteq (⟨ V, V ⟩)$ eine Teilmenge der Menge der Paare aus $V$ . Wir nennen $V$ die Ecken (oder Punkte, Knoten) and $E$ die Kanten (oder Linien, Pfeile) von $G$ .
link teilbar en

Sei $⟨ R ⟩$ ein Ring und $a, b \in R$ mit $a \neq 0$ , dann nennen wir $a$ einen linken Teiler von $b$ (und sagen $a$ teilt $b$ links oder $b$ ist link teilbar durch $a$ ) und $b$ ein linkes Vielfaches von $a$ , wenn es ein $n \in R$ gibt, für die $(multiplication) = b$ ist.

Analog nennen wir $a$ einen rechten Teiler von $b$ (und sagen $a$ teilt $b$ rechts oder $b$ ist rechts teilbar durch $a$ ) und $b$ ein rechtes Vielfaches von $a$ , wenn es ein $n \in R$ gibt, für die $(n a) b$ ist.

Ist $R$ kommutativ, so fallen rechte und linke Teiler zusammen, und wir sprechen einfach von Teiler, teilbar, und Vielfachen. Wir schreiben dann $a | b$ .

Wir nennen $1$ , $1$ , $n$ und $n$ triviale divisoren von $n$ . Ein Teiler von $n$ , der nicht trivial ist, heißt echter Teiler von $n$ .
linken Teiler en

Sei $⟨ R ⟩$ ein Ring und $a, b \in R$ mit $a \neq 0$ , dann nennen wir $a$ einen linken Teiler von $b$ (und sagen $a$ teilt $b$ links oder $b$ ist link teilbar durch $a$ ) und $b$ ein linkes Vielfaches von $a$ , wenn es ein $n \in R$ gibt, für die $(multiplication) = b$ ist.

Analog nennen wir $a$ einen rechten Teiler von $b$ (und sagen $a$ teilt $b$ rechts oder $b$ ist rechts teilbar durch $a$ ) und $b$ ein rechtes Vielfaches von $a$ , wenn es ein $n \in R$ gibt, für die $(n a) b$ ist.

Ist $R$ kommutativ, so fallen rechte und linke Teiler zusammen, und wir sprechen einfach von Teiler, teilbar, und Vielfachen. Wir schreiben dann $a | b$ .

Wir nennen $1$ , $1$ , $n$ und $n$ triviale divisoren von $n$ . Ein Teiler von $n$ , der nicht trivial ist, heißt echter Teiler von $n$ .
linkes Vielfaches en

Sei $⟨ R ⟩$ ein Ring und $a, b \in R$ mit $a \neq 0$ , dann nennen wir $a$ einen linken Teiler von $b$ (und sagen $a$ teilt $b$ links oder $b$ ist link teilbar durch $a$ ) und $b$ ein linkes Vielfaches von $a$ , wenn es ein $n \in R$ gibt, für die $(multiplication) = b$ ist.

Analog nennen wir $a$ einen rechten Teiler von $b$ (und sagen $a$ teilt $b$ rechts oder $b$ ist rechts teilbar durch $a$ ) und $b$ ein rechtes Vielfaches von $a$ , wenn es ein $n \in R$ gibt, für die $(n a) b$ ist.

Ist $R$ kommutativ, so fallen rechte und linke Teiler zusammen, und wir sprechen einfach von Teiler, teilbar, und Vielfachen. Wir schreiben dann $a | b$ .

Wir nennen $1$ , $1$ , $n$ und $n$ triviale divisoren von $n$ . Ein Teiler von $n$ , der nicht trivial ist, heißt echter Teiler von $n$ .

linksseitige Grenzwert Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	3	$\leftlimfun {a} {b} {c}$
mathml	2	${lim}_{b ↘ a} c$
mathml	2	${lim}_{b ↓ a} c$
mathml	2	${lim}_{b \to a^{-}} c$
mathml	2	${lim}_{b \to a^{-}} c$
mathml	2	${lim}_{b ↓ a} c$
mathml	2	${lim}_{b ↘ a} c$

Sei $f : S \to T$ gegeben mit $S, T \subseteq ℝ$ und $a \in ℝ$ .

Dann ist der linksseitige Grenzwert von $f$ in $a$ (auch: der Grenzwert von $f$ wenn $x$ von unten gegen $p$ strebt) definiert als diejenige Zahl $l \in ℝ$ , so dass für jedes $ϵ > 0$ ein $δ > 0$ gibt so dass $(| (((f x)) l) |) \leq ϵ$ für alle $(multi-relation-expression 0 lethan (a) x lethan δ)$ . Der linksseitige Grenzwert wird geschrieben als ${lim}_{x ↘ a} (f)$ , ${lim}_{x ↘ a} (f)$ oder ${lim}_{x ↘ a} (f)$ .

Analog definieren wir den rechtsseitigen Grenzwert von $f$ in $a$ (auch: der Grenzwert von $f$ wenn $x$ von unten gegen $p$ strebt) definiert als diejenige Zahl $l \in ℝ$ , so dass für jedes $ϵ > 0$ ein $δ > 0$ gibt so dass $(| (((f)) l) |) \leq ϵ$ für alle $(multi-relation-expression 0 lethan (x) a lethan δ)$ . Der linksseitige Grenzwert wird geschrieben als ${lim}_{x ↗ a} (f)$ , ${lim}_{x ↗ a} (f)$ oder ${lim}_{x ↗ a} (f)$ .

linksseitige Grenzwert Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	3	$\leftlimfun {a} {b} {c}$
mathml	2	${lim}_{b ↘ a} c$
mathml	2	${lim}_{b ↓ a} c$
mathml	2	${lim}_{b \to a^{-}} c$
mathml	2	${lim}_{b \to a^{-}} c$
mathml	2	${lim}_{b ↓ a} c$
mathml	2	${lim}_{b ↘ a} c$

Sei $f : S \to T$ gegeben mit $S, T \subseteq ℝ$ und $a \in ℝ$ .

Linkstrunkierbare Primzahlen en

Linkstrunkierbare Primzahlen sind Primzahlen, in denen an keiner Stelle die Ziffer Null steht und bei denen das Weglassen einer beliebigen Anzahl führender Stellen wieder zu einer Primzahl führt.

Zum Beispiel: $937$

Beidseitig trunkierbare Primzahlen sind sowohl links- als auch rechtstrunkierbare Primzahlen.

Zum Beispiel: $3137$

Liouville-Konstante en

Die Liouville-Konstante ist eine Liouvillesche Zahl, definiert durch

(infinite-sum 1 [j] 10^{((j!))})

Liouvillesche Zahl en

Eine Liouvillesche Zahl ist eine reelle Zahl $x$ , welche die Bedingung erfüllt, dass für alle positiven ganzen Zahlen $n$ ganze Zahlen $p$ und $q$ mit $q > 1$ existieren, so dass

(multi-relation-expression 0 lethan | (x - (\frac{p}{q})) | lethan \frac{1}{(q^{n})})

Lobb-Zahl Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\lobbnumber {a} {b}$
mathml	2	$L_{a, b}$

Eine Lobb-Zahl $L_{m, n}$ ist die Anzahl der Möglichkeiten $n + m$ öffnende Klammern und $n - m$ schließende Klammern so anzuordnen, dass sie den Beginn einer korrekten Folge von öffnenden und schließenden Klammern bilden.

(L_{m, n}) = ((\frac{((2 m) + 1)}{(m + n + 1)}) (𝒞_{(m + n)}^{(2 n)}))

Dabei sind $m$ und $n$ zwei ganze Zahlen mit $(multi-relation-expression n methan m methan 0)$ .

Lucas-Polynome Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\lucpol {a}$
mathml	1	$L_{a} (x)$

Die Lucas-Polynome werden rekursiv definiert

	$((L_{n} (x)) x) = (defined-piecewise (2 wenn (n = 0)) (x wenn (n = 1)) (((x (L_{(n - 1)} (x)) x) + ((L_{(n - 2)} (x)) x)) wenn (n \geq 2)))$
2	wenn(n=0)
x	wenn(n=1)
((x⁢(L(n-1)⁢(x))⁢x)+((L(n-2)⁢(x))⁢x))	wenn(n≥2)

Die ersten Lucas-Polynome sind:

$((L_{0} (x)) x) = 2$

$((L_{1} (x)) x) = x$

$((L_{2} (x)) x) = ((x^{2}) + 2)$

$((L_{3} (x)) x) = ((x^{3}) + (3 x))$

$((L_{4} (x)) x) = ((x^{4}) + (4 (x^{2})) + 2)$

$((L_{5} (x)) x) = ((x^{5}) + (5 (x^{3})) + (5 x))$

Lucas-Zahlen Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\lucnum {a}$
mathml	1	$L_{a}$

Die Lucas-Zahlen werden rekursiv definiert:

$L_{0}$	$equal$	$2$
$L_{1}$	$equal$	$1$
$L_{n}$	$equal$	$(L_{(n - 1)}) + (L_{(n - 2)})$

Lychrel-Zahl en

Eine Lychrel-Zahl ist eine natürliche Zahl, die niemals palindromisch wird, wenn man wiederholt die Zahl addiert, die durch Umkehrung der Ziffernfolge entsteht.
Länge en
Ist $G = (⟨ V, E ⟩)$ gerichteter Graph, so nennen wir einen Vektor $(p = (⟨ (v_{0}, \dots, v_{n}) ⟩)) \in (V^{(n + 1)})$ einen Pfad in $G$ wenn $(⟨ v_{i - 1}, v_{i} ⟩) \in E$ für alle $1 \leq i \leq n$ mit $n > 0$ .

•
$v_{0}$ heißt der Startknoten von $p$ (schreibe $start (p)$ )

•
$v_{n}$ heißt der Endknoten von $p$ (schreibe $end (p)$ )

•
$n$ heißt die Länge von $p$ (schreibe $len (p)$ )
mal differeinzierbar en

Wir nennen $f$ $n$ mal differeinzierbar in $a \in M$ , falls ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ als Grenzwert existiert. Analog nennen wir $f$ $n$ mal differenzierbar auf $M$ , falls $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ existiert und auf $M$ total ist.

Wir nennen $f$ unendlich differenzierbar oder glatt auf $a \in M$ oder $M$ , wenn ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ beziehungsweise $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ für alle $n \in ℕ$ existieren.
mal differenzierbar en

Wir nennen $f$ $n$ mal differeinzierbar in $a \in M$ , falls ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ als Grenzwert existiert. Analog nennen wir $f$ $n$ mal differenzierbar auf $M$ , falls $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ existiert und auf $M$ total ist.

Wir nennen $f$ unendlich differenzierbar oder glatt auf $a \in M$ oder $M$ , wenn ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ beziehungsweise $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ für alle $n \in ℕ$ existieren.
maximale Läenge en

Für einen Graph $G$ ist die minimale Länge eines in $G$ enthaltenen Kreises die Taillenweite $g (G)$ von $G$ , die maximale Läenge eines in $G$ enthaltenen Kreises ist der Umfang von $G$ . Für einen Graph, der keinen Kreis enthält, setzen wir die Taillenweite auf $(g (G)) = \infty$ , sein Umfang wird auf Null gesetzt.

Maximum Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\minval {a}$
stex/tex	0	$\minvalFN$
mathml	0	$min$

Das Minimum $(minimum S)$ (Maximum $(maximum S)$ ) einer geordneten Menge $S$ ist dasjenige Element $m$ (wenn es existiert), so dass alle anderen Elemente von $S$ größer (kleiner) sind.

Ist $e$ ein Ausdruck und $φ$ eine Bedingung (in einer Variablen $x$ ), so schreiben wir $(bmaxval φ [x] e)$ für $(maximum (bsetst [x] φ))$ und nennen es das maximum für $e$ über $φ$ . Analog schreiben wir $(bminval φ [x] e)$ für $(minimum (bsetst [x] φ))$ und nennen es das minimum für $e$ über $φ$ .

Mclaurinreihe

Sei $f$ eine reellwertige oder komplexe Funktion die glatt ist auf einem Häufungspunkt $a$ des Definitionsbereichs von $f$ , dann nennen wir die Reihe

$(fundefeq [f x a] 𝑇 f (x; a))$

die Taylorreihe für $f$ am Entwicklungspunkt $a$ . Ist $a = 0$ , so nennen wir die Reihe die Mclaurinreihe.

Meertens-Zahl en

Eine Meertens-Zahl ist eine ganze Zahl, die gleich ihrer Gödelnummer ist. Die einzige bekannte Meertens-Zahl ist ‘

81312000 = ((2^{8}) (3^{1}) (5^{3}) (7^{1}) (11^{2}) (13^{0}) (17^{0}) (19^{0}))

Mercator-Reihe en

Die Mercator-Reihe oder Newton-Mercator-Reihe ist die Taylorreihe des natürlichen Logarithmus.

$ln ((1 + x))$

Die Reihe konvergiert für $(multi-relation-expression 1 lethan x lessthan 1)$ .

Mersenne-Primzahl Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\Mprime {a}$
mathml	1	$M_{a}$
mathml	1	$M_{a}$

Eine Mersenne-Primzahl ist eine Primzahl der Form

(M_{n}) = ((2^{n}) - 1)

Dann ist $n$ auch eine Primzahl.

Mersenne-Zahl Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\Mnumber {a}$
mathml	1	$M_{a}$
mathml	1	$M_{a}$

Eine Mersenne-Zahl ist eine natürliche Zahl der Form $(M_{n}) = ((2^{n}) - 1)$

Mertens-Function

Die Mertens-Function ist für alle positiven integers $n$ definiert:

$M$

wobei $μ k$ die Möbius-Funktion ist.

Die Funktion ist nach Franz Mertens benannt.

Die Definition kann auf die reellen Zahlen erweitert werden:

$M$
Metrik
Für eine Mente $M$ nennen wir eine Funktion $d : (M \times M) \to ℝ$ eine Abstandsfunktion (or Metrik ) auf $M$ , falls die folgenden drei Eigenschaften für alle $x, y, z \in M$ gelten:

1.

$(d) = 0$ gdw. $x = y$ (Definitheit),

2.

$(d) = (d)$ (Symmetrie) und

3.

$(d) \leq ((d) + (d))$ (Dreiecksungleichung).

Wir nennen $⟨ M, d ⟩$ einen metrischen Raum mit Grundmenge $M$ und Metrik $d$ .
Metrik ) en
Für eine Mente $M$ nennen wir eine Funktion $d : (M \times M) \to ℝ$ eine Abstandsfunktion (or Metrik ) auf $M$ , falls die folgenden drei Eigenschaften für alle $x, y, z \in M$ gelten:

1.

$(d) = 0$ gdw. $x = y$ (Definitheit),

2.

$(d) = (d)$ (Symmetrie) und

3.

$(d) \leq ((d) + (d))$ (Dreiecksungleichung).

Wir nennen $⟨ M, d ⟩$ einen metrischen Raum mit Grundmenge $M$ und Metrik $d$ .
metrischen Raum en
Für eine Mente $M$ nennen wir eine Funktion $d : (M \times M) \to ℝ$ eine Abstandsfunktion (or Metrik ) auf $M$ , falls die folgenden drei Eigenschaften für alle $x, y, z \in M$ gelten:

1.

$(d) = 0$ gdw. $x = y$ (Definitheit),

2.

$(d) = (d)$ (Symmetrie) und

3.

$(d) \leq ((d) + (d))$ (Dreiecksungleichung).

Wir nennen $⟨ M, d ⟩$ einen metrischen Raum mit Grundmenge $M$ und Metrik $d$ .
minimale Länge en

Für einen Graph $G$ ist die minimale Länge eines in $G$ enthaltenen Kreises die Taillenweite $g (G)$ von $G$ , die maximale Läenge eines in $G$ enthaltenen Kreises ist der Umfang von $G$ . Für einen Graph, der keinen Kreis enthält, setzen wir die Taillenweite auf $(g (G)) = \infty$ , sein Umfang wird auf Null gesetzt.

Minimum Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\minval {a}$
stex/tex	0	$\minvalFN$
mathml	0	$min$

Das Minimum $(minimum S)$ (Maximum $(maximum S)$ ) einer geordneten Menge $S$ ist dasjenige Element $m$ (wenn es existiert), so dass alle anderen Elemente von $S$ größer (kleiner) sind.

Mirpzahlen en

Mirpzahlen („prim“ rückwärts geschrieben) sind Primzahlen, die rückwärts gelesen eine andere Primzahl ergeben.

Motzkin Zahlen Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\motzkinrec {a}$
mathml	1	$M_{a}$

Motzkin Zahlen $M_{n}$ werden rekursiv definiert:

M_{(n + 1)}

Dabei ist $(multi-relation-expression M_{0} equal M_{1} equal 1)$ .

Motzkin-Primzahl en

Eine Motzkin-Primzahl ist eine Motzkin-Zahl, die auch Primzahl ist.

Motzkin-Zahl Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\motzkin {a}$
mathml	1	$M_{a}$
mathml	1	$M_{a}$

Die Motzkin-Zahl $M_{n}$ zu einer gegebenen natürlichen Zahl $n$ ist die Anzahl der unterschiedlichen Möglichkeiten in einem Kreis zwischen $n$ Punkten sich nicht schneidende Sehnen zu zeichnen.

Die ersten Motzkin-Zahlen sind $1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, ...$

Motzkin-Zahlen

Motzkin-Zahlen $M_{n}$ für natürliche Zahl $n$ können durch Catalan-Zahlen $C_{k}$ ausgedrückt werden:

$M_{n}$
multiperfekte Zahl en

Multiplikation Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\atimes {a}$
stex/tex	0	$\atimesOp$
mathml	1	$a$
mathml	1	$a$
mathml	0	$\cdot$
mathml	0

Die arithmetischen Operationen sind Addition $addition$ , Subtraktion, $subtraction$ , Multiplikation $multiplication$ , Division $division$ und Exponentiation.

Multiplikationsbereich en

Wir definieren das Produkt über eine Folge $a_{i}$ durch

	$(\prod_{i = n}^{m} a_{i}) :, = (defined-piecewise (0 wenn (n = m)) ((a_{n}) sonst))$
0	wenn(n=m)
(an)	sonst

Multiplikationsindex en

Wir definieren das Produkt über eine Folge $a_{i}$ durch

	$(\prod_{i = n}^{m} a_{i}) :, = (defined-piecewise (0 wenn (n = m)) ((a_{n}) sonst))$
0	wenn(n=m)
(an)	sonst

multiplikative Struktur en

Eine Struktur $⟨ R ⟩$ heißt Ring, wenn $⟨ R ⟩$ eine Abelsch e Gruppe ist (die additive Struktur), $⟨ R ⟩$ ein Monoid (die multiplikative Struktur) ist, sowie $⟨ R ⟩$ is a Ringoid.

Wir nennen $0$ die Null des Rings und entsprechend $1$ die Eins.
multirelationionaler Ausdruck Show Notations
Languages Arguments Rendering
stex/tex 1 $\multirelation {a}$
en

Ein multirelationionaler Ausdruck steht für eine Konjunktion von relationalen Aussagen: $(multi-relation-expression a R b S c \dots)$ gilt, falls $(R)$ gilt und ausserdem $(multi-relation-expression b S c \dots)$ .
Nachbar en

Zwei Ecken $x$ und $y$ in einem Graph $G$ sind adjazent, oder Nachbarn, wenn $⟨ x, y ⟩$ eine Kante von $G$ ist.

Zwei Kanten $e \neq f$ sind adjazent, wenn sie ein Ende gemeinsam haben.

Nah-Wilson-Primzahl en

Eine Nah-Wilson-Primzahl ist eine Primzahl $p$ , für die folgende Kongruenz gilt:

((p - 1)!) \equiv ((1) + (B p)) mod (p^{2})

Hierbei ist $B \neq 0$ eine ganze Zahl mit kleinem Absolutwert $| B |$ .

Narayana-Zahlen Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\narayananumber {a} {b}$
stex/tex	0	$\narayananumberOp$
mathml	2	$N (a, b)$
mathml	0	$N$

Die Narayana-Zahlen $N (n, k)$ sind die Anzahl der Wege von $⟨ 0, 0 ⟩$ nach $⟨ (2 n), 0 ⟩$ unter Verwendung von Schritten nach Nordost und Südost ohne dabei unter die $x$ -Achse zu gelangen und mit genau $k$ Spitzen(Maxima).

(N (n, k)) = ((\frac{1}{n}) (𝒞_{k}^{n}) (𝒞_{(k - 1)}^{n}))

Dabei sind $n$ und $k$ natürliche Zahlen mit $k \leq 1 \leq n$ .

natürliche Dichte en

Eine Teilmenge $A$ der positiven ganzen Zahlen hat eine asymptotische Dichte (oder natürliche Dichte) $d (A)$ , wobei $(multi-relation-expression 0 lessthan d (A) lessthan 1)$ gilt, wenn der Grenzwert existiert

$d (A)$

$a n$ ist die Anzahl der Elemente von $A$ , die nicht größer als $n$ sind.

natürliche Logarithmus Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\natlog {a}$
stex/tex	0	$\natlogOp$
mathml	1	$ln (a)$
mathml	0
mathml	0	$ln$

Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus logarithm zur Basis $e$ .

natürlichen Zahlen Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\NaturalNumbers$
mathml	0	$ℕ$

Die Menge $ℕ$ der natürlichen Zahlen ist die Menge ${(0, 1, 2, \dots)}$ .

Die Menge der positiven natürlichen Zahlen ist ${(1, 2, 3, \dots)}$ .

negativen ganzen Zahlen Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\NegativeIntegerNumbers$
mathml	0

Die Menge der negativen ganzen Zahlen ist ${(\dots, (3), (2), (1))}$ .

negativen ganzen Zahlen Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\NegativeIntegerNumbers$
mathml	0

Die Menge der negativen ganzen Zahlen ist ${(\dots, (3), (2), (1))}$ .

negativen rationalen Zahlen Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\NegativeRationalNumbers$
mathml	0

Die Menge $ℚ$ der rationalen Zahlen ist die Menge $(bsetst [n m] \frac{n}{m})$ .

Wir schreiben und für die Mengen der negativen rationalen Zahlen und der positiven rationalen Zahlen.

negativen rationalen Zahlen Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\NegativeRationalNumbers$
mathml	0

Die Menge $ℚ$ der rationalen Zahlen ist die Menge $(bsetst [n m] \frac{n}{m})$ .

Wir schreiben und für die Mengen der negativen rationalen Zahlen und der positiven rationalen Zahlen.

negativen reellen Zahlen Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\NegativeRealNumbers$
mathml	0

Die Menge $ℝ$ der reellen Zahlen reelleZahlen ist die Vervollständigung von $ℚ$ .

Wir schreiben und für die Mengen der negativen reellen Zahlen und der positiven reellen Zahlen.

neunte Smarandache-Konstante

Die neunte Smarandache-Konstante ist definiert als

Dabei ist $S (n)$ die Smarandache-Funktion.

Die Summe konvergiert.

Newman-Shanks-Williams-Primzahl en

Eine Newman-Shanks-Williams-Primzahl, oder NSW-Primzahl , ist eine Primzahl $p$ , die in folgender Form geschrieben werden kann

p = (\frac{(({(1 + (\sqrt{2}))}^{((2 m) + 1)}) + ({(1 - (\sqrt{2}))}^{((2 m) + 1)}))}{2})

Dabei ist $m$ eine natürliche Zahl.

Newton en

Ist $f : M \to N$ differenzierbar auf $M$ , so definieren wir die Ableitungsfunktion $(D_{x} f) : M \to N$ von $f$ nach $x$ als

$(fundefeq [f x a] D_{x} f (a))$

Die Abhängigkeit von $x$ ist bleibt dieser Notation (Lagrange Notation) implizit. In Leibniz Notation schreiben wir die Ableitungsfunktion von $f$ nach $x$ als $D_{x} f$ . In Eulers Notation schreiben wir $D_{x} f (a)$ und in Newtonnotation $D_{x} f (a)$ .
Newton-Mercator-Reihe

Die Mercator-Reihe oder Newton-Mercator-Reihe ist die Taylorreihe des natürlichen Logarithmus.

$ln ((1 + x))$

Die Reihe konvergiert für $(multi-relation-expression 1 lethan x lessthan 1)$ .
Niven-Zahl en

Eine Harshad-Zahl oder Niven-Zahl in einer gegebenen Zahlenbasis ist eine ganze Zahl die durch die Summe ihrer Ziffern in dieser Zahlenbasis teilbar ist.
Nivens Konstante en

Man definiert $(H 1) = 1$ und $H n$ sei der größte Exponent, der bei der Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl $n > 1$ auftritt.

Nivens Konstante ist dann gegeben durch

${lim}_{n \to \infty} (\frac{1}{n})$
normale Zahl zur Basis en

Wir nennen $x$ ist eine normale Zahl zur Basis $b$ , wenn ihre Ziffern, Ziffernpaare, Zifferntripel usw. in der Darstellung zur Basis $b$ gleich häufig auftreten.

NSW-Primzahl , en

Eine Newman-Shanks-Williams-Primzahl, oder NSW-Primzahl , ist eine Primzahl $p$ , die in folgender Form geschrieben werden kann

p = (\frac{(({(1 + (\sqrt{2}))}^{((2 m) + 1)}) + ({(1 - (\sqrt{2}))}^{((2 m) + 1)}))}{2})

Dabei ist $m$ eine natürliche Zahl.

Null en

Eine Struktur $⟨ R ⟩$ heißt Ring, wenn $⟨ R ⟩$ eine Abelsch e Gruppe ist (die additive Struktur), $⟨ R ⟩$ ein Monoid (die multiplikative Struktur) ist, sowie $⟨ R ⟩$ is a Ringoid.

Wir nennen $0$ die Null des Rings und entsprechend $1$ die Eins.
nullfrei en

Eine ganze Zahl Qist nullfrei, wenn ihre Dezimaldarstellung keine Ziffer $0$ enthält.
Nullstelle en

Sei $K$ ein Ring, $0 \in K$ seine additive Einheit und $f : D \to K$ für eine Menge $D$ , dann nennen wir jedes $z \in (f^{- 1} (0))$ eine Nullstelle von $f$ .

obere en

Wir definieren das Produkt über eine Folge $a_{i}$ durch

	$(\prod_{i = n}^{m} a_{i}) :, = (defined-piecewise (0 wenn (n = m)) ((a_{n}) sonst))$
0	wenn(n=m)
(an)	sonst

obere en

Summation ist iterierte Addition. Wir definieren die Summe über eine Folge $a_{i}$ durch

	$(\sum_{i = n}^{m} a_{i}) :, = (defined-piecewise (0 wenn (n = m)) ((a_{n}) sonst))$
0	wenn(n=m)
(an)	sonst

Die Variable $i$ wird der Laufindex oder Summationsindex genannt, $n$ die untere (oder Startwert) und $m$ die obereGrenze (oder Endwert) der Summe, zusammen bestimmen sie den Summationsbereich.

Obermenge Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\superseteq {a} {b}$
stex/tex	0	$\superseteqOp$
mathml	2	$a \supseteq b$
mathml	2	$a \supseteq b$
mathml	0	$\supseteq$

ro tr en

Eine Menge $A$ ist eine Obermenge einer Menge $B$ (schreibe $A \supset B$ ), wenn $B \subset A$ .

offene Kugel Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\openball {a} {b}$
mathml	2	$𝐵 (a, b)$
mathml	2	$𝐵_{a} (b)$
mathml	2	$𝐵_{a} (b)$
mathml	2	$𝐵 (a, b)$

offene Menge en
Ein topologischer Raum $⟨ X, O ⟩$ ist eine Menge $X$ zusammen mit einer Familie $O \subseteq (𝒫 (X))$ , so daß

1.
$, X \in O$ .

2.
$(⋃_{S \in S} s) \in O$ falls $S \subseteq S$ .

3.
$(⋂_{S \in S} s) \in O$ falls $S \subseteq S$ endlich.

Dann heißt $O$ eine Topologie) auf $X$ . Elemente der Topologie $O$ heißen offene Mengen und ihre Komplemente abgeschlossen oder einfach geschlossen . Eine Teilmenge von $X$ kann weder gesclossen noch offen, oder gesclossen, oder offen oder beides.
Ordnung en

Die Eckenanzahl (Anzahl der Ecken eines Graphen) $G$ wird seine Ordnung genannt, man schreibt $| G |$ .
Ore-Zahl en

Eine harmonische-Teiler-Zahl, oder Ore-Zahl, ist eine positive ganze Zahl, deren Harmonisches Mittel ihrer Teiler eine ganze Zahl ist.

Paar Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\pair {a} {b}$
mathml	2	$⟨ a, b ⟩$
mathml	2	$⟨ a, b ⟩$

tr en ro

Die Menge $⟨ A, B ⟩$ der Paare über den Mengen $A$ und $B$ ist definiert als $(bsetst [a b] ⟨ a, b ⟩)$ . Wir nennen $(⟨ a, b ⟩) \in (A \times B)$ ein Paar.

Paare Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\pairs {a} {b}$
stex/tex	0	$\pairsFN$
mathml	2	$a \times b$
mathml	2	$a \times b$
mathml	0	$\times$

tr en ro

Die Menge $⟨ A, B ⟩$ der Paare über den Mengen $A$ und $B$ ist definiert als $(bsetst [a b] ⟨ a, b ⟩)$ . Wir nennen $(⟨ a, b ⟩) \in (A \times B)$ ein Paar.

paarweise disjunkt ro en tr

Eine Familie von Mengen heißt paarweise disjunkt, wenn je zwei Mengen disjunkt sind.

Padovan-Zahlen en

Die Padovan-Zahlen werden rekursiv definiert

	$(multi-relation-expression P_{0} equal P_{1} equal P_{2} equal 1)$
	$(P_{n}) = ((P_{(n - 2)}) + (P_{(n - 3)}))$

Partialsumme Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\partialsum {a} {b}$
mathml	2	$s_{b}$
mathml	2	$s_{b}$

Ist $(sequenceon [a] n)$ eine Folge mit $(a_{n}) \in ℝ$ oder $(a_{n}) \in ℂ$ , so definieren wir die $n$ -te Partialsumme durch $(fundefeq [a n] s_{n})$ .

Die durch $(n_{a})$ induzierte Reihe ist die Partialsummenfolge $(sequenceon [a n] n)$ .

Partialsummenfolge en

Ist $(sequenceon [a] n)$ eine Folge mit $(a_{n}) \in ℝ$ oder $(a_{n}) \in ℂ$ , so definieren wir die $n$ -te Partialsumme durch $(fundefeq [a n] s_{n})$ .

Die durch $(n_{a})$ induzierte Reihe ist die Partialsummenfolge $(sequenceon [a n] n)$ .
partielle Funktion en

Eine Relation $f \subseteq (X \times Y)$ , heißt partielle Funktion mit Argumentbereich $X$ (schreibe $𝐝𝐨𝐦 (f)$ ) und Wertebereich $Y$ (schreibe $𝐜𝐨𝐝𝐨𝐦 (f)$ ), wenn es für jedes $x \in X$ höchstens ein $y \in Y$ gibt mit $(⟨ x, y ⟩) \in f$ .

Wir schreiben $f : X ⇀ Y; x \mapsto y$ und $(f) = y$ wenn $(⟨ x, y ⟩) \in f$ .
partielle Ordnung en

Eine quasiordnung $pole \subseteq (A \times A)$ auf $A$ heißt partielle Ordnung, wenn sie antisymmetrisch ist. $pole$ induziert eine strikte Ordnung $poless :, = (bsetst [a b] (⟨ a, b ⟩) \in pole)$ .

Die konversen Relationen schreiben wir oft als $pome$ und $pomore$ .

Wir nennen eine Struktur $⟨ S, pole ⟩$ aus einer Menge $S$ und einer partiellen Ordnung $pole$ eine geordnete Menge.

Eine partielle Ordnung $R$ heißt totale Ordnung (or einfache Ordnung oder lineare Ordnung), falls $a \leq b$ oder $b \leq a$ für alle $a, b \in A$ .

Wir nennen eine Struktur $⟨ S, pole ⟩$ aus einer Menge $S$ und einer totalen Ordnung $pole$ eine total geordnete Menge.

Pell-Zahlen en

Die Pell-Zahlen werden rekursiv definiert mit den Gleichungen

$P_{0}$	$equal$	$0$
$P_{1}$	$equal$	$1$
$P_{n}$	$equal$	$(2 (P_{(n - 1)})) + (P_{(n - 2)})$

perfekte Zahl en

Eine natürliche Zahl $n$ wird vollkommene Zahl (auch perfekte Zahl) genannt, wenn sie gleich der Summe aller ihrer (positiven) echten Teiler ist.
permutierbare Primzahl en

Eine permutierbare Primzahl ist eine Primzahl, die bei jeder Permutation ihrer Ziffern wieder eine Primzahl ist.

Zum Beispiel:

$131$
Perrin-Pseudoprimzahl en

Eine Perrin-Pseudoprimzahl ist eine zusammengesetzte Zahl $n$ , die die Perrin-Zahl $P_{n}$ teilt.

Perrin-Zahlen en

Die Perrin-Zahlen werden rekursiv definiert:

$P_{0}$	$equal$	$3$
$P_{1}$	$equal$	$0$
$P_{2}$	$equal$	$2$
$P_{n}$	$equal$	$(P_{(n - 2)}) + (P_{(n - 3)})$

Pfad Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\gpath {a}$
mathml	1	$⟨ a ⟩$
mathml	1	$⟨ a ⟩$

Ist $G = (⟨ V, E ⟩)$ gerichteter Graph, so nennen wir einen Vektor $(p = (⟨ (v_{0}, \dots, v_{n}) ⟩)) \in (V^{(n + 1)})$ einen Pfad in $G$ wenn $(⟨ v_{i - 1}, v_{i} ⟩) \in E$ für alle $1 \leq i \leq n$ mit $n > 0$ .

•
$v_{0}$ heißt der Startknoten von $p$ (schreibe $start (p)$ )
•
$v_{n}$ heißt der Endknoten von $p$ (schreibe $end (p)$ )
•
$n$ heißt die Länge von $p$ (schreibe $len (p)$ )

Pfeile en

Ein Graph ist ein Paar $⟨ V, E ⟩$ , so dass $V$ eine Menge ist und $E \subseteq (⟨ V, V ⟩)$ eine Teilmenge der Menge der Paare aus $V$ . Wir nennen $V$ die Ecken (oder Punkte, Knoten) and $E$ die Kanten (oder Linien, Pfeile) von $G$ .
Pierpont-Primzahl en

Eine Pierpont-Primzahl ist eine Primzahl der Form $((2^{u}) (3^{v})) + 1$ mit nichtnegativen ganzen Zahlen $u$ und $v$ .

Plastic-Konstante Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\plasticnum$
mathml	0	$ρ$

Die Plastic-Zahl $ρ$ (auch Plastic-Konstante genannt) ist die einzige reelle Lösung der kubischen Gleichung $(x^{3}) = (x + 1)$ Ihr Wert beträgt:

ρ = (\frac{((\sqrt{(108 + (12 (\sqrt{69})))} 3) + (\sqrt{(108 - (12 (\sqrt{69})))} 3))}{6})

ρ = 1.324717957244746 ...

Plastic-Zahl Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\plasticnum$
mathml	0	$ρ$

Die Plastic-Zahl $ρ$ (auch Plastic-Konstante genannt) ist die einzige reelle Lösung der kubischen Gleichung $(x^{3}) = (x + 1)$ Ihr Wert beträgt:

ρ = (\frac{((\sqrt{(108 + (12 (\sqrt{69})))} 3) + (\sqrt{(108 - (12 (\sqrt{69})))} 3))}{6})

ρ = 1.324717957244746 ...

positiven natürlichen Zahlen Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\PositiveNaturalNumbers$
mathml	0

Die Menge der positiven natürlichen Zahlen ist ${(1, 2, 3, \dots)}$ .

positiven rationalen Zahlen Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\PositiveRationalNumbers$
mathml	0

Die Menge $ℚ$ der rationalen Zahlen ist die Menge $(bsetst [n m] \frac{n}{m})$ .

Wir schreiben und für die Mengen der negativen rationalen Zahlen und der positiven rationalen Zahlen.

positiven rationalen Zahlen Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\PositiveRationalNumbers$
mathml	0

Die Menge $ℚ$ der rationalen Zahlen ist die Menge $(bsetst [n m] \frac{n}{m})$ .

Wir schreiben und für die Mengen der negativen rationalen Zahlen und der positiven rationalen Zahlen.

positiven reellen Zahlen Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\PositiveRealNumbers$
mathml	0

Die Menge $ℝ$ der reellen Zahlen reelleZahlen ist die Vervollständigung von $ℚ$ .

Wir schreiben und für die Mengen der negativen reellen Zahlen und der positiven reellen Zahlen.

positiven reellen Zahlen Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\PositiveRealNumbers$
mathml	0

Die Menge $ℝ$ der reellen Zahlen reelleZahlen ist die Vervollständigung von $ℚ$ .

Wir schreiben und für die Mengen der negativen reellen Zahlen und der positiven reellen Zahlen.

potente Zahl en

Eine potente Zahl ist eine natürliche Zahl $m$ , so dass für jeden Primteiler $p$ von $m$ auch $p^{2}$ Teiler von $m$ ist.

Eine potente Zahl ist das Produkt einer Quadratzahl und einer Kubikzahl.

Potenzmenge Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\powerset {a}$
stex/tex	0	$\powersetFN$
mathml	1	$𝒫 (a)$
mathml	1	$𝒫 (a)$
mathml	0	$𝒫$

ro tr bg

Für eine Menge $A$ definieren wir die Potenzmenge $𝒫 (A)$ von $A$ als $(bsetst [S] S)$ .

Poulet-Zahlen en

Poulet-Zahlen sind Fermatsche fermatpseudoprime zur Basis $2$ .
praktische Zahl en

Eine praktische Zahl ist eine positive ganze Zahl $n$ , so dass alle kleineren positiven ganzen Zahlen als Summe verschiedener Teiler von $n$ dargestellt werden können.
Primfaktor en

Eine Primzahl $p$ ist ein Primfaktor der natürlichen Zahl $n$ , wenn $p$ ein Teiler von $n$ ist.
primitiv en

Ein pythagoreisches Zahlentripel besteht aus drei positiven ganzen Zahlen $a$ , $b$ , und $c$ , für die gilt $((a^{2}) + (b^{2})) = (c^{2})$ .

Ein pythagoreisches Tripel heißt primitiv wenn $a$ , $b$ und $c$ teilerfremd sind.
Primitivwurzel en

Eine Zahl $g$ heißt Primitivwurzel modulo $n$ , wenn jede teilerfremde Zahl $n$ kongruent modulo $n$ zu einer Potenz von $g$ ist.

Primorial Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\primorial {a}$
mathml	1	$p_{a}$
mathml	1	$p_{a}$

Das Primorial $p_{n}$ einer natürlichen Zahl $n$ ist das Produkt aller Primzahlen kleiner oder gleich dieser Zahl.

Primzahl Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\nPrimeNumber {a}$
stex/tex	0	$\PrimeNumber$
mathml	1	$p_{a}$
mathml	1	$p_{a}$
mathml	0	$p$

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat. Die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich $n$ bezeichnet man mit $π (n)$ .

Primzahlfünfling en

Wenn ${p, (p + 2), (p + 6), (p + 8)}$ ein Primzahlvierling ist und $p - 4$ oder $p + 12$ auch eine Primzahl ist, dann sind die fünf Primzahlen ein Primzahlfünfling.

Zum Beispiel:

${5, 7, 11, 13, 17}$

${7, 11, 13, 17, 19}$

${11, 13, 17, 19, 23}$

Primzahllücke Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\primegap {a}$
mathml	1	$g_{a}$

Eine Primzahllücke ist die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Primzahlen.

(g_{n}) = ((p_{(n + 1)}) - (p_{n}))

Primzahlsechsling en

Wenn ${p, (p + 2), (p + 6), (p + 8)}$ ein Primzahlvierling ist und $p - 4$ und $p + 12$ auch Primzahlen sind, dann sind die sechs Primzahlen ein Primzahlsechsling.

Zum Beispiel:

${7, 11, 13, 17, 19, 23}$

${97, 101, 103, 107, 109, 113}$

${16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073}$
Primzahlvierling en
Primzahlzwilling en

Ein Primzahlzwilling ist ein Paar von Primzahlen mit Differenz $2$ .

Produkt en

Wir definieren das Produkt über eine Folge $a_{i}$ durch

	$(\prod_{i = n}^{m} a_{i}) :, = (defined-piecewise (0 wenn (n = m)) ((a_{n}) sonst))$
0	wenn(n=m)
(an)	sonst

Projektion Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\csprojection {a} {b}$
stex/tex	1	$\csprojectionFN {a}$
mathml	2	$π_{a} (b)$
mathml	2	$π_{a} (b)$
mathml	1	$π_{a}$
mathml	1	$π_{a}$

Wir nennen die Funktion $(projection i) : (A_{1} \times ... \times A_{n}) \to A_{i}; (⟨ (a_{1}, \dots, a_{n}) ⟩) \mapsto a_{i}$ die $i$ te Projektion.

Projektion Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\quotientprojection {a} {b}$
stex/tex	1	$\quotientprojectionFN {a}$
mathml	2	$π_{a} (b)$
mathml	1	$π_{a}$

Seien $S$ eine Menge, $R$ eine Äquivalenzrelation auf $S$ und $x \in S$ , dann nennen wir die Menge $(fundefeq [x R] {[x]}_{R})$ die Äquivalenzklasse von $x$ (unter $R$ ), und die Menge $(fundefeq [S R] \frac{S}{_} R)$ die Quotientenmenge von $S$ (unter $R$ ).

Wir nennen die Abbildung $(projection R) : S \to (\frac{S}{_} R); x \mapsto ({[x]}_{R})$ die Projektion von $S$ auf $\frac{S}{_} R$ unter $R$ .

pronische Zahl Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\pronicnumber {a}$
mathml	1	$P_{a}$
mathml	1	$P_{a}$

Eine pronische Zahl $P_{n}$ , Rechteckzahl, oder Rechteckszahl ist eine natürliche Zahl, die das Produkt zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist.

(multi-relation-expression P_{n} equal (\cdot n n + 1) equal (n^{2}) + n)

Proth-Zahl en

Eine Proth-Zahl ist eine natürlicheZahl der Form $(k (2^{n})) + 1$ wobei $k$ eine ungerade und $n$ eine positive ganze Zahl mit $(2^{n}) > k$ ist.

Die Cullen-Zahlen $(\cdot n 2^{n}) + 1$ und die Fermat-Zahlen $(2^{(2^{n})}) + 1$ sind Spezialfälle der Proth-Zahlen.
Proth-Zahlen en

Eine Proth-Zahl ist eine natürlicheZahl der Form $(k (2^{n})) + 1$ wobei $k$ eine ungerade und $n$ eine positive ganze Zahl mit $(2^{n}) > k$ ist.

Die Cullen-Zahlen $(\cdot n 2^{n}) + 1$ und die Fermat-Zahlen $(2^{(2^{n})}) + 1$ sind Spezialfälle der Proth-Zahlen.
Prothsche Primzahl en

Eine Prothsche Primzahl ist eine Primzahl der Form $(\cdot k 2^{n}) + 1$ wobei $k$ eine ungerade und $n$ eine positive ganze Zahl mit $(2^{n}) > k$ ist.
Punkte en

Ein Graph ist ein Paar $⟨ V, E ⟩$ , so dass $V$ eine Menge ist und $E \subseteq (⟨ V, V ⟩)$ eine Teilmenge der Menge der Paare aus $V$ . Wir nennen $V$ die Ecken (oder Punkte, Knoten) and $E$ die Kanten (oder Linien, Pfeile) von $G$ .
Pythagoras-Box en

Eine Pythagoras-Box ist ein Quadrupel $⟨ a, b, c, d ⟩$ von natürlichen Zahlen, die einen Quader mit den Seitenlängen $a$ , $b$ , $c$ und einer Raumdiagonalen der Länge $d$ definieren.
pythagoreisches Zahlentripel en

Ein pythagoreisches Zahlentripel besteht aus drei positiven ganzen Zahlen $a$ , $b$ , und $c$ , für die gilt $((a^{2}) + (b^{2})) = (c^{2})$ .

Ein pythagoreisches Tripel heißt primitiv wenn $a$ , $b$ und $c$ teilerfremd sind.
pythagoräische Primzahl en

Eine pythagoräische Primzahl ist eine Primzahl der Form $(4 n) + 1$ .

Pythagoräisches Quadrupel en

Ein Pythagoräisches Quadrupel $(a, b, c, d)$ ist ein Tupel von vier ganzen Zahlen $a$ , $b$ , $c$ und $d > 0$ , für das gilt

((a^{2}) + (b^{2}) + (c^{2})) = (d^{2})

quadratfrei

Eine natürliche Zahl heißt quadratfrei, wenn in ihrer Primfaktorzerlegung keine Primzahl mehr als einmal auftritt.

quadratische Mittel Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\rootmean$
mathml	0
mathml	0

Das quadratische Mittel einer Menge ${x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}$ ist definiert als:

= (\sqrt{((\frac{1}{n}) (({x_{1}}^{2}) + ({x_{2}}^{2}) + \dots + ({x_{n}}^{2})))})

Quelle
Sei $G = (⟨ V, E ⟩)$ ein gerichteter Graph, dann nennen wir einen Knoten $v \in V$

•
initial (oder eine Quelle) in $G$ , wenn es kein $w \in V$ gibt, so dass $(⟨ w, v ⟩) \in E$ .

•
terminal (oder Senke) in $G$ , wenn es kein $w \in V$ gibt, so dass $(⟨ v, w ⟩) \in E$ .
Querprodukt en

Das Querprodukt einer natürlichen Zahl ist das Produkt ihrer Ziffern.
Quersumme en

Als Quersumme bezeichnet man die Summe der Ziffern einer natürlichen Zahl.

Quotientenmenge Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\quotientspace {a} {b}$
mathml	2	$\frac{a}{_} b$

Wir nennen die Abbildung $(projection R) : S \to (\frac{S}{_} R); x \mapsto ({[x]}_{R})$ die Projektion von $S$ auf $\frac{S}{_} R$ unter $R$ .

Ramanujan-6-10-8-Identität en

Sei $(a d) = (b c)$ für reelle Zahlen $a$ , $b$ , $c$ und $d$ , dann ist die Ramanujan-6-10-8-Identität gegeben durch

((64 ((((({(a + b + c)}^{6}) + ({(b + c + d)}^{6})) - ({(c + d + a)}^{6}) - ({(d + a + b)}^{6})) + ({((a) d)}^{6})) - ({((b) c)}^{6}))) ((((({(a + b + c)}^{10}) + ({(b + c + d)}^{10})) - ({(c + d + a)}^{10}) - ({(d + a + b)}^{10})) + ({((a) d)}^{10})) - ({((b) c)}^{10}))) = (45 ({((((({(a + b + c)}^{8}) + ({(b - c - d)}^{8})) - ({(c - d - a)}^{8}) - ({(d + a + b)}^{8})) + ({((a) d)}^{8})) - ({((b) c)}^{8}))}^{2}))

Ramanujan-Konstante Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\ramanujan$
mathml	0	$R$

Ramanujan-Soldner-Konstante Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\ramanujanSoldnerConstant$
mathml	0	$μ$

rationalen Zahlen Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\RationalNumbers$
mathml	0	$ℚ$

Die Menge $ℚ$ der rationalen Zahlen ist die Menge $(bsetst [n m] \frac{n}{m})$ .

Wir schreiben und für die Mengen der negativen rationalen Zahlen und der positiven rationalen Zahlen.

rationalen Zahlen Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\RationalNumbers$
mathml	0	$ℚ$

Die Menge $ℚ$ der rationalen Zahlen ist die Menge $(bsetst [n m] \frac{n}{m})$ .

Wir schreiben und für die Mengen der negativen rationalen Zahlen und der positiven rationalen Zahlen.

Raum der Funktionen Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\funspace {a} {b}$
mathml	2	$a \to b$
mathml	2	$a \to b$

Wir nennen die Menge $A \to B$ aller Funktionen von $A$ nach $B$ den Raum der Funktionen von $A$ nach $B$ .

Analog ist $A ⇀ B$ der Raum der partiellen Funktionen von $A$ nach $B$ .

Raum der partiellen Funktionen Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\partfunspace {a} {b}$
mathml	2	$a ⇀ b$
mathml	2	$a ⇀ b$

Wir nennen die Menge $A \to B$ aller Funktionen von $A$ nach $B$ den Raum der Funktionen von $A$ nach $B$ .

Analog ist $A ⇀ B$ der Raum der partiellen Funktionen von $A$ nach $B$ .

Raum der partiellen Funktionen Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\partfunspace {a} {b}$
mathml	2	$a ⇀ b$
mathml	2	$a ⇀ b$

Wir nennen die Menge $A \to B$ aller Funktionen von $A$ nach $B$ den Raum der Funktionen von $A$ nach $B$ .

Analog ist $A ⇀ B$ der Raum der partiellen Funktionen von $A$ nach $B$ .

Rechteckszahl Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\pronicnumber {a}$
mathml	1	$P_{a}$
mathml	1	$P_{a}$

Eine pronische Zahl $P_{n}$ , Rechteckzahl, oder Rechteckszahl ist eine natürliche Zahl, die das Produkt zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist.

(multi-relation-expression P_{n} equal (\cdot n n + 1) equal (n^{2}) + n)

Rechteckzahl Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\pronicnumber {a}$
mathml	1	$P_{a}$
mathml	1	$P_{a}$

Eine pronische Zahl $P_{n}$ , Rechteckzahl, oder Rechteckszahl ist eine natürliche Zahl, die das Produkt zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist.

(multi-relation-expression P_{n} equal (\cdot n n + 1) equal (n^{2}) + n)

rechten Teiler en

Sei $⟨ R ⟩$ ein Ring und $a, b \in R$ mit $a \neq 0$ , dann nennen wir $a$ einen linken Teiler von $b$ (und sagen $a$ teilt $b$ links oder $b$ ist link teilbar durch $a$ ) und $b$ ein linkes Vielfaches von $a$ , wenn es ein $n \in R$ gibt, für die $(multiplication) = b$ ist.

Analog nennen wir $a$ einen rechten Teiler von $b$ (und sagen $a$ teilt $b$ rechts oder $b$ ist rechts teilbar durch $a$ ) und $b$ ein rechtes Vielfaches von $a$ , wenn es ein $n \in R$ gibt, für die $(n a) b$ ist.

Ist $R$ kommutativ, so fallen rechte und linke Teiler zusammen, und wir sprechen einfach von Teiler, teilbar, und Vielfachen. Wir schreiben dann $a | b$ .

Wir nennen $1$ , $1$ , $n$ und $n$ triviale divisoren von $n$ . Ein Teiler von $n$ , der nicht trivial ist, heißt echter Teiler von $n$ .
rechtes Vielfaches en

Sei $⟨ R ⟩$ ein Ring und $a, b \in R$ mit $a \neq 0$ , dann nennen wir $a$ einen linken Teiler von $b$ (und sagen $a$ teilt $b$ links oder $b$ ist link teilbar durch $a$ ) und $b$ ein linkes Vielfaches von $a$ , wenn es ein $n \in R$ gibt, für die $(multiplication) = b$ ist.

Analog nennen wir $a$ einen rechten Teiler von $b$ (und sagen $a$ teilt $b$ rechts oder $b$ ist rechts teilbar durch $a$ ) und $b$ ein rechtes Vielfaches von $a$ , wenn es ein $n \in R$ gibt, für die $(n a) b$ ist.

Ist $R$ kommutativ, so fallen rechte und linke Teiler zusammen, und wir sprechen einfach von Teiler, teilbar, und Vielfachen. Wir schreiben dann $a | b$ .

Wir nennen $1$ , $1$ , $n$ und $n$ triviale divisoren von $n$ . Ein Teiler von $n$ , der nicht trivial ist, heißt echter Teiler von $n$ .
rechts teilbar en

Sei $⟨ R ⟩$ ein Ring und $a, b \in R$ mit $a \neq 0$ , dann nennen wir $a$ einen linken Teiler von $b$ (und sagen $a$ teilt $b$ links oder $b$ ist link teilbar durch $a$ ) und $b$ ein linkes Vielfaches von $a$ , wenn es ein $n \in R$ gibt, für die $(multiplication) = b$ ist.

Analog nennen wir $a$ einen rechten Teiler von $b$ (und sagen $a$ teilt $b$ rechts oder $b$ ist rechts teilbar durch $a$ ) und $b$ ein rechtes Vielfaches von $a$ , wenn es ein $n \in R$ gibt, für die $(n a) b$ ist.

Ist $R$ kommutativ, so fallen rechte und linke Teiler zusammen, und wir sprechen einfach von Teiler, teilbar, und Vielfachen. Wir schreiben dann $a | b$ .

Wir nennen $1$ , $1$ , $n$ und $n$ triviale divisoren von $n$ . Ein Teiler von $n$ , der nicht trivial ist, heißt echter Teiler von $n$ .

rechtsseitigen Grenzwert Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	3	$\rightlimfun {a} {b} {c}$
mathml	2	${lim}_{b ↗ a} c$
mathml	2	${lim}_{b ↑ a} c$
mathml	2	${lim}_{b \to a^{+}} c$
mathml	2	${lim}_{b \to a^{+}} c$
mathml	2	${lim}_{b ↑ a} c$
mathml	2	${lim}_{b ↗ a} c$

Sei $f : S \to T$ gegeben mit $S, T \subseteq ℝ$ und $a \in ℝ$ .

rechtsseitigen Grenzwert Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	3	$\rightlimfun {a} {b} {c}$
mathml	2	${lim}_{b ↗ a} c$
mathml	2	${lim}_{b ↑ a} c$
mathml	2	${lim}_{b \to a^{+}} c$
mathml	2	${lim}_{b \to a^{+}} c$
mathml	2	${lim}_{b ↑ a} c$
mathml	2	${lim}_{b ↗ a} c$

Sei $f : S \to T$ gegeben mit $S, T \subseteq ℝ$ und $a \in ℝ$ .

Rechtstrunkierbare Primzahlen en

Linkstrunkierbare Primzahlen sind Primzahlen, in denen an keiner Stelle die Ziffer Null steht und bei denen das Weglassen einer beliebigen Anzahl führender Stellen wieder zu einer Primzahl führt.

Zum Beispiel: $937$

Beidseitig trunkierbare Primzahlen sind sowohl links- als auch rechtstrunkierbare Primzahlen.

Zum Beispiel: $3137$

Rechtstrunkierbare Primzahlen sind Primzahlen, bei denen das Weglassen einer beliebigen Anzahl der letzten Stellen wieder zu einer Primzahl führt.

Zum Beispiel: $3793$

reellen Zahlen reelle Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\RealNumbers$
mathml	0	$ℝ$

Die Menge $ℝ$ der reellen Zahlen reelleZahlen ist die Vervollständigung von $ℚ$ .

Wir schreiben und für die Mengen der negativen reellen Zahlen und der positiven reellen Zahlen.

reflexiv en
Eine Relation $R \subseteq (A \times A)$ heißt

•

reflexiv auf $A$ , wenn $(⟨ a, a ⟩) \in R$ für alle $a \in A$ , und

•

irreflexiv (or antireflexiv) auf $A$ , wenn $(⟨ a, a ⟩) \notin R$ für alle $a \in A$ .
regulär en

Wenn in einem Graph $G$ alle Ecken denselben Grad aufweisen, sagen wir $k$ , dann nennt man $G$ $k$ -regulär, oder schlicht regulär.

Ein 3-regulärer Graph wird auch kubischer Graph genannt.
Reguläre Zahlen en

Reguläre Zahlen sind natürliche Zahlen, die Teiler einer Potenz von $60$ sind.
Reihe en

Ist $(sequenceon [a] n)$ eine Folge mit $(a_{n}) \in ℝ$ oder $(a_{n}) \in ℂ$ , so definieren wir die $n$ -te Partialsumme durch $(fundefeq [a n] s_{n})$ .

Die durch $(n_{a})$ induzierte Reihe ist die Partialsummenfolge $(sequenceon [a n] n)$ .
Relation en

Eine Menge $R \subseteq (A \times B)$ heißt (binäre) Relation zwischen $A$ and $B$ . Ist $A = B$ so nennen wir $R$ eine Relation auf $A$ .
Relation auf en

Eine Menge $R \subseteq (A \times B)$ heißt (binäre) Relation zwischen $A$ and $B$ . Ist $A = B$ so nennen wir $R$ eine Relation auf $A$ .
relativ prim Show Notations
Languages Arguments Rendering
stex/tex 0 $\coprime$
mathml 0 $⊥$
en

Zwei natürliche Zahlen sind genau dann teilerfremd oder relativ prim, wenn deren größter gemeinsamer Teiler $1$ ist.

Repunit Zahlen Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\repunitb {a} {b}$
mathml	2	$R_{a}^{(b)}$
mathml	2	$R_{a}^{(b)}$

Eine Repunit-Zahl besteht nur aus Einsen.

Die Repunit Zahlen zur Basis $b$ erhält man durch $(R_{n}^{(b)}) = (\frac{((b^{n}) - 1)}{(b - 1)})$ für $b \geq 2$ und $n \geq 1$ .

Eine Repunit-Primzahl ist eine Repunit-Zahl, die auch Primzahl ist.

Repunit-Primzahl en

Eine Repunit-Zahl besteht nur aus Einsen.

Die Repunit Zahlen zur Basis $b$ erhält man durch $(R_{n}^{(b)}) = (\frac{((b^{n}) - 1)}{(b - 1)})$ für $b \geq 2$ und $n \geq 1$ .

Eine Repunit-Primzahl ist eine Repunit-Zahl, die auch Primzahl ist.

Repunit-Zahl Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\repunit {a}$
mathml	1	$R_{a}$
mathml	1	$R_{a}$

Eine Repunit-Zahl besteht nur aus Einsen.

Die Repunit Zahlen zur Basis $b$ erhält man durch $(R_{n}^{(b)}) = (\frac{((b^{n}) - 1)}{(b - 1)})$ für $b \geq 2$ und $n \geq 1$ .

Eine Repunit-Primzahl ist eine Repunit-Zahl, die auch Primzahl ist.

Riemann’sche Vermutung en
Riesel-Zahl en
Ring en

Eine Struktur $⟨ R ⟩$ heißt Ring, wenn $⟨ R ⟩$ eine Abelsch e Gruppe ist (die additive Struktur), $⟨ R ⟩$ ein Monoid (die multiplikative Struktur) ist, sowie $⟨ R ⟩$ is a Ringoid.

Wir nennen $0$ die Null des Rings und entsprechend $1$ die Eins.
Ring en

Ein Ring ist ein Halbring $⟨ S ⟩$ , so dass $⟨ S ⟩$ eine Abelsche Gruppe ist.
Sarrus-Zahlen en

Sarrus-Zahlen sind Fermatsche pseudo-Primzahl zur Basis $2$ .
Schleife en
Ist $G = (⟨ V, E ⟩)$ ein gerichteter Graph, so nennen wir

•
einen Pfad $p$ in $G$ zyklisch (auch einen Zykel oder eine Schleife), falls $(start (p)) = (end (p))$ .

•
einen Zykel $⟨ (v_{0}, \dots, v_{n}) ⟩$ einfach, wenn $v_{i} \neq v_{j}$ für alle $i, j \leq 1 \leq n$ mit $i \neq j$ .

•
$G$ azyklisch, wenn $G$ keinen Zykel enthält.
Schnapszahl en

Eine Schnapszahl (repdigit) ist eine mehrstellige Zahl, die ausschließlich durch identische Ziffern dargestellt wird.

Die Darstellung der Schnapszahlen zur Basis $b$ ist $(\cdot m \frac{((b^{n}) - 1)}{(b - 1)})$ für $b \geq 2$ , $n \geq 1$ und $(multi-relation-expression 0 lethan m lethan b)$ .

Schnitt Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	3	$\mintersectCollection {a} {b} {c}$
mathml	2	$⋂_{b \in a} c$
mathml	2	$⋂_{b \in a} c$

tr ro en

Ist $S$ eine Familie von Mengen, so ist der Schnitt $⋂_{i \in I} S_{i}$ über $S$ gegeben als $(bsetst [x] x)$ .

Schröder-Hipparchus-Zahl Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\schroederhippform {a}$
stex/tex	0	$\schroederhippformOp$
mathml	1	$S (a)$
mathml	1	$S (a)$
mathml	0	$S$

Die Schröder-Hipparchus-Zahl (oder super-Catalan-Zahl) $S (n)$ ist für natürliche Zahl $n$ definiert als

S (n)

Schröder-Hipparchus-Zahlen en

Die Schröder-Hipparchus-Zahlen (oder super-Catalan-Zahlen ) $S (n)$ werden für natürliche Zahl $n$ rekursiv definiert:

	$S (1)$	$equal$	$(S (2)) = 1$
	$S (n)$	$equal$	$(\frac{1}{n}) ((((6 n) - 9) (S ((n - 1)))) - ((n - 3) (S ((n - 2)))))$

Schröder-Zahl en

Eine Schröder-Zahl ist die Anzahl der Wege von der südwest-Ecke $⟨ 0, 0 ⟩$ eines quadratischen $n n$ Gitters zur nordost-Ecke $⟨ n, n ⟩$ , unter Verwendung von Einzelschritten in Richtung Nord, Nordost oder Ost ohne die SW-NO Diagonale zu überschreiten.

Die ersten Schröder-Zahlen sind $1, 2, 6, 22, 90, 394, 1806, 8558, ...$ .
Schwache Primzahlen en

Schwache Primzahlen sind Primzahlen, die nach Änderung einer beliebigen einzelnen Ziffer in eine beliebige andere Ziffer keine Primzahl mehr sind.

sechste Smarandache-Konstante Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\smarandacheconstsix$
mathml	0

Die sechste Smarandache-Konstante ist definiert als

Dabei ist $S (n)$ die Smarandache-Funktion.

Die Summe konvergiert.

(multi-relation-expression 0.218282 lethan lethan 0.5)

sechzehnte Smarandache-Konstante en

Die sechzehnte Smarandache-Konstante $sixteenth-smarandache-constant$ ist definiert als

$s_{16} (α)$

Dabei ist $S (n)$ die Smarandache-Funktion.

Die Summe konvergiert für alle reellen Zahlen $α > 1$ .
Sehne en

Wenn in einem Graph $G$ , der einen Kreis $C$ enthält, eine Kante von $G$ zwei Ecken des Kreises verbindet, selbst aber nicht zum Kreis gehört, so ist diese Kante eine Sehne des Kreises $C$ . Ein Kreis $C$ in $G$ ist genau dann sehnenlos, wenn er als Teilgraph in $G$ induziert ist.
sehnenlos en

Wenn in einem Graph $G$ , der einen Kreis $C$ enthält, eine Kante von $G$ zwei Ecken des Kreises verbindet, selbst aber nicht zum Kreis gehört, so ist diese Kante eine Sehne des Kreises $C$ . Ein Kreis $C$ in $G$ ist genau dann sehnenlos, wenn er als Teilgraph in $G$ induziert ist.
Selbst-Primzahl en

Eine Selbst-Primzahl ist eine Selbst-Zahl, die Primzahl ist.
Senke
Sei $G = (⟨ V, E ⟩)$ ein gerichteter Graph, dann nennen wir einen Knoten $v \in V$

•
initial (oder eine Quelle) in $G$ , wenn es kein $w \in V$ gibt, so dass $(⟨ w, v ⟩) \in E$ .

•
terminal (oder Senke) in $G$ , wenn es kein $w \in V$ gibt, so dass $(⟨ v, w ⟩) \in E$ .
Sexy-Primzahlen en

Sexy-Primzahlen sind Primzahlen, die um 6 differieren.
sichere Primzahl en

Eine sichere Primzahl $p$ ist eine Primzahl, für die $\frac{(p - 1)}{2}$ auch eine Primzahl ist.

siebente Smarandache-Konstante Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\smarandacheconstseven$
mathml	0

Die siebente Smarandache-Konstante ist für eine natürliche Zahl $k$ definiert als

Dabei ist $S (n)$ die Smarandache-Funktion.

Die Summe konvergiert.

Sierpinski-Zahl en

Skewes-Zahl Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\skewesnumberriemann$
mathml	0

Die zweite Skewes-Zahl ist eine Obergrenze bis zu der nicht immer $(π (n)) \leq (Li (n))$ gilt, vorausgesetzt, die Riemann-Hypothese ist falsch.

= (10^{(10^{(10^{1000})})})

small-set en

Ein small-set positiver ganzer Zahlen

S = ({(s_{0}, s_{1}, s_{2}, s_{3}, \dots)})

ist eine unendliche Menge, für die die Summe

(\frac{1}{s_{0}}) + (\frac{1}{s_{1}}) + (\frac{1}{s_{2}}) + (\frac{1}{s_{3}}) + \dots

konvergiert.

Smarandache-Funktion en

Die Smarandache-Funktion $S (n)$ oder $S (n)$ ist für eine gegebene positive ganze Zahl $n$ die kleinste natürliche Zahl, deren Fakultät durch $n$ teilbar ist.

$S (n)$
Smarandache-Wellin-Primzahl

Eine Smarandache-Wellin-Primzahl ist eine Smarandache-Wellin-Zahl, die auch Primzahl ist.
solitary

Eine natürliche Zahl, die zu keinem freundlichem Paar gehört, wird als solitary bezeichnet.
Sophie-Germain-Primzahl en

Eine Primzahl $p$ ist eine Sophie-Germain-Primzahl wenn $(2 p) + 1$ auch eine Primzahl ist.
Sphenische Zahlen en
stabile Mengen

Paarweise nichtadjazente Ecken oder Kanten eines Graph $G$ werden unabhängig genannt. Eine Menge von Ecken oder Kanten wird unabhängig genannt, wenn es keine zwei Elemente gibt, die adjazent sind. Unabhängige Eckenmengen werden auch stabile Mengen genannt.
Stammbruch en

Ein Stammbruch ist eine als Bruch geschriebene rationale Zahl, deren Zähler $1$ und deren Nenner eine positive ganze Zahl ist.

starke Primzahl en

Eine starke Primzahl ist eine Primzahl, die größer als das arithmetischen Mittel der nächstkleineren und der nächstgrößeren Primzahl ist.

(p_{n}) > (\frac{((p_{(n - 1)}) + (p_{(n + 1)}))}{2})

Dabei ist $p_{n}$ die $n$ -te Primzahl.

Startknoten en
Ist $G = (⟨ V, E ⟩)$ gerichteter Graph, so nennen wir einen Vektor $(p = (⟨ (v_{0}, \dots, v_{n}) ⟩)) \in (V^{(n + 1)})$ einen Pfad in $G$ wenn $(⟨ v_{i - 1}, v_{i} ⟩) \in E$ für alle $1 \leq i \leq n$ mit $n > 0$ .

•
$v_{0}$ heißt der Startknoten von $p$ (schreibe $start (p)$ )

•
$v_{n}$ heißt der Endknoten von $p$ (schreibe $end (p)$ )

•
$n$ heißt die Länge von $p$ (schreibe $len (p)$ )

Startwert en

Wir definieren das Produkt über eine Folge $a_{i}$ durch

	$(\prod_{i = n}^{m} a_{i}) :, = (defined-piecewise (0 wenn (n = m)) ((a_{n}) sonst))$
0	wenn(n=m)
(an)	sonst

Startwert en

Summation ist iterierte Addition. Wir definieren die Summe über eine Folge $a_{i}$ durch

	$(\sum_{i = n}^{m} a_{i}) :, = (defined-piecewise (0 wenn (n = m)) ((a_{n}) sonst))$
0	wenn(n=m)
(an)	sonst

Die Variable $i$ wird der Laufindex oder Summationsindex genannt, $n$ die untere (oder Startwert) und $m$ die obereGrenze (oder Endwert) der Summe, zusammen bestimmen sie den Summationsbereich.

Stern-Primzahl en

Wenn es für eine Primzahl $q$ keine kleinere Primzahl $p$ und eine positive ganze Zahl $b$ gibt, so dass

q = (p + (2 (b^{2})))

gilt, dann ist $q$ eine Stern-Primzahl.

stetig en

Sind $⟨ X, O ⟩$ und $⟨ X^{'}, O^{'} ⟩$ topologische Räume, so nennen wir eine Funktion $f : X \to Y$ stetig, wenn $((𝐈𝐦 (f)) X) \in O^{'}$ für alle $X \in O$ .
Stoneham-Zahlen en

Die Stoneham-Zahlen $α_{b, c}$ werden für teilerfremde Zahlen $(morethan b c 1)$ definiert als

$α_{b, c}$
strikte Ordnung en

Eine quasiordnung $pole \subseteq (A \times A)$ auf $A$ heißt partielle Ordnung, wenn sie antisymmetrisch ist. $pole$ induziert eine strikte Ordnung $poless :, = (bsetst [a b] (⟨ a, b ⟩) \in pole)$ .

Die konversen Relationen schreiben wir oft als $pome$ und $pomore$ .

Wir nennen eine Struktur $⟨ S, pole ⟩$ aus einer Menge $S$ und einer partiellen Ordnung $pole$ eine geordnete Menge.

Eine partielle Ordnung $R$ heißt totale Ordnung (or einfache Ordnung oder lineare Ordnung), falls $a \leq b$ oder $b \leq a$ für alle $a, b \in A$ .

Wir nennen eine Struktur $⟨ S, pole ⟩$ aus einer Menge $S$ und einer totalen Ordnung $pole$ eine total geordnete Menge.

Struktur Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\mvstructure {a}$
mathml	1	$⟨ a ⟩$
mathml	1	$⟨ a ⟩$

Eine Struktur fasst mehrere existierende mathematische Objekte (die Komponenten) zu einem neuen Objekt zusammen. Strukturen werden normalerweise als endliche Aufzählungen ihrer Komponenten gegeben, die durch spezielle Namen referenziert werden können.

stückweise definiert Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\piecewise {a}$
mathml	0

Eine Abbildung $m$ ist stückweise definiert, schreibe

	$(m x) = (defined-piecewise (a_{1} wenn A_{1}) (⋮ wenn ⋮) (a_{n} wenn A_{n}) (o sonst))$
a1	wennA1
⋮	wenn⋮
an	wennAn
o	sonst

wobei $A_{i}$ Bedingungen an $x$ sind, wenn $(m x) = a_{i}$ für alle $x$ so dass $A_{i}$ und $o$ sonst.

subharmonische Reihe en

Sei $M \subseteq ℕ$ , dann nennen wir eine unendliche Reihe $\sum_{n \in M} (\frac{1}{n})$ eine subharmonische Reihe.

Subtraktion Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\aminus {a}$
stex/tex	0	$\aminusOp$
mathml	1	$a$
mathml	1	$a$
mathml	0	$-$

Die arithmetischen Operationen sind Addition $addition$ , Subtraktion, $subtraction$ , Multiplikation $multiplication$ , Division $division$ und Exponentiation.

sum of squares Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\sumsquarefunc {a} {b}$
mathml	2	$r_{a} (b)$
mathml	2	$r_{a} (b)$

Die Funktion $r_{n} (k)$ wird im Englischen als sum of squares bezeichnet.

(r_{n} (k)) = (# ((bsetst [a n] (⟨ a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} ⟩) \in (ℤ^{n}))))

Summation

Summation ist iterierte Addition. Wir definieren die Summe über eine Folge $a_{i}$ durch

	$(\sum_{i = n}^{m} a_{i}) :, = (defined-piecewise (0 wenn (n = m)) ((a_{n}) sonst))$
0	wenn(n=m)
(an)	sonst

Die Variable $i$ wird der Laufindex oder Summationsindex genannt, $n$ die untere (oder Startwert) und $m$ die obereGrenze (oder Endwert) der Summe, zusammen bestimmen sie den Summationsbereich.

Summationsbereich en

Summation ist iterierte Addition. Wir definieren die Summe über eine Folge $a_{i}$ durch

	$(\sum_{i = n}^{m} a_{i}) :, = (defined-piecewise (0 wenn (n = m)) ((a_{n}) sonst))$
0	wenn(n=m)
(an)	sonst

Die Variable $i$ wird der Laufindex oder Summationsindex genannt, $n$ die untere (oder Startwert) und $m$ die obereGrenze (oder Endwert) der Summe, zusammen bestimmen sie den Summationsbereich.

Summationsindex en

Summation ist iterierte Addition. Wir definieren die Summe über eine Folge $a_{i}$ durch

	$(\sum_{i = n}^{m} a_{i}) :, = (defined-piecewise (0 wenn (n = m)) ((a_{n}) sonst))$
0	wenn(n=m)
(an)	sonst

Die Variable $i$ wird der Laufindex oder Summationsindex genannt, $n$ die untere (oder Startwert) und $m$ die obereGrenze (oder Endwert) der Summe, zusammen bestimmen sie den Summationsbereich.

Summe Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	4	$\Sumfromto {a} {b} {c} {d}$
mathml	2	$\sum_{c = b}^{a} d$
mathml	2	$\sum_{c = b}^{a} d$

Summation ist iterierte Addition. Wir definieren die Summe über eine Folge $a_{i}$ durch

	$(\sum_{i = n}^{m} a_{i}) :, = (defined-piecewise (0 wenn (n = m)) ((a_{n}) sonst))$
0	wenn(n=m)
(an)	sonst

Die Variable $i$ wird der Laufindex oder Summationsindex genannt, $n$ die untere (oder Startwert) und $m$ die obereGrenze (oder Endwert) der Summe, zusammen bestimmen sie den Summationsbereich.

summierte Mangoldt-Funktion en

Die summierte Mangoldt-Funktion

$ψ$

wird auch als Tschebyschow-Funktion bezeichnet.

super-Catalan-Zahl Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\schroederhippform {a}$
stex/tex	0	$\schroederhippformOp$
mathml	1	$S (a)$
mathml	1	$S (a)$
mathml	0	$S$

Die Schröder-Hipparchus-Zahl (oder super-Catalan-Zahl) $S (n)$ ist für natürliche Zahl $n$ definiert als

S (n)

super-Catalan-Zahlen ) en

Die Schröder-Hipparchus-Zahlen (oder super-Catalan-Zahlen ) $S (n)$ werden für natürliche Zahl $n$ rekursiv definiert:

	$S (1)$	$equal$	$(S (2)) = 1$
	$S (n)$	$equal$	$(\frac{1}{n}) ((((6 n) - 9) (S ((n - 1)))) - ((n - 3) (S ((n - 2)))))$

supremum Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	3	$\bsupremum {a} {b} {c}$
mathml	2	${sup b}_{a} b c$

Supremum Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\supremum {a}$
stex/tex	0	$\supremumFN$
mathml	1	$sup (a)$
mathml	0	$sup$

surjektiv en

Eine Funktion $f : S \to T$ heißt surjektiv, wenn es für alle $y \in T$ ein $x \in S$ gibt mit $(f) = y$ .
Symmetrie en
Für eine Mente $M$ nennen wir eine Funktion $d : (M \times M) \to ℝ$ eine Abstandsfunktion (or Metrik ) auf $M$ , falls die folgenden drei Eigenschaften für alle $x, y, z \in M$ gelten:

1.

$(d) = 0$ gdw. $x = y$ (Definitheit),

2.

$(d) = (d)$ (Symmetrie) und

3.

$(d) \leq ((d) + (d))$ (Dreiecksungleichung).

Wir nennen $⟨ M, d ⟩$ einen metrischen Raum mit Grundmenge $M$ und Metrik $d$ .
symmetrisch en
Eine Relation $R \subseteq (A \times A)$ heißt

•
symmetrisch auf $A$ , falls $(⟨ b, a ⟩) \in R$ für alle $a, b \in A$ mit $(⟨ a, b ⟩) \in R$ .

•
asymmetrisch auf $A$ , falls $(⟨ b, a ⟩) \notin R$ für alle $a, b \in A$ mit $(⟨ a, b ⟩) \in R$ .

•
antisymmetrisch auf $A$ , falls $a = b$ wenn $(⟨ a, b ⟩) \in R$ und $(⟨ b, a ⟩) \in R$ .

Taillenweite Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\girth {a}$
stex/tex	0	$\girthOp$
mathml	1	$g (a)$
mathml	1	$g (a)$
mathml	0	$g$

Für einen Graph $G$ ist die minimale Länge eines in $G$ enthaltenen Kreises die Taillenweite $g (G)$ von $G$ , die maximale Läenge eines in $G$ enthaltenen Kreises ist der Umfang von $G$ . Für einen Graph, der keinen Kreis enthält, setzen wir die Taillenweite auf $(g (G)) = \infty$ , sein Umfang wird auf Null gesetzt.

Taxicab-Zahl Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\taxicab {a}$
stex/tex	0	$\taxicabOp$
mathml	1	$Ta (a)$
mathml	0	$Ta$

Die $n$ -te Taxicab-Zahl $Ta (n)$ ist definiert als die kleinste natürliche Zahl, die sich auf $n$ verschiedene Arten als Summe zweier Kubikzahlen darstellen lässt.

Zum Beispiel:

(multi-relation-expression Ta (3) equal 87539319 equal (167^{3}) + (436^{3}))

equal

equal

Taylorreihe Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	3	$\taylorserieswrtat {a} {b} {c}$
mathml	3	$𝑇 a (b; c)$

Sei $f$ eine reellwertige oder komplexe Funktion die glatt ist auf einem Häufungspunkt $a$ des Definitionsbereichs von $f$ , dann nennen wir die Reihe

(fundefeq [f x a] 𝑇 f (x; a))

die Taylorreihe für $f$ am Entwicklungspunkt $a$ . Ist $a = 0$ , so nennen wir die Reihe die Mclaurinreihe.

te Ableitung en

Wir nennen $f$ unendlich differenzierbar oder glatt auf $a \in M$ oder $M$ , wenn ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ beziehungsweise $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ für alle $n \in ℕ$ existieren.

Für ein $n \in ℕ$ definieren wir die $n$ te Ableitung einer Funktion $f : M \to N$ durch

(fundefeq [n f x a] {\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a})

te Ableitung en

Wir nennen $f$ unendlich differenzierbar oder glatt auf $a \in M$ oder $M$ , wenn ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ beziehungsweise $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ für alle $n \in ℕ$ existieren.

Für ein $n \in ℕ$ definieren wir die $n$ te Ableitung einer Funktion $f : M \to N$ durch

(fundefeq [n f x a] {\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a})

teilbar Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\ringdivisor {a} {b}$
mathml	2	$a \| b$

Sei $⟨ R ⟩$ ein Ring und $a, b \in R$ mit $a \neq 0$ , dann nennen wir $a$ einen linken Teiler von $b$ (und sagen $a$ teilt $b$ links oder $b$ ist link teilbar durch $a$ ) und $b$ ein linkes Vielfaches von $a$ , wenn es ein $n \in R$ gibt, für die $(multiplication) = b$ ist.

Analog nennen wir $a$ einen rechten Teiler von $b$ (und sagen $a$ teilt $b$ rechts oder $b$ ist rechts teilbar durch $a$ ) und $b$ ein rechtes Vielfaches von $a$ , wenn es ein $n \in R$ gibt, für die $(n a) b$ ist.

Ist $R$ kommutativ, so fallen rechte und linke Teiler zusammen, und wir sprechen einfach von Teiler, teilbar, und Vielfachen. Wir schreiben dann $a | b$ .

Wir nennen $1$ , $1$ , $n$ und $n$ triviale divisoren von $n$ . Ein Teiler von $n$ , der nicht trivial ist, heißt echter Teiler von $n$ .

Teiler Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\ringdivisor {a} {b}$
mathml	2	$a \| b$

Ist $R$ kommutativ, so fallen rechte und linke Teiler zusammen, und wir sprechen einfach von Teiler, teilbar, und Vielfachen. Wir schreiben dann $a | b$ .

Wir nennen $1$ , $1$ , $n$ und $n$ triviale divisoren von $n$ . Ein Teiler von $n$ , der nicht trivial ist, heißt echter Teiler von $n$ .

Teileranzahlfunktion Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\numberdiv {a}$
stex/tex	1	$\numberdiva {a}$
stex/tex	1	$\numberdivb {a}$
stex/tex	1	$\numberdivc {a}$
mathml	1	$τ (a)$
mathml	1	$υ (a)$
mathml	1	$σ_{0} (a)$
mathml	1	$d (a)$
mathml	1	$d (a)$
mathml	1	$σ_{0} (a)$
mathml	1	$υ (a)$
mathml	1	$τ (a)$

Die Teileranzahlfunktion $d n$ ist die Summe der positiven Teiler von $n$ .

d

Andere Symbole: $τ (n)$ , $τ (n)$ , $τ (n)$

teilerfremd Show Notations
Languages Arguments Rendering
stex/tex 0 $\coprime$
mathml 0 $⊥$
en

Zwei natürliche Zahlen sind genau dann teilerfremd oder relativ prim, wenn deren größter gemeinsamer Teiler $1$ ist.

Teilersummenfunktion Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\sumdiv {a}$
mathml	1	$σ_{1} (a)$
mathml	1	$σ (a)$
mathml	1	$σ (a)$
mathml	1	$σ_{1} (a)$

Die Teilersummenfunktion $σ_{1} (n)$ (auch $σ_{1} (n)$ ) ist die Summe der positiven Teiler von $n$ , also $σ_{1} (n)$ .

Teilmenge Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\sseteq {a} {b}$
stex/tex	0	$\sseteqOp$
mathml	2	$a \subseteq b$
mathml	2	$a \subseteq b$
mathml	0	$\subseteq$

ro tr en

Eine Menge $A$ ist eine Teilmenge einer Menge $B$ (schreibe $A \subset B$ ), wenn alle $x \in A$ Elemente von $B$ sind.

teilt links en

Sei $⟨ R ⟩$ ein Ring und $a, b \in R$ mit $a \neq 0$ , dann nennen wir $a$ einen linken Teiler von $b$ (und sagen $a$ teilt $b$ links oder $b$ ist link teilbar durch $a$ ) und $b$ ein linkes Vielfaches von $a$ , wenn es ein $n \in R$ gibt, für die $(multiplication) = b$ ist.

Analog nennen wir $a$ einen rechten Teiler von $b$ (und sagen $a$ teilt $b$ rechts oder $b$ ist rechts teilbar durch $a$ ) und $b$ ein rechtes Vielfaches von $a$ , wenn es ein $n \in R$ gibt, für die $(n a) b$ ist.

Ist $R$ kommutativ, so fallen rechte und linke Teiler zusammen, und wir sprechen einfach von Teiler, teilbar, und Vielfachen. Wir schreiben dann $a | b$ .

Wir nennen $1$ , $1$ , $n$ und $n$ triviale divisoren von $n$ . Ein Teiler von $n$ , der nicht trivial ist, heißt echter Teiler von $n$ .
teilt rechts en

Sei $⟨ R ⟩$ ein Ring und $a, b \in R$ mit $a \neq 0$ , dann nennen wir $a$ einen linken Teiler von $b$ (und sagen $a$ teilt $b$ links oder $b$ ist link teilbar durch $a$ ) und $b$ ein linkes Vielfaches von $a$ , wenn es ein $n \in R$ gibt, für die $(multiplication) = b$ ist.

Analog nennen wir $a$ einen rechten Teiler von $b$ (und sagen $a$ teilt $b$ rechts oder $b$ ist rechts teilbar durch $a$ ) und $b$ ein rechtes Vielfaches von $a$ , wenn es ein $n \in R$ gibt, für die $(n a) b$ ist.

Ist $R$ kommutativ, so fallen rechte und linke Teiler zusammen, und wir sprechen einfach von Teiler, teilbar, und Vielfachen. Wir schreiben dann $a | b$ .

Wir nennen $1$ , $1$ , $n$ und $n$ triviale divisoren von $n$ . Ein Teiler von $n$ , der nicht trivial ist, heißt echter Teiler von $n$ .
Teilüberdeckung en

Eine Überdeckung einer Menge $X$ ist eine Familie $C$ von Mengen mit $X \subseteq (⋃_{a \in A} U_{a})$ . Eine Teilmenge $C^{'} \subseteq C$ heißt Teilüberdeckung von $X$ , wenn sie $X$ immer noch überdeckt.
terminal
Sei $G = (⟨ V, E ⟩)$ ein gerichteter Graph, dann nennen wir einen Knoten $v \in V$

•
initial (oder eine Quelle) in $G$ , wenn es kein $w \in V$ gibt, so dass $(⟨ w, v ⟩) \in E$ .

•
terminal (oder Senke) in $G$ , wenn es kein $w \in V$ gibt, so dass $(⟨ v, w ⟩) \in E$ .
Thabit-Zahl en

Eine Thabit-Zahl ist eine ganze Zahl der Form

$(\cdot 3 2^{n}) - 1$

mit der nicht-negativen ganzen Zahl $n$ .
Topologie en
Ein topologischer Raum $⟨ X, O ⟩$ ist eine Menge $X$ zusammen mit einer Familie $O \subseteq (𝒫 (X))$ , so daß

1.
$, X \in O$ .

2.
$(⋃_{S \in S} s) \in O$ falls $S \subseteq S$ .

3.
$(⋂_{S \in S} s) \in O$ falls $S \subseteq S$ endlich.

Dann heißt $O$ eine Topologie) auf $X$ . Elemente der Topologie $O$ heißen offene Mengen und ihre Komplemente abgeschlossen oder einfach geschlossen . Eine Teilmenge von $X$ kann weder gesclossen noch offen, oder gesclossen, oder offen oder beides.
topologischer Raum en
Ein topologischer Raum $⟨ X, O ⟩$ ist eine Menge $X$ zusammen mit einer Familie $O \subseteq (𝒫 (X))$ , so daß

1.
$, X \in O$ .

2.
$(⋃_{S \in S} s) \in O$ falls $S \subseteq S$ .

3.
$(⋂_{S \in S} s) \in O$ falls $S \subseteq S$ endlich.

Dann heißt $O$ eine Topologie) auf $X$ . Elemente der Topologie $O$ heißen offene Mengen und ihre Komplemente abgeschlossen oder einfach geschlossen . Eine Teilmenge von $X$ kann weder gesclossen noch offen, oder gesclossen, oder offen oder beides.
total

Eine Relation $R \subseteq (A \times B)$ heißt total wenn es für alle $x \in A$ ein $y \in B$ gibt, so dass $(⟨ x, y ⟩) \in R$ .
total geordnete Menge en

Eine partielle Ordnung $R$ heißt totale Ordnung (or einfache Ordnung oder lineare Ordnung), falls $a \leq b$ oder $b \leq a$ für alle $a, b \in A$ .

Wir nennen eine Struktur $⟨ S, pole ⟩$ aus einer Menge $S$ und einer totalen Ordnung $pole$ eine total geordnete Menge.
totale Funktion en

Ist $f : X ⇀ Y$ eine totale Relation (d.h. für alle $x \in X$ gibt es ein eindeutiges $y \in Y$ it $(⟨ x, y ⟩) \in f$ ), dann nennen wir $f$ eine totale Funktion und schreiben $f : X \to Y$ .
totale Ordnung en

Eine partielle Ordnung $R$ heißt totale Ordnung (or einfache Ordnung oder lineare Ordnung), falls $a \leq b$ oder $b \leq a$ für alle $a, b \in A$ .

Wir nennen eine Struktur $⟨ S, pole ⟩$ aus einer Menge $S$ und einer totalen Ordnung $pole$ eine total geordnete Menge.
transitiv en

Eine Relation $R \subseteq (A \times A)$ heißt transitiv auf $A$ , falls $(⟨ a, c ⟩) \in R$ für alle $a, b, c \in A$ mit $(⟨ a, b ⟩) \in R$ und $(⟨ b, c ⟩) \in R$ .

transtiv-reflexiven Abschluss Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\transitiveclosure {a}$
mathml	1	$a^{*}$

Ist $R$ eine binäre Relation, so nennen wir die kleinste transitive, reflexive Relation die $R$ enthält den transtiv-reflexiven Abschluss von $R$ und schreiben sie als $R^{*}$ .

triviale divisor en

Wir nennen $1$ , $1$ , $n$ und $n$ triviale divisoren von $n$ . Ein Teiler von $n$ , der nicht trivial ist, heißt echter Teiler von $n$ .
Tschebyschow-Funktion en

Die summierte Mangoldt-Funktion

$ψ$

wird auch als Tschebyschow-Funktion bezeichnet.
Umfang en

Für einen Graph $G$ ist die minimale Länge eines in $G$ enthaltenen Kreises die Taillenweite $g (G)$ von $G$ , die maximale Läenge eines in $G$ enthaltenen Kreises ist der Umfang von $G$ . Für einen Graph, der keinen Kreis enthält, setzen wir die Taillenweite auf $(g (G)) = \infty$ , sein Umfang wird auf Null gesetzt.
Umgebung en

Ist $⟨ X, O ⟩$ ein topologischer Raum und $p \in X$ , so nennen wir ein offene Menge $N \in O$ eine Umgebung von $p$ , falls $p \in N$ .
Umkehrung en

Die Umkehrung einer Zahl $a b c \dots$ ist $\dots c b a$ .
unabhängig

Paarweise nichtadjazente Ecken oder Kanten eines Graph $G$ werden unabhängig genannt. Eine Menge von Ecken oder Kanten wird unabhängig genannt, wenn es keine zwei Elemente gibt, die adjazent sind. Unabhängige Eckenmengen werden auch stabile Mengen genannt.
undefiniert auf en

Eine partielle Funktion $f : X ⇀ Y$ heißt undefiniert auf $x \in X$ (schreibe $(f) = ⊥$ ), wenn $(⟨ x, y ⟩) \notin f$ für alle $y \in Y$ .
undefiniert auf en

Eine partielle Funktion $f : X ⇀ Y$ heißt undefiniert auf $x \in X$ (schreibe $(f) = ⊥$ ), wenn $(⟨ x, y ⟩) \notin f$ für alle $y \in Y$ .
unendlich en

Eine Menge die nicht endlich ist heißt unendlich.
unendlich differenzierbar en

Wir nennen $f$ $n$ mal differeinzierbar in $a \in M$ , falls ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ als Grenzwert existiert. Analog nennen wir $f$ $n$ mal differenzierbar auf $M$ , falls $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ existiert und auf $M$ total ist.

Wir nennen $f$ unendlich differenzierbar oder glatt auf $a \in M$ oder $M$ , wenn ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ beziehungsweise $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ für alle $n \in ℕ$ existieren.

unendliche Summe Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	4	$\infinitesumwith {a} {b} {c} {d}$
stex/tex	3	$\infinitesum {a} {b} {c}$
mathml	2	$\sum_{b = a}^{\infty} c$
mathml	3	$\sum_{[[} b = a c {]]}^{\infty} d$
b=a
c

Ist $(sequenceon [a] n)$ eine Folge mit $(a_{n}) \in ℝ$ oder $(a_{n}) \in ℂ$ , so definieren wir die unendliche Summe $(infinite-sum 1 [n] a_{n})$ als den Grenzwert ${lim}_{n \to \infty} (s_{n})$ der Partialsummenfolge, falls dieser existiert.

Unendlichkeit Show Notations
Languages Arguments Rendering
stex/tex 0 $\infinity$
mathml 0 $\infty$
en

Die Unendlichkeit (schreibe $\infty$ ) ist ein abstraktes Konzept, das auf Begriffe und Objekte angewendet wird, die keine Grenze haben. In der Mathematik wird sie meist wie eine Zahl behandelt.

untere en

Wir definieren das Produkt über eine Folge $a_{i}$ durch

	$(\prod_{i = n}^{m} a_{i}) :, = (defined-piecewise (0 wenn (n = m)) ((a_{n}) sonst))$
0	wenn(n=m)
(an)	sonst

untere en

Summation ist iterierte Addition. Wir definieren die Summe über eine Folge $a_{i}$ durch

	$(\sum_{i = n}^{m} a_{i}) :, = (defined-piecewise (0 wenn (n = m)) ((a_{n}) sonst))$
0	wenn(n=m)
(an)	sonst

Die Variable $i$ wird der Laufindex oder Summationsindex genannt, $n$ die untere (oder Startwert) und $m$ die obereGrenze (oder Endwert) der Summe, zusammen bestimmen sie den Summationsbereich.

Urbild Show Notations
Languages Arguments Rendering
stex/tex 2 $\PreImage {a} {b}$
mathml 2 $a^{- 1} (b)$
en
Sei $f : A \to B$ eine Funktion, $A^{'} \subseteq A$ und $B^{'} \subseteq B$ , dann nennen wir

•
$(fundefeq [f name.cvar.2] f (A^{'}))$ das Bild von $A^{'}$ unter $f$ ,

•
$(fundefeq [f] 𝐈𝐦 (f))$ das Bild von $f$ , und

•
$(fundefeq [f name.cvar.6] f^{- 1} (B^{'}))$ das Urbild von $B^{'}$ unter $f$ .
Vektor en

Der $n$ -dimenionale Cartesische Raum $A^{n}$ über einer Menge $A$ ist definiert als $(bsetst [a n] ⟨ (a_{1}, \dots, a_{n}) ⟩)$ . Wir nennen ein element $(⟨ (a_{1}, \dots, a_{n}) ⟩) \in (A^{n})$ einen Vektor.

Vektorprodukt Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\vectorproduct {a}$
stex/tex	0	$\vectorproductOp$
mathml	0	$\times$

Sei $V$ ein $n$ -dimensionaler Vektorraum und ${(v_{1}, \dots, v_{n})}$ eine Basis $V$ , dann definieren wir das Vektorprodukt der Vektoren $w_{1}, ..., w_{(n - 1)}$ durch

(nfundefeqli [w] 1)

verallgemeinerte Cullen-Primzahl en

Eine verallgemeinerte Cullen-Zahl ist eine natürliche Zahl der Form

$(\cdot n b^{n}) + 1$

mit $(n + 2) > b$ .

Wenn eine Primzahl in dieser Form dargestellt werden kann, nennt man sie eine verallgemeinerte Cullen-Primzahl.
verallgemeinerte Cullen-Zahl en

Eine verallgemeinerte Cullen-Zahl ist eine natürliche Zahl der Form

$(\cdot n b^{n}) + 1$

mit $(n + 2) > b$ .

Wenn eine Primzahl in dieser Form dargestellt werden kann, nennt man sie eine verallgemeinerte Cullen-Primzahl.

Verallgemeinerte harmonische Reihen en

Verallgemeinerte harmonische Reihen sind Reihen der Form

(infinite-sum 0 [n] \frac{1}{((a n) + b)})

mit reellen Zahlen $a \neq 0$ und $b$ .

verallgemeinerte Woodall-Primzahl

Eine verallgemeinerte Woodall-Zahl ist eine natürliche Zahl der Form

$(\cdot n b^{n}) - 1$

mit $(n + 2) > b$ .

Wenn eine Primzahl in dieser Form dargestellt werden kann, nennt man sie eine verallgemeinerte Woodall-Primzahl.
verallgemeinerte Woodall-Zahl en

Eine verallgemeinerte Woodall-Zahl ist eine natürliche Zahl der Form

$(\cdot n b^{n}) - 1$

mit $(n + 2) > b$ .

Wenn eine Primzahl in dieser Form dargestellt werden kann, nennt man sie eine verallgemeinerte Woodall-Primzahl.

Vereinigung Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	3	$\munionCollection {a} {b} {c}$
mathml	2	$⋃_{b \in a} c$
mathml	2	$⋃_{b \in a} c$

tr ro ru

Ist $S$ eine Familie von Mengen, so ist die Vereinigung $⋃_{i \in I} S_{i}$ über $S$ gegeben als $(bsetst [x] x)$ .

Vereinigung Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\union {a}$
stex/tex	0	$\unionOp$
mathml	1	$a$
mathml	1	$a$
mathml	0	$\cup$

tr ro ru

Sind $A$ und $B$ Mengen, so heißt $(bsetst [x] x)$ die Vereinigung $A \cup B$ von $A$ und $B$ .

Verkettung Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\compose {a}$
stex/tex	0	$\composeOp$
mathml	1	$a$
mathml	1	$a$
mathml	0	$\circ$

Die Verkettung zweier Relationen $R \subseteq (A \times B)$ und $S \subseteq (B \times C)$ ist definiert as $(fundefeq [S R] S \circ R)$

vielfache Harshad-Zahl en

Eine vielfache Harshad-Zahl ist eine Harshad-Zahl die nach Division durch die Summe ihrer Ziffern wieder eine Harshad-Zahl ist.
Vielfachen en

Sei $⟨ R ⟩$ ein Ring und $a, b \in R$ mit $a \neq 0$ , dann nennen wir $a$ einen linken Teiler von $b$ (und sagen $a$ teilt $b$ links oder $b$ ist link teilbar durch $a$ ) und $b$ ein linkes Vielfaches von $a$ , wenn es ein $n \in R$ gibt, für die $(multiplication) = b$ ist.

Analog nennen wir $a$ einen rechten Teiler von $b$ (und sagen $a$ teilt $b$ rechts oder $b$ ist rechts teilbar durch $a$ ) und $b$ ein rechtes Vielfaches von $a$ , wenn es ein $n \in R$ gibt, für die $(n a) b$ ist.

Ist $R$ kommutativ, so fallen rechte und linke Teiler zusammen, und wir sprechen einfach von Teiler, teilbar, und Vielfachen. Wir schreiben dann $a | b$ .

Wir nennen $1$ , $1$ , $n$ und $n$ triviale divisoren von $n$ . Ein Teiler von $n$ , der nicht trivial ist, heißt echter Teiler von $n$ .

vierzehnte Smarandache-Konstante Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\smarandacheconstfourteen {a}$
stex/tex	0	$\smarandacheconstfourteenOp$
mathml	1	$s_{14} (a)$
mathml	1	$s_{14} (a)$
mathml	0

Die vierzehnte Smarandache-Konstante $fourteenth-smarandache-constant$ ist definiert als

s_{14} (α)

Dabei ist $S (n)$ die Smarandache-Funktion.

Die Summe konvergiert für alle reellen Zahlen $α > 1$ .

vollkommene Zahl en

Eine natürliche Zahl $n$ wird vollkommene Zahl (auch perfekte Zahl) genannt, wenn sie gleich der Summe aller ihrer (positiven) echten Teiler ist.
vollständig en

Ein metrischer Raum $⟨ M, d ⟩$ heißt vollständig (oder vollständiger Raum), wenn in ihm jede Cauchyfolge konvergent ist.
vollständig en

Wenn in einem Graph $G$ alle Ecken paarweise adjazent sind, dann nennen wir $G$ vollständig. A vollständiger Graph auf $n$ Ecken wird mit $K_{n}$ bezeichnet.

vollständiger Graph Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\completegraph {a}$
mathml	1	$K_{a}$
mathml	1	$K_{a}$

Wenn in einem Graph $G$ alle Ecken paarweise adjazent sind, dann nennen wir $G$ vollständig. A vollständiger Graph auf $n$ Ecken wird mit $K_{n}$ bezeichnet.

vollständiger Raum en

Ein metrischer Raum $⟨ M, d ⟩$ heißt vollständig (oder vollständiger Raum), wenn in ihm jede Cauchyfolge konvergent ist.

Wagstaff-Primzahl en

Eine Wagstaff-Primzahl ist eine Primzahl $p$ der Form

p = (\frac{((2^{q}) + 1)}{3})

wobei $q$ auch eine Primzahl ist.

Wertebereich Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\codomain {a}$
stex/tex	0	$\codomainFN$
mathml	1	$𝐜𝐨𝐝𝐨𝐦 (a)$
mathml	1	$𝐜𝐨𝐝𝐨𝐦 (a)$
mathml	0	$𝐜𝐨𝐝𝐨𝐦$

Wir schreiben $f : X ⇀ Y; x \mapsto y$ und $(f) = y$ wenn $(⟨ x, y ⟩) \in f$ .

Wieferich-Primzahl en

Eine Wieferich-Primzahl ist eine Primzahl $p$ mit der Eigenschaft, dass $(2^{(p - 1)}) - 1$ durch $p^{2}$ teilbar ist, also

(2^{(p - 1)}) \equiv 1 mod (p^{2})

Wilson-Primzahl en

Eine Wilson-Primzahl ist eine Primzahl $p$ , so dass $p^{2}$ den Ausdruck $((p - 1)!) + 1$ teilt.

Wilson-Quotient en

Für ganze integer $m$ wird der Wilson-Quotient $W (m)$ wie folgt definiert

(W (m)) = (\frac{(((m - 1)!) + 1)}{m})

Wilson-Zahl en

Eine Wilson-Zahl ist eine ganze Zahl $n$ , für die $(W (n)) \equiv 0 mod n$ gilt. Dabei ist $W (n)$ der Wilson-Quotient $\frac{(((n - 1)!) + 1)}{n}$ .
Wolstenholme-Primzahl en

Woodall-Primzahlen

Eine Woodall-Zahl ist eine natürliche Zahl der Form

(W_{n}) = ((\cdot n 2^{n}) - 1)

mit einer natürlichen Zahl $n$ . Woodall-Zahlen werden manchmal auch als Cullen-Zahlen der zweiten Art bezeichnet.

Woodall-Zahlen die Primzahlen sind werden als Woodall-Primzahlen bezeichnet.

Woodall-Zahl Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\woodnumber {a}$
mathml	1	$W_{a}$

Eine Woodall-Zahl ist eine natürliche Zahl der Form

(W_{n}) = ((\cdot n 2^{n}) - 1)

mit einer natürlichen Zahl $n$ . Woodall-Zahlen werden manchmal auch als Cullen-Zahlen der zweiten Art bezeichnet.

Woodall-Zahlen die Primzahlen sind werden als Woodall-Primzahlen bezeichnet.

Woodall-Zahlen Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\woodnumber {a}$
mathml	1	$W_{a}$

Eine Woodall-Zahl ist eine natürliche Zahl der Form

(W_{n}) = ((\cdot n 2^{n}) - 1)

mit einer natürlichen Zahl $n$ . Woodall-Zahlen werden manchmal auch als Cullen-Zahlen der zweiten Art bezeichnet.

Woodall-Zahlen die Primzahlen sind werden als Woodall-Primzahlen bezeichnet.

Zahlentheorie en

Die Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit den Eigenschaften der ganzen Zahlen beschäftigt.

Zehnerlogarithmus Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\logten {a}$
stex/tex	0	$\logtenFN$
mathml	1	${log}_{10} (a)$
mathml	1	${log}_{10} (a)$
mathml	0	$Log$
mathml	0

Der dekadische Logarithmus (oder Zehnerlogarithmus) ist der Logarithmus zur Basis 10.

zehnten Smarandache-Konstanten Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\smarandacheconsttenOp$
mathml	0

Die zehnten Smarandache-Konstanten sind definiert als

s_{10} (α)

Dabei ist $S (n)$ die Smarandache-Funktion.

Die Summe konvergiert für alle reellen Zahlen $α > 1$ .

Zentral-Polygonal-Zahl en

Eine Zentral-Polygonal-Zahl ist die größte Zahl $p$ von Teilen, in die ein Kreis (oder eine Ebene) durch $n$ gerade Schnitte zerlegt werden kann.

(multi-relation-expression p equal (𝒞_{2}^{n}) + (𝒞_{1}^{n}) + (𝒞_{0}^{n}) equal \frac{((n^{2}) + n + 2)}{2})

Zentrale Delannoy-Zahlen Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\centraldelannoynumber {a}$
stex/tex	0	$\centraldelannoynumberOp$
mathml	1	$D (a)$
mathml	0	$D$

Zentrale Delannoy-Zahlen $(D (n)) = (D (n, n))$ sind Delannoy-Zahlen für ein quadratisches $n n$ Gitter.

Die ersten zentralen Delannoy-Zahlen sind:

1, 3, 13, 63, 321, 1683, 8989, 48639, 265729, ...

zirkulare Primzahl en

Eine Primzahl ist eine zirkulare Primzahl, wenn alle Zahlen, die durch zyklische Vertauschung ihrer Ziffern entstehen, auch Primzahlen sind.

Zum Beispiel ist $197$ eine zirkulare Primzahl, weil $971$ und $719$ auch Primzahlen sind.
zusammengesetzte Zahl en

Eine zusammengesetzte Zahl ist eine natürlicheZahl, die mindestens drei verschiedene Teiler besitzt.
zusammenhängender en

Ein nicht leerer Graph $G$ wird zusammenhängenderenannt, wenn je zwei seiner Ecken durch einen Weg verbunden sind. Wenn für eine Teilmenge $U$ der Eckenmenge $V G$ der induzierte Teilgraph $G U$ zusammenhängend ist, so nennen wir $U$ zusammenhängend in $G$ . Als Verneinung ziehen wir ‘unzusammenhängend’ der Formulierung ‘nicht zusammenhängend’ vor.

zweite Ableitung en

Wir nennen $f$ unendlich differenzierbar oder glatt auf $a \in M$ oder $M$ , wenn ${\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a}$ beziehungsweise $\frac{d^{n}}{d x^{n}} f$ für alle $n \in ℕ$ existieren.

Für ein $n \in ℕ$ definieren wir die $n$ te Ableitung einer Funktion $f : M \to N$ durch

(fundefeq [n f x a] {\frac{d^{n} f}{d x^{n}} |}_{x = a})

zweite Skewes-Zahl Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\skewesnumber$
mathml	0

Die zweite Skewes-Zahl ist eine Obergrenze bis zu der nicht immer $(π (n)) \leq (Li (n))$ gilt, vorausgesetzt, die Riemann-Hypothese ist falsch.

= (10^{(10^{(10^{1000})})})

zweite Smarandache-Konstante Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	0	$\smarandacheconsttwo$
mathml	0

zweite Tschebyschow-Funktion en

Die zweite Tschebyschow-Funktion $ψ (x)$ ist die Summe der Logarithmen der Primzahlen über alle Primzahlpotenzen bis $x$ .

$ψ (x)$

Dabei ist $Λ$ die Mangoldt-Funktion.
Zwischenprimzahl en

Eine Zwischenprimzahl ist das arithmetische Mittel zweier aufeinanderfolgender ungerader Primzahlen.
Zykel en
Ist $G = (⟨ V, E ⟩)$ ein gerichteter Graph, so nennen wir

•
einen Pfad $p$ in $G$ zyklisch (auch einen Zykel oder eine Schleife), falls $(start (p)) = (end (p))$ .

•
einen Zykel $⟨ (v_{0}, \dots, v_{n}) ⟩$ einfach, wenn $v_{i} \neq v_{j}$ für alle $i, j \leq 1 \leq n$ mit $i \neq j$ .

•
$G$ azyklisch, wenn $G$ keinen Zykel enthält.
zyklisch en
Ist $G = (⟨ V, E ⟩)$ ein gerichteter Graph, so nennen wir

•
einen Pfad $p$ in $G$ zyklisch (auch einen Zykel oder eine Schleife), falls $(start (p)) = (end (p))$ .

•
einen Zykel $⟨ (v_{0}, \dots, v_{n}) ⟩$ einfach, wenn $v_{i} \neq v_{j}$ für alle $i, j \leq 1 \leq n$ mit $i \neq j$ .

•
$G$ azyklisch, wenn $G$ keinen Zykel enthält.
zyklische Zahl en

Eine zyklische Zahl ist eine natürliche Zahl, deren zyklische Permutationen ihrer Ziffern aufeinanderfolgende Vielfache dieser Zahl sind.

$(\cdot 142857 1) = 142857$

$(\cdot 142857 2) = 285714$

$(\cdot 142857 3) = 428571$

$(\cdot 142857 4) = 571428$

$(\cdot 142857 5) = 714285$

$(\cdot 142857 6) = 857142$
ägyptischer Bruch en

Ein ägyptischer Bruch ist die Summe von verschiedenen Stammbrüchen.

Äquivalenzklasse Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\eqclass {a} {b}$
mathml	2	${[a]}_{b}$

Wir nennen die Abbildung $(projection R) : S \to (\frac{S}{_} R); x \mapsto ({[x]}_{R})$ die Projektion von $S$ auf $\frac{S}{_} R$ unter $R$ .

Äquivalenzrelation en

Eine Relation $R \subseteq (A \times A)$ ist eine Äquivalenzrelation auf $A$ , wenn $R$ reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Überdeckung en

Eine Überdeckung einer Menge $X$ ist eine Familie $C$ von Mengen mit $X \subseteq (⋃_{a \in A} U_{a})$ . Eine Teilmenge $C^{'} \subseteq C$ heißt Teilüberdeckung von $X$ , wenn sie $X$ immer noch überdeckt.

power set Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\powerset {a}$
stex/tex	0	$\powersetFN$
mathml	1	$𝒫 (a)$
mathml	1	$𝒫 (a)$
mathml	0	$𝒫$

de ro tr

Let $A$ be a set, then the power set $𝒫 (A)$ of $A$ is $(bsetst [S] S)$ .

set difference Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	2	$\setdiff {a} {b}$
stex/tex	0	$\setdiffOp$
mathml	2	$a \ b$
mathml	2	$a \ b$
mathml	0	$\$

de ro tr

Let $A$ and $B$ be sets, then the set difference $A \ B$ of $A$ and $B$ is $(bsetst [x] x)$ .

equal Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\setequal {a}$
stex/tex	0	$\setequalOp$
mathml	1	$a$
mathml	1	$a$
mathml	0	$\equiv$

tr ro de

Two sets $List(\ttl) A$ and $List(\ttl) B$ are equal (written $A \equiv B$ ), iff they have the same elements.

union Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	3	$\munionCollection {a} {b} {c}$
mathml	2	$⋃_{b \in a} c$
mathml	2	$⋃_{b \in a} c$

de tr ro

Let $I$ be a set and $(bsetst [i] S_{i})$ a family of sets, then the union $⋃_{i \in I} S_{i}$ over the collection $S$ is $(bsetst [x] x)$ .

union Show Notations

Languages	Arguments	Rendering
stex/tex	1	$\union {a}$
stex/tex	0	$\unionOp$
mathml	1	$a$
mathml	1	$a$
mathml	0	$\cup$

de tr ro

Let $A$ and $B$ be sets, then the union $A \cup B$ of $A$ and $B$ is defined as $(bsetst [x] x)$